《电工技术》课程教学资源（教案讲义）第3章 正弦交流电路

复数(complexnumber)将复数A放到复平面上，可表示为A=/a+b,=tg"bU0+1aaA=a+jb=pcosp+jpsinpA=a+ jb代数式A=p(cosp+jsinp)三角函数式b0=pejo指数式a=pp极坐标形式设a、b为正实数A=a+ jb=pejp?在第一象限A=-a+ jb= pejo在第二象限A=-a-jb=pejg?在第三象限A=a- jb= peio在第四象限复数运算1.加、减运算A=A±AA =a, + jb,则：设：=(a,±a,)+ j(b,±b,)A =az + jb,=a+ jb2.乘法运算A, = prejnA= A,-A,设：则：=prP2-e(g+2)A, =prejer3- 6

3- 6 复数(complex number) 将复数 A 放到复平面上，可表示为： a b a b tg 2 2 1 ,       A  a  jb   cos  j sin               j e j A a jb (cos sin ) 设 a、b 为正实数   j A  a  jb  e  在第一象限   j A  a  jb  e  在第二象限   j A  a  jb  e  在第三象限   j A  a  jb  e  在第四象限 复数运算 1.加 、减运算 设： 2 2 2 1 1 1 A a jb A a jb     则： a jb a a j b b A A A         ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2.乘法运算 设： 2 1 2 2 1 1     j j A e A e   则： ( ) 1 2 1 2 1 2         j e A A A

3.除法运算A, =prej:A=Pie/(o-0)设：则：A =Pre'gA,P2+1a若图中A以の角速度逆时针方向旋转，时间t后转过の角度。这时在虚轴上的投影为：x=psin(ot+p)因此复平面上的旋转复矢量：A=pe（e)=pej.ejo，取其虚部得：x= Im A'= Im(pejeej)= p.sin(ot +p)为正弦量。式中pej为未旋转的复量A，ejo为旋转因子。在一正弦交流电路中，所有的正弦量都是同频率的，即旋转因子是相同的，与电路计算无关，可见复量A=pej与正弦量x=psin(ot+の)是相互对应的关系，可用复数A=pe来表示正弦量，记为X=pe=p/，并称其为相量。相量的书写方式：1.描述正弦量的有向线段称为相量。若其幅度用最大值表示则用符号：Umim2.实际应用中，幅度多采用有效值，用符号：U、13.相量符号U、i包含幅度与相位信息。注：正弦量的描述是针对三要素，复矢量可表示幅度与相位信息。？变化快慢的角频率如何表示？正弦波的相量表示法举例例3.2.1将ul、u2用相量表示：u=/2U,sin(ot+p)，uz=V2U,sin(ot+P）设：幅度：相量大小U>U，相位：P2>93- 7

3- 7 3. 除法运算 设： 2 1 2 2 1 1     j j A e A e   则：   1 2 2 1 2 1       j e A A 若图中 A 以 角速度逆时针方向旋转，时间 t 后转过 角度。这时在虚轴上的 投影为： x   sin(t ) 因此复平面上的旋转复矢量： j t j j t A e e e          ' (  ) ，取其虚部得： Im Im( )  sin( )   x  A  e e   t  j j t 为正弦量。式中   j e 为未旋转的复矢量 A， j t e  为旋转因子。 在一正弦交流电路中，所有的正弦量都是同频率的，即旋转因子是相同的，与电 路计算无关，可见复矢量   j A  e 与正弦量 x   sin(t )是相互对应的关系，可用 复数   j A  e 来表示正弦量，记为        j X e  ，并称其为相量。 相量的书写方式： 1.描述正弦量的有向线段称为相量 。若其幅度用最大值表示则用符号： m m U I  、 2. 实际应用中，幅度多采用有效值，用符号：U I 、 3. 相量符号 U I 、包含幅度与相位信息。 注：正弦量的描述是针对三要素，复矢量可表示幅度与相位信息。？变化快慢的 角频率如何表示? 正弦波的相量表示法举例 例 3.2.1 将 u1、u2 用相量表示:     1 1 1 2 2 2 u  2U sin  t  ，u  2U sin  t  设：幅度：相量大小U2  U1 ,相位：2   1

U,=U,ej=U,Lpi,,=U,ej=U,Lp,U,滞后于U,例3.2.2同频率正弦波相加-平行四边形法则u =/2U, sin (ot+g)U=U,+U,uz=2U,sin (o1+g2)0同频率正弦波的相量画在一起，构成相量图。102但要准确求出其值是较为困难的。解决办法是什么？注意：1.只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。2.只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，不同频率的正弦量不能画在一张相量图上。新问题提出：平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。故引入相量的复数运算法。相量→复数表示法一→复数运算应用举例例3.2.3已知瞬时值，求相量。TT314t-已知：i=141.4sin314t+A, u=311.1sinV求：i、u36的相量。1_ 141.4Z30°=100Z30°=86.6+j50A解：V2U = 311-1Z-60 *=2202-60 *=110 - J 190.5 VV23- 8

3- 8 1 1 1 1 1   U U e U  j  , 2 2 2 2 2   U U e U  j  ,U1 滞后于U2  例 3.2.2 同频率正弦波相加 - 平行四边形法则     2 2 2 1 1 1 2 sin 2 sin         u U t u U t U U1 U2      同频率正弦波的相量画在一起，构成相量图。 但要准确求出其值是较为困难的。解决办法是什么？ 注意 ： 1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，不同频率的正弦量不能画在一 张相量图上。 新问题提出： 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。故引入相量的复数运算法。 相量 → 复数表示法 → 复数运算 应用举例 例 3.2.3 已知瞬时值，求相量。 已知 ： V 3 A 311.1sin 314 6 141.4sin 314                   i t ，u t ，求：i 、u 的相量。 解： 30 100 30 86.6 50 A 2 141.4 I       j    60 220 60 110 190.5 V 2 311.1 U         j   

i_141.4+Z30°=100Z30°=86.6+j50100V216+/3U=_311.1220-60=220Z-60°=110-j190.5V2例3.2.4已知相量，求瞬时值。已知两个频率都为1000Hz的正弦电流其相量形式为：i,=100Z-60°A,i,=10e/30°A求：不i,=100/2 sin(6280t-60°)A解：0=2元f=2元×1000=6280i,=10/2sin(6280t+30°)A小结：正弦波的四种表示法-1波形图otOFu=U sin(ot+@)瞬时值1.相量图复数U=a+jb=Uej=UZp符号法符号说明：瞬时值--小写：U、i有效值大写：U、I最大值--大写+下标：U.复数、相量--大写+“”"：U3- 9

3- 9 30 100 30 86.6 50 2 141.4 I       j    60 220 60 110 190.5 2 311.1 U         j   例 3.2.4 已知相量，求瞬时值。 已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形式为： 100 60 A 10 A 30 1 2     j I    ，I  e 求： 1 2 i、i 解：  2 f  2 1000  6280 10 2 sin(6280 30 ) A 100 2 sin(6280 60 ) A 2 1       i t i t 小结：正弦波的四种表示法 符号说明：瞬时值 - 小写：u、i 有效值 - 大写：U、I 最大值 - 大写+下标：Um 复数、相量 - 大写 + “.”：U