第一步正交化 B B2=a2 (a2,B) 2(B,B) ●鲁●鲁鲁●t鲁 B=a (a,月) B1 (ar,B21) (B,A1) (Br-1,Br-) 容易验证{,2,…,月}是一个正交向量组
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , r r r r r r r r − − − − = = − = − − − 第一步 正交化 容易验证 1 2 , , , r 是一个正交向量组
第二步单位化 B2 A A2 显然{,2,…,是一个标准的正交向量组。 例1运用正交化与单位化过程将向量组 1,1,0,01,a2=1,0,0 ]a3=[-00,1 化为标准正交向量组 解:先正交化
第二步 单位化 显然 是一个标准的正交向量组。 例 1 运用正交化与单位化过程将向量组 化为标准正交向量组。 解：先正交化 1 2 1 2 1 2 , , , r r r = = = 1 2 , , , r 1 2 3 = = = − 1,1,0,0 , 1,0,1,0 , 1,0,0,1
1.0.0 (a2,B) 11 1.0 2(B,B) 22 (a3,B)g(a3,B) B B2 (B,B)(B2,B2 333 再单位化
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 2 1 1 1 3 1 3 2 3 3 1 2 1 1 2 2 1,1,0,0 , 1 1 , ,1,0 , 2 2 , , 111 , , ,1 , , 3 3 3 = = = − = − = − − = − 再单位化
,0,0 B2 12 h=16·60 B3 1113 A23232√32 那么{7h,7h,72}即为所求的标准正交向量组。 例2求下面齐次线性方程组
1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 , ,0,0 2 2 1 1 2 , , ,0 6 6 6 1 1 1 3 ,,, 2 3 2 3 2 3 2 3 = = = = − = = − 那么 即为所求的标准正交向量组。 例 2 求下面齐次线性方程组 1 2 3 , ,
x,+x+x2+x,=0 x1+2x2+3x2+4x4=0 2x1+3x2+4x2+5x=0 其解空间的一个标准正交基底。 解:先求出其一个基础解系 X 2.0. X,=2,-3,0 下面对X1,X2进行正交化与单位化:
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 0 2 3 4 0 2 3 4 5 0 x x x x x x x x x x x x + + + = + + + = + + + = 其解空间的一个标准正交基底。 解： 先求出其一个基础解系 下面对 进行正交化与单位化： X X 1 2 = − = − 1, 2,0,1 , 2, 3,0,1 1 2 X X