现以一束电矢量垂直于入射面的X射线（即。光）如图1.9那样入射到物质表面。设 入射波、镜面反射波和折射波的波矢分别为K。、Km和k(IK。I=IK,I=IKI,IkI= n1K1),其与物质表面的夹角分别为0。、0。与0。对于折射波，若k垂直表面的：成分的 图1.9。偏光在物质表面的反射与折射 虚部为汲，则折射波的强度将随其深入物质内部的深度z而exp(-2次z)式地衰减，强度 减至上时的深度为证当。<日时，可以求得折射波强度减至上时的穿入深度，在忽 略物质对X射线吸收的情况下为： la=1/2k√0-) 1.3.12a) 当计及物质的吸收时为： l=1/2k[(0-0)2+4g+g-02]} 1.3.12b 图1.10是以0。/0.为横坐标、以波长为0.138nm的X射线入射到Ge表面折射波穿入深度 的实例。由图可见，当掠射角0。≤日，时，X射线能够进入物质中的深度是极有限的，特称 之为衰逝(evanescent)波：当0。>0.以至0。>0.时，可按物质对X射线的吸收，以下式求 其穿入深度为： (1.3.13) 式中：为线吸收系数。 园厨园 图1.10波长0.l38nm的X射线掠入射到Ge表面时的穿入 深度，虚线表示大掠入射角的情况，Q。为临界角，0。为掠射角] 可以利用边界条件求得X射线的透射率和反射率。对于图1.9所示的。光的情况，可 求得： ·10·
现以一束电矢量垂直于入射面的Ｘ射线（即σ光）如图１９那样入射到物质表面。设 入射波、镜面反射波和折射波的波矢分别为Ｋ０、Ｋｍ 和ｋ（｜Ｋ０｜＝｜Ｋｍ｜＝｜Ｋ｜，｜ｋ｜＝ ｎ｜Ｋ｜），其与物质表面的夹角分别为θｏ、θｏ 与θ。对于折射波，若ｋ垂直表面的ｚ成分的 耘皂 θ燥 θ燥 θ 运燥 运皂 耘燥 扎 耘 噪 图１９ σ偏光在物质表面的反射与折射 虚部为ｉｋｚ，则折射波的强度将随其深入物质内部的深度ｚ而ｅｘｐ（－２ｉｋｚｚ）式地衰减，强度 减至１ ｅ 时的深度为 １ ２ｉｋｚ 。当θ０ ＜θｃ 时，可以求得折射波强度减至１ ｅ 时的穿入深度，在忽 略物质对Ｘ射线吸收的情况下为： ｌｔｏｔ ＝１?（２ｋ θ２ 槡ｃ －θ２ ０） （１３１２ａ） 当计及物质的吸收时为： ｌｔｏｔ ＝１?槡２ｋ［ （θ２ ｃ －θ２）２ 槡 ＋４β ２ ＋θ２ ｃ －θ ｛ ｝ ２］１?２ （１３１２ｂ） 图１１０是以θ０?θｃ为横坐标、以波长为０１３８ｎｍ的Ｘ射线入射到Ｇｅ表面折射波穿入深度 的实例。由图可见，当掠射角θ０ ≤θｃ 时，Ｘ射线能够进入物质中的深度是极有限的，特称 之为衰逝（ｅｖａｎｅｓｃｅｎｔ）波；当θ０ ＞θｃ以至θ０ θｃ时，可按物质对Ｘ射线的吸收，以下式求 其穿入深度ｌａｂｓ 为： ｌａｂｓ ＝ｓｉｎθ０?μ （１３１３） 式中μ为线吸收系数。 泽蚤灶θ园辕μ 员缘 园援园 园援缘 员援园 缘 员园园 载 射 线 的 穿 入 深 度 眼灶皂演 猿园园 圆园园 员援缘 θ园辕θ糟 园援园 园援缘 员援园 圆援园 园 图１１０ 波长０１３８ｎｍ的Ｘ射线掠入射到Ｇｅ表面时的穿入 深度，虚线表示大掠入射角的情况，θｃ 为临界角，θ０ 为掠射角［１６］ 可以利用边界条件求得Ｘ 射线的透射率和反射率。对于图１９所示的σ光的情况，可 求得： · ０１ ·
