对前面第一式应用分离变量法，令E=E(r)E(t)，于是有V?E(r)E"=0，此式成立必须二者皆为某一常数E(F)E(t)E"(t)+@, E(t) =0E"()区一0？，可得，其中为波数，且为k?=のE(t)VE(r)+k?E() = 0第一个方程称为简谐方程，其通解为E,(U)=Eo,ejo，其中Eo,是由空腔的起始激励决定的常数，の是空腔自由振荡的模式频率（即腔的本征值）。第二个方程是仅和空间坐标有关的波动方程。对于给定形状的空腔可以在选定坐标系后应用分离变量法求解。这里假设第i个本征解为E("）。那么，对于第i个自由振荡模式的解可表示为E(r,t)=E,E(r)ejo。而腔内所有本征解的组合形式为E(r,t)=ZE,(r,I)=ZEo,E,(F)ej。i=1i=1H(r,t) =ZH,(r,t)-ZHo,H,(r)ejo" 。利用同样过程可得i=1i=1
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根据麦克斯韦方程，模式系数Eo.和Ho.必然存在特定比例关系，这个$ 7.2比例关系取决于规定的方法，如果归一化条件定为微波谐振器的基本特性[,E,(r)]dV=1J,H,()dV=1可由麦克斯韦方程证明：证明过程两个归一化条件都要Eo, =-jnHoi使用，一个用来确定Eo和Hoi之间的比例关系，另一个用来确定比例系数。这样第i个自由振荡模式可写成（注：E(r)和H()均为实函数）E(F)=IV×H;(P)E,(r,t) = Eo,E,(r)ejgrk,H,(,1)=jEαH,()e/a ，代入麦氏方程得H;(F)=Iv×E(I)k,可以证明：对于空腔中任意一个自由振荡模式，其最大电场储能等于其最大磁场储能，即(W.)max =(Wm)max其中，=J,aV，（=,av
7 §7.2 微波谐振器的基本特性
S7.2微波谐振器的基本特性有关结论：分布性：集总参数LC振荡迥路有明显的“电区域”和“磁区域”谐振腔是分布参数谐振器，无明显的“电区域”和“磁区域”多谐性：LC路只有一个谐振频率。微波谐振器具有多谐性，一2定尺寸的腔有无穷多个本征模（自由振荡模），每个模有它自已的谐振频率。③振荡性：空腔中的场都是简谐变化的ejo，电场和磁场有90°的相差，因而在振荡过程中能量不断交替变化，电场最大时磁场为0，反之亦然两者的最大值是相等的。8
8 §7.2 微波谐振器的基本特性
S7.2微波谐振器的基本特性微波谐振器的基本参数常数1、谐振波长（或谐振角频率@）2o是谐振腔最重要的一个参数，它的确定需要求解电磁场本征值问题。对于波导谐图6.2-2任意形状的封闭谐振腔振器可应用规则波导理论中的一些直接结果。根据规则波导理论，若将波导轴向两端用导体进行封闭，则在子方向上场必然也呈驻波分布其中的横向电场为入射场和反射场之迭加，即E, = AE(μu,v)e(oα-β=) + BE(u,V)ej(or+β=)由z=0处，E=0，可得A=-B，即E,=-j2AE(μu,v)sinβzejot;由z=l处，E=0，可得β=p元/l，p是整数，代表z方向的半驻波数。可见，离散值，另有1=p元。/2，即半波长的整数倍
9 §7.2 微波谐振器的基本特性
S7.2微波谐振器的基本特性p的取值范围：TM波：p=0，[因为E,垂直端面，可不随z变化，所以p=0,1,2……….TE波：p+0，因为TE的电场全在横截面内，因在z=0和l处有E=0那么p=0意味着电场沿方向不变且处处为零，因此磁场也必为零，这样的场毫无意义，所以p-1,2,3.……….k?+β2k=V,/k?+(p元/1)?=2元V,/(/2)+(p/21)0VueVlue12元V1Vf.0V(/a)+(p/2)?/(1/a) +(1/a.)可见，谐振波长与谐振腔的形状尺寸和工作模式有关。10
10 §7.2 微波谐振器的基本特性