30 数学物理方法习题指导 10.求下列函数在指定点的全部可能取值： (1)ln之，z=1,i,-1,1+i (2)2,z=2,i,-1,1+i. 11.已知多值函数w=z2-2,如图2.5作割线，规定在割线上 岸根式函数宗量的辐角为0，试求该函数在 割线下岸z=3处的数值， 又问：这个函数有几个单值分枝？求出 在其他几个单值分枝中割线下岸之=3处的 2 函数值 若规定w(1)=1/2-iv3/2,求这时的 图2.5 w(3)=？这相当于上面哪个单值分枝？ 12.已知函数w=n(1-z2),规定w(0)=0,试讨论当z限 制在图2.6(a)和(b)中的w(3)值.若作割线如图2.6(c),则在割线 上、下岸z=3处w又取何值？ (b) c 图2.6 l3.反正切函数arctanz的定义为 若割线的作法如图2.7，并规定 arctanz:=0=元， 求函数在之=2处的导数值. 已知商数)=(： ,-1<p<2, 若在正实轴上从0到1作割线，并规定割线上岸 argz=arg(1-z)=0,试求f(±i)和f(o). 15.若函数f(z)在区域G内解析，且其模为 图2.7 常数，证明f(a)本身也必为常数
第三章复变积分 内容提要 一、复变函数积分 复变函数积分是复变函数在复平面上的线积分，定义为 人ia22a 其中Sk为△k中任一点. 复变积分是两个实变积分的有序组合： 。fa)de。(a+io)d+id) -J(udz-odu)+ij(odz+udu).(3.1) 和实变积分相似，复变积分具有下列性质： 1.如果积分fi(edz,g2(ed,.,Cn(adz都存在，则 人)+ae创++f(a间d =。fia)dz+。aa)d+.+。iedi 2.若C=C1+C2+.+Cn,则 ads=人faas+人ad++人aa: JC 3.f(e)dz=-。f(e)dz,其中c表示C的逆向， 4.厂of(a)dz=afe)dz,其中a为常数
数学物理方法习题指导 5.cfe)d≤f()ldsl: 6e)d≤Mn,其中M为e训在C上的上界，1为C 的长度. 二、柯西定理 1.单连通区域的柯西定理：如果函数f(z)在单连通区域G中 解析，则沿G中任何一个分段光滑的闭合围道C有 ()d=-0. (3.2) 2.推论：若f()在单连通区域G中解析，则复变积分厂。()dz 与路径无关。 3.原函数：如果函数(z)的导数型(2)=f(z),则(z)称为 f(z)的原函数.而(z)+c(c为常数)称为f(z)的不定积分. 定理：设()为f(a)的一个原函数，则有 厂fea:=-o (3.3) 4.复连通区域的柯西定理：如果f(z)是复连通区域G中的单 值解析函数，则 (3.4) 其中Co,C,C2,.,Cn是构成复连通区域G的边界的各个分段光滑 闭合曲线，C,C2,·,Cn都包含在C的内部，而且所有的积分路 径走向相同. 以上定理可以放宽条件，适用于在区域G内解析G中连续的单 值函数f(z)· 三、柯西积分公式 1.柯西积分公式：设f(z)是区域G中的单值解析函数，G的 边界C是分段光滑曲线，a为G内一点，则 =品人 (3.5) 其中积分路径沿C的正向
第三章复变积分 安 2.解析函数的高阶导数公式：如果f(z)在G中解析，则在G 内f(z)的任何阶导数f)(z)均存在，并且 e品k f(s) (3.6) 其中C是G的正向边界，之为G内任意一点. 这一结论说明一个复变函数f()在G中解析，它就有任意阶 导数存在；这也表示∫(z)的任意阶导数()(z)也是G中的解析函 数.这一结论和实变函数的有很大差异，造成这一差异的原因是在 解析函数定义中△z0的方式比实变函数可导定义中△x→0的 方式严格得多. 3.柯西积分公式的几个重要推论： (1)莫列拉定理：设f(z)在区域G中连续，如果对G中任何闭 合围道C都有 f(z)dz=0, 则f(z)在G内解析， 莫列拉定理是柯西定理的逆定理，用来判别函数的解析性 (2)柯西不等式：设函数在G中解析，则有不等式 m器 其中l为G边界C的长度，d为z点到边界C的最近距离，M为 f(z)在边界C上的上界.若边界是以z为圆心，R为半径的圆周 时，则不等式变为 wo (3)最大模原理：若f(z)在G中解析，则模f(z训的最大值必 在G的边界上 (④)刘维定理：如果f(z)在全平面上解析，且当之一∞时f(z 有界，则f(z)为一常数. (⑤)均值定理：解析函数f(z)在其解析区域G内任一点α的函 数值为 1 3 f(a)=2niJo f(a+Rei)d0
数学物理方法习题指导 R是以a为圆心，位于G内的某一圆周的半径 四、两个有用的引理 小圆弧引理：若函数f(z)在z=a点的（空心）邻域内连续，且 当1≤arg(z-a)≤02，z-a一0时，(z-a)f(z)一致地趋近于 k,则 。,fea&=io:-8 (3.7) 其中C是以之=a为圆心，6为半径，夹角为2-8的圆弧， |z-a=6,91≤arg(z-a)≤92，见图3.1. 图3.1 图3,2 大圆弧引理：设f(z)在o∞点的邻域内连续，当0≤arg之≤2， 2一0时，f()一致地趋近于K,则 enf儿a)d&=i6-, (3.8) CR是以原点为圆心，R为半径，夹角为2-01的圆弧，|=R, 01≤arg之≤02，如图3.2所示. 典型例题分析 例3.1计算下列复变积分 e+igas由0,0一，)的积分路径分别为C: (0,0)→(1,0)→(1,15C2:y=x;C3:y=x2(见图3.3)