sino nsin 1.3.14a) {=n 2sin0。 1.3.14b) 并且，因偏光而导致的差异，在临界角附近的低角掠入射情况下，对式1.3.14)影响很 小。这样，反射率 E 和透射率昌都将随0，及Q面变化，在忽略样品吸收的情况 如果8。<9，日成为纯虚数，故反射率后 =1,即发生全反射.当0。=0.时，0= E=1 0 =2,即入射波反射波同位相，折射波的振幅为入射波的2倍。当0。=0时， 层=-1虎=0，入射波与反射波位相相反面相消，襄逝波也酒失。 在考虑到样品对X射线吸收的情汉下，根据式13.10，可求得层随受的变化。 如图1.11所示。综合图1.10和图1.11可以看到，在全反射条件下，对表面、界面的结构分 园缘 员 0特精 图1.11在物质表面处X射线的反射率1EmE。户 随0.0.的变化.0。为掠射角，0.为临界角，AB、CDE 为分别对应B6=0,0.01,0.04,0.08,0.14的曲线m 析以至荧光分析是极为有效的，对来自薄膜衬底的散射可以大大减弱。还可以根据式 1.3.8)和1.3.14)求得 E. E。 随0/0.的变化： h+会h-D过 4.3.15) 其中 ·11·
Ｅｍ Ｅ０ ＝ｓｉｎθ０ －ｎｓｉｎθ ｓｉｎθ０ ＋ｎｓｉｎθ （１３１４ａ） Ｅ Ｅ０ ＝ ２ｓｉｎθ０ ｓｉｎθ０ ＋ｎｓｉｎθ （１３１４ｂ） 并且，因偏光而导致的差异，在临界角附近的低角掠入射情况下，对式（１３１４）影响很 小。这样，反射率 Ｅｍ Ｅ０ ２ 和透射率 Ｅ Ｅ０ ２ 都将随θ０ 及θｃ 而变化。在忽略样品吸收的情况 下，如果θ０ ＜θｃ，θ成为纯虚数，故反射率 Ｅｍ Ｅ０ ２ ＝１，即发生全反射。当θ０ ＝θｃ 时，θ＝ ０，Ｅｍ Ｅ０ ＝１，Ｅ Ｅ０ ＝２，即入射波反射波同位相，折射波的振幅为入射波的２倍。当θ０ ＝０时， Ｅｍ Ｅ０ ＝－１，Ｅ Ｅ０ ＝０，入射波与反射波位相相反而相消，衰逝波也消失。 在考虑到样品对Ｘ射线吸收的情况下，根据式（１３１４），可求得 Ｅ Ｅ０ ２ 随θ０ θｃ 的变化。 如图１１１所示。综合图１１０和图１１１可以看到，在全反射条件下，对表面、界面的结构分 园 员 反 园援缘 射 率 θ燥辕θ糟 月 悦 阅 粤 耘 园援缘 员 员援缘 图１１１ 在物质表面处Ｘ射线的反射率｜Ｅｍ／Ｅ０｜２ 随θ０／θｃ 的变化。θ０ 为掠射角，θｃ 为临界角，Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ 为分别对应β／δ＝０，００１，００４，００８，０１４的曲线［１７］ 析以至荧光分析是极为有效的，对来自薄膜衬底的散射可以大大减弱。还可以根据式 （１３８）和（１３１４）求得 Ｅｍ Ｅ０ ２ 随θ０?θｃ 的变化： Ｅｍ Ｅ０ ２ ＝ ｈ－θ０ θｃ 槡２（ｈ－１） １ ２ ｈ＋ θ０ θｃ 槡２（ｈ－１） １ ２ （１３１５） 其中 · １１ ·
