a=(a12a2,…,an),B=(b,b2,…,bn) 规定 (a, B): =a(B)=a,b+a,b,+.+a, b 容易验证(,)是C上的一个内积,从 而C"成为一个酉空间。 例2设C[a,b]表示闭区间[a,6上的所有 连续复值函数组成的线性空间,定义 ( g): f(x)g(x)dy
1 2 1 2 ( , , , ), ( , , , ) = = a a a b b b n n 规定 容易验证 是 上的一个内积，从 而 成为一个酉空间。 例 2 设 表示闭区间 上的所有 连续复值函数组成的线性空间，定义 1 1 2 2 ( , ) : ( )T = = + + + a b a b a bn n ( , ) n C n C C a b [ , ] [ , ] a b ( , ) : ( ) ( ) b a f g f x g x dx =
容易验证(,)是C[a,b上的一个内 积,于是C[a,b]便成为一个酉空间 例3在n2维线性空间CM中,规定 (A,B):=(AB) 其中B表示B中所有元素取共轭复数后再 转置,容易验证(,)是Cn上的 个内积,从而C连同这个内积一起成为 酉空间。 内积空间的基本性质:
容易验证 是 上的一个内 积，于是 便成为一个酉空间。 例 3 在 维线性空间 中，规定 其中 表示 中所有元素取共轭复数后再 转置，容易验证 是 上的一 个内积，从而 连同这个内积一起成为 酉空间。 内积空间的基本性质： ( , ) C a b [ , ] C a b [ , ] 2 n n n C ( , ) : ( ) H A B Tr AB = H B B ( , ) n n C n n C
欧氏空间的性质: (1)(a,kB)=k(a,B) (2)(a,B+y)=(a,B)+(a,) (3)(k1,B)=∑k(a12B) (4)(a,∑kB)=∑k(a,月)
1 1 1 1 (1) ( , ) ( , ) (2) ( , ) ( , ) ( , ) (3) ( , ) ( , ) (4) ( , ) ( , ) t t i i i i i i t t i i i i i i k k k k k k = = = = = + = + = = 欧氏空间的性质：
酉空间的性质: (1)(a,kB)=k(a,B) (2)(a,B+y)=(a,B)+(a,y) (3)∑ka,B)=∑k(a,B) a∑kB)=∑(a,)
酉空间的性质： 1 1 1 1 (1) ( , ) ( , ) (2) ( , ) ( , ) ( , ) (3) ( , ) ( , ) (4) ( , ) ( , ) t t i i i i i i t t i i i i i i k k k k k k = = = = = + = + = =
定义:设V是n维酉空间,{a}为其一组 基底,对于V中的任意两个向量 a=∑xa,B=∑ya 那么C与B的内积 (a,)=(∑x,2y)=∑xy(a1a) 令 gn=(a12a1),ij=1,2,…,n
定义：设 是 维酉空间， 为其一组 基底，对于 中的任意两个向量 那么 与 的内积 V n i V 1 1 , n n i i j j i j x y = = = = 1 1 , 1 ( , ) ( , ) ( , ) n n n i i i i i j i j i j i j x y x y = = = = = 令 ( , ), , 1, 2, , g i j n ij i j = =