第二章解析函数 必 上述四个偏导数连续，在6x2=92时，C-R条件满足，因此，f(z) 在y=士√23x的两条直线上可导.在这些点上的导数为 f'(a,=tV2原z= =6x2=9y2 然而，在这两条线的任一点上都不存在一个处处可导的邻域， 因此f(2)在全平面不解析 (④f)=十在=土i无定义，因而是奇点，不可导，也 不解析.除这两点之外，函数()在全平面解析.这也可以用充要 条件来判断，但是在这里直接用可导的定义来证明更方便： 巴，E+-0=-,点[a+a] 11 1 △z -22-Az -22 -me+△2j2+10e2+D=(2+1p 可见，该函数在除z=士i两点之外的全平面可导、解析 (5)f(z)=sin a cosh+icosz sinhy它的实部和虚部分别为 u(x,y）=sinz coshy, v(x,y）=cosx sinhy. 所以 =cos coshy, Bu sinx sinhy, u =-sin a sinhy,Oy cosx coshy. 上述四个偏导数在全平面连续，CR条件也都满足， cosz coshy, 器架=nay 因此，∫()在全平面可导、解析.其导数为 f间-[2+-h-i油y= 例2.2试证明下列命题： (1)解析函数的洛必达法则； (2)若函数f(z)在G内解析，且在G内还满足条件f'(z)=0 或者f*(2)也在G内解析.则函数f(z)在G内为-一常数
16 数学物理方法习题指导 (3)作变量变换x=(z+z)/2,y=(z-z*)/(2)后，则有复变 函数 u(x,）+iv(x,y)=f(z,之*)， 成为之，z*的函数.试证明，若函数在G内解析，则它不显含z*,即 8f,=0. 月z* 证(1)设函数f(z),g(z)在之=0的邻域内解析， 且f(z0)=0,9(0)=0, 但g(o)≠0，则有 f(z)-f(2o) 典得典得器-巴西得 f'(z0) 之-20 (2)因f()=u(,)+i(c,)在G内解析，应满足C-R条件 ou ov (2.4) (a)若在G内有f'(z)=0,则有 8v Ov 这就是说，函数u(,)与函数v(x,)在G内是实常数.因而，函数 f()在G内为一复常数. (b)若复共轭函数∫(z)也在G内解析，则其CR方程为 与因f(z)解析同时应满足的CR方程(2.4)相比，应有 -的-0，-0 于是u(x,),(x,)在G内是常数.则函数f(z)在G内也是常数 (3)注意到x=(z+2*)/2,y=(2一z*)/(2),直接求偏导数 -架+0器 82* by 8z -(=)+(+】-
第二章解析函数 17 这是由于函数f(a,)=u(x,)+iv(x,)在G内解析，它必满足C-R 条件.这表示解析函数不显含z*是直接由C-R方程推导出的，也是 函数解析的必要条件 讨论复变函数w=u(红，)+iu(,)经过变量变换 ∫名=+i,即 了x=(2+2*)/2, (2.5) z*=x-iy, y=(z+2*)/(2i), 可得出函数f(z,z),若u(x,)+iv(,)在G内解析，则它不显含 2*,即 w,的)+，=e 这表示经(2.5)式的变换后，函数在化解过程中，所有包含2*的项 都将相互抵消，之*不再显现出来.在实际上这种化解过程是相当复 杂的，但是可以简化它。 既然解析函数中所有包含之*的项最终都要相互抵消，因此可 以任意选取z*·例如可以直接选z*=0，这时变换(25)变为 x=2/2,y=/(2).而在z*的各种选择中，使化解过程最简单的 是令2*=z,或z*=-2,这时变换(2.5)变为 了x=名， x=0, 或者 (y=0, ly=-iz 化解过程就简化成 ae,g+iz,g川ro=f儿a, 或者 (,0+iz,yl川20e-:=f儿a 从实用的角度来看，要将以工，y作变数的实部和虚部，组合成 一个单一变数之=x十iy的函数： u(x,)+iv(x,)=f(x+i）=f(z), 由上面的讨论知道，只要在化解过程中的任何一步，令x=名，y=0, 整个化解过程就完成了，即 u0+iz,0=fe+i=s==f儿a)
18 数学物理方法习题指导 如在例2.1(5)中有 u(,y)+iu(,y)=sin x coshy+i cosx sinhy, 要求出f(z)来非常简单： u(x,y)+iv(,y)=[sinx coshy+i cosx sinh yl==0 sin z cosh0+i cos z sinh0=sinz 又如例2.1(4)中有 1 x2-v2+1-i2xy fe闭=2+=2-+P+4n2=a,0+i》. 若要从u(x,)+iv(x,)倒过来化解成f(z),是相当复杂的.但只要 令x=之，y=0,就容易得多了. 当学习了解析延拓之后，我们会看到这两个例子正是将在实轴 上解析的函数解析延拓到全之平面上去的过程 例2.3试证明，对于复数1和2，三角函数的和差公式和实 变函数一样，即有 sin(a±22）=sin21co8s2±cosz1 sin2 cos(z1±2)=cosa1cosz2干sina1sinz2, tan(1士2)=1干tantan2 tanz1±tan2 证因e(+2）=e1e”,对两边用欧拉公式，有 cos(21+z2)+i sin(21+22)=(cos z1+i sin z1)(cos z2 +i sin 22) =(cos z1 cos 22 sin z1 sin z2)+i(sin z1 cos z2 cos z1 sin z2). (2.6) 又因e-i(a+2)=e-i21ei2,对两边用欧拉公式，有 cos(21+z)-i sin(z1+22) =(cos z1 cos z2 sin z1 sin z2)-i(sin z1 cos 22+cos z1 sin 22). (2.7) 将公式(2.6)与(2.7)相加，得 c0s(21+22)=c0s2c0s22-sin21sin22
第二章解析函数 19 将公式(2.6)与(2.7)相减，得 sin(21+z)=sin z1 cos 22+cos z1 sin 22. 用类似的方法可以求得cos(a-2)和sin(-2)的公式. 由tan(土2)= 台士司，代入上面所得之公式即可得证， sin(z1±z2)】 例2.4求解下列复数方程： (1)cosz=i;(2)sinha+i=0. 解(1)因cosz= elz+e-iz =i,可得e”的二次方程 2 e2z-2iez+1=0. 解得e&=eer-(1土√②)i=(2士1)e2nr±r/2. [x)=2nπ+π/2， 第一组解为 、=-ln(W2+1), n=0,士1，士2，. x2)=2nπ-π/2， 第二组解为 2=-ln(2-1), n=0,±1，±2，. (2因ih2+i=g-e+1=0,可得 e2+2ie2-1=(e*+i2=0. 所以 e2=-i=e(2nW-元/2)，n=0,±1，±2，. 得解为 2n=i(2nπ-π/2)，n=0,±1，±2，. 例2.5设解析函数f(z)=u(x,)+iv(x,y),若已知下列条件 之一，求出f(z), (1)u(x,y)=ev sin x;(2)v(,y)=e(xsin-ycosy); (3)u(z,)+uc,)=x2-y2-2y. 解(1)方法一：因f(z)=u(x,)+iv(x,是解析的，所以其 虚部v(x,y)是可微的，且CR条件满足，有 如-架业+部w=光加+能w =-e sinx dx +ev cosxdy d(e cosx), 所以v(亿，y)=e cosx+C,这里C是任意实常数.得解 f(z)=u(x,y)+iv(,y)=e#sinx+iev cosx+ic