h=(会+√受-1了+（层.在图1.11中曲线ABCD.E是从不考虑吸收以 致吸收越来越大的反射率变化曲线。利用全反射可以对X射线进行聚光或做X射线镜。 1.4X射线的散射和衍射 物质对X射线的散射有相干的称为弹性散射”)和非相干的称为“非弹性散射”)两种。 对于前者，其散射波和入射波具有相同的波长，并且散射前后具有确定的位相关系，散射波之 间相互干涉，产生衍射现象，这为用X射线对物质结构进行分析提供了所需信息。而后者则在 散射过程中随着能量的损失，散射波的波长发生变化，并且位相也无固定关系。 1.4.1弹性散射 当X射线入射到物质上时，物质中的电子便在X射线电场的作用下做加速运动，加速 运动的电子以球面波的形式向周围空间辐射电磁波，即散射波。历史上称这种以电子为散 射体的散射为“Thomson散射”。 如设物质中原子内的电子是“自由”的，则由一个电子所散射的散射波，在距离r处的 强度1，可表示为： = 1.4.1) 式中1。为入射波的强度，r.为经典电子半径(r.=e24πeomc2=2.8179×105[m]),P 为偏振因子，可表示为： P sin'y (1.4.2) X为电子的振动方向与散射波传播方向的夹角。在电子的振动方向(x=0)散射波的强度 为0，在其垂直方向(x=牙)强度最大。 入射 图1.12电子对X射线的散射 实际上原子中的电子是受束缚的。对此，可做如下处理，如图1.12所示，置电子于原 点，取X射线传播方向为z轴，取X射线电场作用下电子受迫振动的方向为x轴，则电子 的运动方程可表示为： ·12·
ｈ＝ θ０ （ ） θｃ ２ ＋ θ０ （ ） θｃ ２ ［ ］ －１ ２ ＋（ ）β 槡 δ ２ 。在图１１１中曲线Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ是从不考虑吸收以 致吸收越来越大的反射率变化曲线。利用全反射可以对Ｘ射线进行聚光或做Ｘ射线镜。 １４ Ｘ射线的散射和衍射 物质对Ｘ射线的散射有相干的（称为“弹性散射”）和非相干的（称为“非弹性散射”）两种。 对于前者，其散射波和入射波具有相同的波长，并且散射前后具有确定的位相关系，散射波之 间相互干涉，产生衍射现象，这为用Ｘ射线对物质结构进行分析提供了所需信息。而后者则在 散射过程中随着能量的损失，散射波的波长发生变化，并且位相也无固定关系。 １４１ 弹性散射 当Ｘ射线入射到物质上时，物质中的电子便在Ｘ射线电场的作用下做加速运动，加速 运动的电子以球面波的形式向周围空间辐射电磁波，即散射波。历史上称这种以电子为散 射体的散射为“Ｔｈｏｍｓｏｎ散射”。 如设物质中原子内的电子是“自由”的，则由一个电子所散射的散射波，在距离ｒ处的 强度Ｉｅ 可表示为： Ｉｅ ＝Ｉ０ Ｐｒ２ ｅ ｒ２ （１４１） 式中Ｉ０ 为入射波的强度，ｒｅ 为经典电子半径（ｒｅ ＝ｅ２ ?４πε０ｍｃ２ ＝２８１７９×１０－１５［ｍ］），Ｐ 为偏振因子，可表示为： Ｐ ＝ｓｉｎ２ χ （１４２） χ为电子的振动方向与散射波传播方向的夹角。在电子的振动方向（χ＝０）散射波的强度 为０，在其垂直方向（χ ＝ π ２）强度最大。 则 曾 χ 韵 电子 散射波 入射波 匀泽 耘泽 耘燥 扎 图１１２ 电子对Ｘ射线的散射 实际上原子中的电子是受束缚的。对此，可做如下处理，如图１．１２所示，置电子于原 点，取Ｘ射线传播方向为ｚ轴，取Ｘ射线电场作用下电子受迫振动的方向为ｘ轴，则电子 的运动方程可表示为： · ２１ ·
