30 数学物理方法习题指导 =ie(cosx-i sinx)+ic=ie-i=+iC. 这一方法适用于容易找到全微分的情况 方法二：用线积分的方法 a-器+密刘+c 因积分与路径无关，故可取最简单的路径：(0,0)一(，0)一（红，）.并 注意到，在(0,0)→(x,0)的路径上y=0且dy=0;在(x,0)→(x,) 的路径上x=x且dc=0.所以有 ,0=【人esn=od+ge'cosk=adw+C cosx-1+(ev-1)cos+C=el cos+C. 此结果与方法一的相同，因而f(z)也相同 方法三：设正+)=dr+p0 对此式求导数并利用CR方程中的另一个条件，有 ∫adr+p'）=0z -品∫需 8 由此可以得到同样的结果，以下从略。 (2)已知v(x,）=ex(csiny-ycos),因u(红，)可微，所以 e,=∫器d+p0= dz+p(y） e-*(cosy-cosy+ysiny)dx+() =-e*(x cosy+ysiny)dx+(y) 8v 测得出 由CR方程8=- -e-*(xsiny-ycosy-siny)=e-=(-zsiny+siny+ycos)+p'). 解得p'(y)=0,即p(y）=C，C为实常数.于是得到 u(,y)=-e-=(x cosy+ysiny)+C, f(=)=-e-*(xcosy+ysiny)+C+ie-(xsiny-ycosy) =u红，y+i(z,gyz=,y=0
第二章解析函数 21 =-ze名+C」 (3)已知f(z)=u(x,)+iv(x,)解析，且 u(x,）+(x,）=x2-y2-2xy 假设 F(z)=U(x,)+iV(x,）=f(z)-if(z)=(1-i)f(z) =(u+iv)-i(u+iv)=(u+v)+i(v-u) 因f(z)解析，所以F(z)=(1-)f(z)也解析.因此可通过F(z)的 实部U(x,)=u(x,)+v(a,）=x2-y2-2xy求其虚部V(x,）: r av v,别=/zdr+p=-ir+0) =/2y+2xdx+p()）=2ry+x2+p() 由部- 得 2x+p'(y）=2x-2y 于是解得(y)=-2+C，C为实常数.所以 F(z)=x2-y2-2xy+i(2xy+x2-y2+C) =U+iV]lz=2y=0=22+i22+ic =i(1-i)z2+iC. 从得到间=片F间)=i2+C,复常数C-9 例2.6判断下列函数是否多值.对多值函数，找出其所有枝点： (1)cosz; (2)V22+1; 阅 :(n为一正整数)；(4)(z+1)(a不是整数) 解()设z=re0,则V元=√Fe0/+n)(n=0,l)是双值函 数，两值之间只差一个正负号.而余弦函数是偶函数，因此， cos(i/2)=cos(i/2). 因而，cos√乙是单值函数. 思考题sin√2，tan√元，sec√元是单值还是多值函数？
22 数学物理方法习题指导 (2)将宗量作因式分解，并用指数表示给出： 2+1=(e-i0(2+i)=rne0+i2m1元r2e0+i2nm元 则有函数 w=V22+1=V(a+i)(a-i) =Vm1T2e6i+2/2+im+n2r,n1+n2=0,1. 这是一个双值函数： w1=VTr2e(0+)/2 1+n2=0, 2=Vr1r2e0:+6)/2+im=-1,n1+n2=1. 宗量的零点和奇点可能是多值函数的枝点，这里有三个点，土ⅰ 和∞.·下面来判断它们是不是枝点. 在复平面上任取一点名，若取它对应的函数值为1·当之绕1 点一圈（如图2.1中的C1),因子之-i的辐角由91变为01+2π， 而因子z+i的辐角2保持不变.整个宗量的辐角改变了2π.这时 函数值发生了变化： w=Vr1r2ei(61+02+2m)/2 =VTIT2 el(01+0)/2+in =-W1 图2.1 同理，当z绕-i点一圈（如图2.1中的C2),因子z+i的辐 角由02变为02+2π，而因子z-i的辐角01保持不变.整个宗量 的辐角改变了2π.这时函数值也发生了变化： w=)(0+0)/+im=-w1
第二章解析函数 23 这就是说，之=士i两个点都是此多值函数的枝点。 当z绕o0点一圈（如图2.1中的C3),也就是反绕有限处的所 有枝点（z=士i)一圈时，因子z-i的辐角由01变为01-2π，因 子z+i的辐角也由2变为02-2π.整个宗量的辐角改变了-4T. 这时函数值却保持不变： w=Vn1r2c0+9-4m/=V个1n2e9,+)/2-2ir=u1. 因而，之=0不是枝点. 思考题如何划分函数0=√之2+1的单值分枝？ (3)将函数化简为 e=hg- =nln(z-1)-ln(2-z). 在复平面上任取一点z，两个对数函数的宗量分别为 2-1=ne0+i2元 2-z=r2e02+i2k2元 其中1,2=0，士1，士2，·注意宗量2-2由从之到2的向量表 示，辐角02如图2.2所示.函数为 w n(In r1+i01+i2kin)-In r2-i02 -i2 k2n =n坚+i0n01-a)+i2πnh-k2). T2 图2.2 当与2取不同值时，函数值显然不同，故是多值函数。 下面来判断2=1,2，∞是否是它的枝点
数学物理方法习题指导 若取与之点相对应的函数值为 ts -In+i(n.0:-0a). 即在1=2=0的单值分枝上取值.当z绕之=1点一圈（如图2.2 中的C1),宗量之-1的辐角由01变为01+2π，而宗量2-z的辐 角2保持不变.这时函数值发生了变化： 0=ln,2+i(m1+2n元-62) 当z绕z=2点一圈（如图22中的C2),宗其之-1的辐角01保 持不变，而宗量2-z的辐角由02变为2+2π，这时函数值也发生 了变化： 0=n7g+i0-h-2m. 所以，z=1与z=2皆是此函数的枝点， 当z绕z=00一圈，也就是反绕有限处的所有枝点（之=1,2） 一圈时，宗量z-1的辐角由01变为01-2π，宗量2-z的辐角由 2变为2-2π，·这时函数值变为： w=h空+ima-2n元-02+2m. 显然，当n=1时，函数值还原w=1·因此，这时z=o∞不是 枝点.但是，若n≠1，则函数值变了，w≠w1,也就是说，这时 之=0也是枝点. 思考题当n卡1时，即名=∞也是枝点时，应该如何作割线？ (4)函数w=(2+1)是多值函数，因宗量z+1=re(+2nm)， 这里n=0,±1，±2，.，函数为 w=ealn(+1)=ea(ln r+i2) 由于α不是整数，所以当n取不同值时，就有不同的函数值.因 此，函数0是有无穷多个单值分枝的多值函数.其枝点为之=-1和 之=∞，判断方法同上，这里从略. 思考题若a是正或负整数时，上述结论还对吗？若α是分数 k/儿（化和（是互质的正整数）时，上述结论又有什么改变？