10 数学物理方法习题指导 因为此序列的聚点皆为实数，故存在上下极限.上极限为2/3， 下极限为-2/3. 习题 1.写出下列复数的实部、虚部、模和辐角： (1)1+i3; (2)e1sinr,x为实数： (3)e2; (4)e2: (⑤)e(),(x)是实变数x的实函数 (6)1-cosa+isina,0<a<27t. 2.把下列关系用几何图形表示出来： (1)1z<2 (2)2=2 (3)lz>2 佃Re&> (5)1<lmz<2 (6)0<argl-8)<T (7)z-a=z-bl,a,b为常数； (8)2-a+1z-b1=c,这里a,b,c均为常数，c>a-l. 3.求下列序列{z}的聚点和极限，如果是实数序列，则同时求 出上极限和下极限： 1 (1)n=（)”2n+ ②n=(-”2n+1 (3)n=n+（-)"(2m+1)i (4)2n=(2n+1)+(-)"ni 同=(+)m晋0a-(+动)=受
第二章解析函数 内容提要 一、解析函数 1.复变函数的导数：设0=f(z)是区域G内的单值函数，如 果在G内的某点z, ，8=，+2回 △z (2.1) 存在，且与△z→0的方式无关，则称函数（之）在z点可导，称此 极限值为(2)在z点的导数，记为'(z). 2.柯西-黎曼方程（简称C-R方程，或CR条件）： ou ov (2.2) 这是函数可导的必要条件，但不是充分条件. 极坐标中的柯西-黎曼方程： (2.3) 3.解析函数：在区域G内每一点都可导的函数，称为G内的 解析函数.称函数f(z)在0点解析，是指在0点的一个邻域内处 处可导. 4.判断复变函数解析性的两条定理： (1)定理1：定义在区域G内的单值函数w=f(z)=u(x,)+ iv(z,y）在G内解析的充分必要条件是u(x,)和v(x,y)在G内可 微，且满足CR方程， (2)定理2：定义在区域G内的单值函数w=∫(z)=(x,)+ 1:动在G内解析的充分必婴条作是需需密需存在连装 且满足C-R方程
12 数学物理方法习题指导 5.奇点：如果一个函数在某点0不解析，则称0点为函数的 奇点 显然，若函数f(z)在0无定义，或虽有定义但不可导，或虽可 导但不解析，则0点为函数的奇点. 6.互共轭调和函数：由于解析函数w=f(z)=u(x,)+iv(x,) 的实部和虚部在G内满足而加'0 ,连续和CR条件，故它们 都是调和函数，即有 02u82u 02+0w2=0, 82v.02v 且二者不互相独立，可以由u求出v,也可以由v求出u: Bu v(x,y)= 厂莎+dy+C, u(x,y）= 房密刘+d 称二者为互共轭调和函数.也就是说，只要知道了解析函数的实部 或虚部，就可求出整个解析函数（可差一个常数） 二、初等函数 一些常见的解析函数形式上与实函数相同，但性质却差别很大， 例如： 幂函数 2”, 全平面解析，∞为奇点； 指数函数e2, 全平面解析，∞为奇点，以i2π为周期； 三角函数sin2 全平面解析，∞为奇点，以2π为周期； C0s2, 双曲函数{s如h名，全平面解析，心为奇点，以12元为周期。 coshz, 三、多值函数 1.多值函数：在区域G内每一点z都有多个复数w1,w2, 与之相对应，则称之为多值函数.它们大多是一般初等函数的反函
第二章解析函数 数.多值函数有如 根式函数 Vz, 整数幂函数zn的反函数： 对数函数lnz, 指数函数e的反函数； 反三角函数arctan之，三角函数tanz的反函数； 当多值函数的宗量不是自变量z时，如多值函数2-a,n(z-a), 它们的多值性来源于宗量z-α（而不是自变量z)辐角的多值性 2.枝点：对于多值函数0=(z),在其定义域内存在这样的 个点z=a,在这点的邻域内当点z绕a一圈后回复到原来的位置 时，函数值改变了.则称点名=a为该多值函数的枝点，若绕a点n 圈后函数值恢复为原值，则称a为n-1阶枝点.枝点一定是函数的 奇点。 3.单值分枝：对于多值函数w=f(z),因为对于定义域中的 确定点之，函数值不确定，导数值也就不确定，所以不能一般地讨 论它的解析性.只有规定好了在z平面上的点（奇点除外）与函数 w的一一对应关系，讨论函数的解析性才有意义.规定的方法有两 种：(1)直接规定宗量辐角的变化范围，并限于不大于2π，（②）将 所有的奇点用割线连接起来，使：点在之平面上移动时不能跨越此 割线，从而使多值函数宗量辐角的变化不会超过2π，并规定好割线 某一岸上宗量的辐角，或给定了某一点处函数的值.这两种方法都 保证，对于给定的z，只有一个w值与之相对应.在这样规定的之 平面上，w=(z)当然就相当于一个单值函数.故称之为多值函数 的一个单值分枝. 4.黎曼面：把多值函数每两个相邻单值分枝的z平面在割线处 连接起来，两个单值分枝在此连接的割线上宗量的辐角是相等的， 或者是宗量的辐角虽然有2π整数倍的差，但是函数值相等.这样构 成的一个“多叶平面”就是黎曼面.例如函数f(z)=√z一a有两个 单值分枝，把两个单值分枝在宗量辐角都是2π的割线两岸连接起 来，再把两个单值分枝在宗量辐角分别为0和4π的割线两岸连接 起来，构成的一个二叶黎曼面；函数f(2)=血(z一a)有无穷多个单 值分枝，连接起来构成的一个无穷多叶黎曼面
数学物理方法习题指导 典型例题分析 例21判断下列函数何处可导？何处解析？如可导求其导数 (0fa)=2t;2f)=2m对③)fe)=2r+i3w (4f(a)=22+ (5)f(z)=sinx coshy+i cosx sinhy 解(1)f(z)=2z+z*=3x+iy,即知 u(x,y)=3x,v(x,)=y. 所以 =3=0,=0，需=1 显然，密手部即在全平面不满足CR方程因而该高数在全平 面不可导，也不解析 其实，该函数在全平面不解析，就是因为之在全平面不可导， 不解析. (2)f(z)=zm之=xy+iy2,即知 u(x,y)=xy, v(x,）=y2. 所以 Ou 0=, -,费=0，宽-29 上述四个偏导数连续，在x=0,y=0时，C-R条件满足，但若 z≠0，C-R条件不满足，因此函数在之=0点可导，在其余各点都 不可导，在全平面（包括之=0点）都不解析.在之=0点的导数为 =0. 在之=0点虽然可导，但不存在一个处处可导的邻域，因此不 解析 (3)f(z)=2x3+i3y3,它的实部和虚部分别为 u(x,y)=2x3,v(x,）=3y3 所以 驰=9y, =62资=0，-0需