22关系的性质 定义24:设R是集合A上的二元关系。 (1)自反:如果对任意a∈A有aRa,则称R 是自反的。 自反的定义要求是对所有的A中元素,因 此讨论自反关系,应在一给定集合下 A={1,2,3,4} R1={(1,1),(2,2),(3,3)}? R2={(1,1),(1,2,(2,2),3,3),4,4)? 对于自反,必须是对于每个x∈A,都去检验 是否有xRx
2.2关系的性质 • 定义2.4：设R是集合A上的二元关系。 • (1)自反：如果对任意aA,有aRa,则称R 是自反的。 • 自反的定义要求是对所有的A中元素，因 此讨论自反关系，应在一给定集合下 • A={1,2,3,4} • R1={(1,1),(2,2),(3,3)} ? • R2={(1,1),(1,2),(2,2),(3,3),(4,4)} ? • 对于自反,必须是对于每个xA,都去检验 是否有xRx
·(2)反自反:如果对任意a∈A,有(a,a)∈R, 则称R是反自反的。 反自反要求对任意的A中元素a,有 (a, aERo
• (2)反自反：如果对任意aA,有(a,a)R , 则称R是反自反的。 • 反 自 反要 求 对任 意的 A中元素 a， 有 (a,a)R
·不是自反的,不一定反自反 不是反自反的,也不一定是自反的。 R3={(1,2)(3,2是A上的反自反关系 思考:非空集合A上的空关系是否自反? 反自反? (3)对称:对任意a,beA,如果aRb必有 bRa,则称R是对的。 A={1,2,3,4} S1={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)}对称 S2={(1,2),(2,1),(1,3) 因为(1,3)∈S2而(3,1)S2 所以S2不是对称的 3={(1,2(2,1)3,3)对称
• 不是自反的，不一定反自反 • 不是反自反的，也不一定是自反的。 • R3={(1,2),(3,2)} 是A上的反自反关系 • 思考：非空集合A上的空关系是否自反？ 反自反？ • (3)对称：对任意a,bA ,如果aRb必有 bRa , 则称R是对称的。 • A={1,2,3,4} • S1={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)} 对称 • S2={(1,2),(2,1),(1,3)} • 因为(1,3)S2 ,而(3,1)S2 , • 所以S2不是对称的 • S3={(1,2),(2,1),(3,3)} 对称
(4)对任意ab∈A,如果aRb且bRa,必有a=b,则称 R是反对称的。 该定义实际上表明:当a≠b时,若有(a,b)∈R, 则(b,a)gR。 不是对称,不一定是反对称的 不是反对称的,也不一定是对称的。 可以既是对称的,又是反对称的
• (4)对任意a,bA,如果aRb且bRa,必有a=b,则称 R是反对称的。 • 该定义实际上表明：当ab时，若有(a,b)R, 则(b,a)R。 • 不是对称，不一定是反对称的 • 不是反对称的，也不一定是对称的。 • 可以既是对称的，又是反对称的
(5对任意a,b,c∈A,如果aRb且bRc必有aRc, 则称R是传递的。 注意:传递要求是:只要有aRb,bRc,则必 须有aRc 但若没有aRb,bRc,当然也就不需要讨论 是否有aRc
• (5)对任意a,b,cA, 如果aRb且bRc,必有aRc , 则称R是传递的。 • 注意：传递要求是：只要有aRb,bRc,则必 须有aRc • 但若没有aRb,bRc ，当然也就不需要讨论 是否有aRc