第一章复数和复变函数 根据三角形中两边之和大于第三边， 有 AB+BC≥AC,AB+BD≥AD. 即得 +l2≥a+2, 图1.1 z1+2l≥21-22l. 根据三角形中两边之差小于第三边，有 AB-BC≤AC,AB-BD≤AD 即得 21-l22≤la1+22,a-22≤la-2. 综合起来得证 la-2l≤21±z2≤21+22. 证法二：直接用复数的运算性质来证明. i1+22=(a1+2)(21+2)=212+(1凌+12)+222 因对与对2互为共轭复数，相加后为实数，即 1站+z2=2Re(z1), 所以 a1+22=(a1+2)(a1+22)*=a12+2Re(a1)+22.(1.1) 同理 la-2l2=(a+2)(a1+2)=laP-2Re(a1对)+2l2.(1.2) 设1吃=a+ib,则lala2=√a2+2≥lal≥a=Re(a1),因此 由(1.1)式可得 a2-2a4l22l+22≤la1+z22≤1a2+2all2+22, 即 (z1-22)2≤1a1+222≤(0a1+l22)2, 开方后得 al-2≤a-22l≤|a+2≤|a1+2l
6 数学物理方法习题指导 同理，由(1.2)式可得 |3-l2≤21-2l≤2l+l2. 综合起来即有l-2l≤a±2l≤1+2. 讨论这一结果很容易推广为 a1+22+3+.+zn≤z1+2+3+.+2n (2)首先因 l2=V2+2≤√P+2+1=+ll. 又因 (0z-)2=z2-2x+l2≥0 即 z2+l2≥2xl. 所以 22=2(l2+l12)≥++2l=(0l+l02 即 ≥5@+0 综上即得证 方+D≤因≤国+. 例1.3求下列各式在复平面上表示什么区域： (1)1mz+lz≥2； 阅0≤ 解（仙）设之=x+ig,区域的定义化为V2+≥2-y,区 域的边界为 Vx2+y2=2-y. 这表示z点到原点的距离与它到直线，=2的距离相等.显然这是 一条以y=2为准线的抛物线，其方程为 2=4-4划，或y=1-2 区域√2+y2≥2-y,化简后为y≥1-是x2.也就是说，该 区域位于上述抛物线的上方，并包含了边界. (2)设z=x+iy·根据复数运算规则，区域的定义可化为 0≤arge-)-arge+1)<
第一章复数和复变函数 7 方法一：几何法 在复平面上任取一点之，则z-1和之+1 的向量如图1.2所示.分别令其辐角为 arg(z-1)=B;arg(z+1)=a. 令两向量之问的夹角为Y,由三角形内外 图1.2 角之间的关系可知 arg(-1)-arg(z+1)=B-a=Y, 根据题意有0≤y<π/2.因此，区域的边界应是Y=0和y=π/2. Y≥0即3≥a,这表示区域在y≥0的上半平面； Y=π/2表示y是立于直径(-1到+1)上的圆周角，因此Y<π/2 的区域应在单位圆x2+y2=1之外，即x2+y2>1. 综合起来，所定义的区域是由y≥0与x2+2>0所限定的 区域，如图1.2所示. 讨论用这一方法不骏给出0≤g引<a,当。=君 ,Q=时所代表的区找. Q= 方法二：代数法一 将不等式0≤ag=arge-)-age+)=B-a<受 1 取正切，有0≤tan(B-a)<o,即 tanB-tan a 0≤1+tano tan月<o. 由图1.2知tan3= z一，an=z十，代入上式并化简后得 y 2y 0≤2+-<0. 这表明分子与分母应有相同的符号，因此得出两个解 y≥0， y≤0， x2+y2-1>0, x2+2-1<0. 显然，当y<0时有arg(z-1)-arg(z+1)<0,这与题设不符.因 此，所求区域应满足 了y≥0， x2+y2-1>0
数学物理方法习题指导 方法三：代数法二 因，所似有 0≤w-g2<爱 (x+1)2+y2 % 2y 0≤arctan+l2+ 2u x2+y2-1 =-arctan2+y-<分 (x+1)2+y2 这表明复数子+1+2型的辐角在第一象限。也就是说其 (x+1)2+w2 实部和虚部都应是非负的，即有 x2+y2-1 +2+>0, 2y +2+≥0， 因分母(x+1)2+y2>0,所以可得出 y≥0， x2+y2-1>0. 例1.4证明 (1)棣莫弗公式(cos0+isin)n=cosn0+isin n9; (2)代数方程的一个基本性质：若z=p十iq是实系数方程 an2"+an-12n-1+.+a1z+a0=0 的根，则其共轭复数2=刀一q也必为此方程的根 证(1)由欧拉公式得知 (cos0+i sine)n=(eio)"=eino. 再用欧拉公式得 eino=cos n0+i sin n0. 即得证 (cos0 +i sin)n cos n0+i sin n0 (2)因为之=p+iq是方程的根，因此有 an(p+iq)”+an-1p+ig)m-1+.+a1(p+iq)+a0=0
第一章复数和复变函数 9 将上式取共轭，考虑到系数{ax},(k=1,2,.,n)均为实数，所以有 an(p-iq)n+an-1p-ig)n-1+.+a1(p-ig）+ao=0. 即得证z*=p-ig也是方程的根. 例1.5求下列和式的有限表达式： (1)sin+sin2p+.+sinnΦ； (2)cos中+cos2p+.+cosno 解利用欧拉公式ek=cosk中+isinko,得到 [cos中+cos2b+.+cosn+i[sinp+sin2o+.+sinn -el+2(1-eino)elo 1-ei =ei(t)2 (e-imn e-io/2-e/2 =sinn2 [cos(n+1)2+i sin(n+1)/2). 将实部和虚部分开，则得 si血+sin20++ino=-n sin(n+l）/2, sino/2 sinnΦ/2 cos+cos20++cosn= sin/2cs(n+1)/2. 例16求序列{去5s}a=,23.的极限、案 3n 点或上下极限. 解序列的每个项中有两个因子2n士51和csT,当n一∞ 时，第一个因子有极限2/3，而第二个因子将会不断的重复取以下 的值： cosπ/4=V2/2; cos2m/4=0;cos3π/4=-V2/2: c0s4π/4=-1： . cos8m/4=1; 可见该序列有5个聚点：0，±√2/3，±2/3. 只当聚点唯一时才有极限存在，因此此序列不存在极限