m()-e 1.4.3) 式中E。“为X射线的电场，x为电子自平衡位置的位移。式(1.4.3)左边第2项为电子 辐射电磁波的阻尼力，Y为阻尼因子，第3项为电子云的束缚力，。为电子的固有振动 (角)频率。式1.4.3)的稳定解为： eEoeh x=m (o w -iro) 1.4.4) 电子的偶极矩P为： -e2Eoe p=-x=mw2-6-i0） 1.4.5) 当电子的振动速度x远比光速小时，则处在原点的电偶极子所辐射的电磁场在充分远的 r处，可表示为： E,(=rx (rxp) 1.4.6) 4πe0cr H,(t)=eor×E,(t) =-r×P 1.4.7) 4πcr2 式中P=-品为时刻：=1一二的值，：叫延迟时间把式1,4.)代入式4.6可 将E,(t)表为： E,)=0-6-i07 -1r×xE)e" 1.4.8) 其中，=rlr,E,、E。分别表示E,和E。的单位矢量，可得： 1E=a@-前+70导16 1.4.9) 这里P=(8,·8)2为偏振因子。设以L,表示散射波的强度，则从式1.4.9)可得： ↓=6ia-3+7月 (1.4.10) 当散射体为自由电子时，上式中的o=0阻尼因子 y=0,散射波的强度还归于式1.4.1)，只需将L改 写为L即可。 ,散射波 在图1.13中，把散射线的散射角20与方位角 表示出来，这时偏光因子P就可表示为： P sin2 cos220cos2 (1.4.11) 现在先考虑入射光为线偏振光的情况。当偏振矢量 。与散射面垂直[如图1.14a)]时，散射光的偏振矢 量ε，也与散射面垂直，这时有中=牙，P=1:而当 ,处于散射面内[如图1.146)]时，散射光的E,也 图1,13散射线的散射角与方位角 ·13·
ｍ（ｄ２ ｘ ｄｔ２ ＋γ ｄｘ ｄｔ ＋ω０ ２ ｘ）＝－ｅＥ０ｅ ｉωｔ （１．４．３） 式中 Ｅ０ｅ ｉωｔ 为Ｘ射线的电场，ｘ为电子自平衡位置的位移。式（１４３）左边第２项为电子 辐射电磁波的阻尼力，γ 为阻尼因子，第３项为电子云的束缚力，ω０ 为电子的固有振动 （角）频率。式（１４３）的稳定解为： ｘ ＝ ｅＥ０ｅ ｉωｔ ｍ（ω２ －ω２ ０ －ｉγω） （１４４） 电子的偶极矩Ｐ 为： Ｐ ＝－ｅｘ ＝ －ｅ２ Ｅ０ｅ ｉωｔ ｍ（ω２ －ω２ ０ －ｉγω） （１４５） 当电子的振动速度ｘ · 远比光速小时，则处在原点的电偶极子所辐射的电磁场在充分远的 ｒ处，可表示为： Ｅｓ （ｔ）＝ｒ×（ｒ×Ｐ ） ４πε０ｃ２ ｒ３ （１４６） Ｈｓ （ｔ）＝ε０ｃｒ×Ｅｓ （ｔ） ｒ ＝－ｒ×Ｐ ·· ４πｃｒ２ （１４７） 式中Ｐ ＝－ｅｄ２ ｘ ｄｔ２ 为时刻τ＝ｔ－ｒ ｃ 的值，τ叫延迟时间。把式（１４５）代入式（１４６）可 将Ｅｓ （ｔ）表为： Ｅｓ （ｔ）＝ｒｅ ω２ ω２ －ω２ ０ －ｉγω １ ｒｒ ∧ ×（ｒ ∧ ×Ｅ０）ｅ ｉωｔ （１４８） 其中，ｒ ∧ ＝ｒ?ｒ，εｓ、ε０ 分别表示Ｅｓ 和Ｅ０ 的单位矢量，可得： ｜Ｅｓ｜２ ＝ｒ２ ｅ ω４ （ω２ －ω２ ０）２ ＋γ２ ω２ Ｐ ｒ２｜Ｅ０｜２ （１４９） 这里Ｐ ＝（εｓ·ε０）２ 为偏振因子。设以Ｉｓ 表示散射波的强度，则从式（１４９）可得： Ｉｓ ＝Ｉ０ｒ２ ｅ ω４ （ω２ －ω２ ０）２ ＋γ２ ω２ Ｐ ｒ２ （１４１０） 圆θ 则 曾 ε园 散射波 入射波 扎 赠 图１１３ 散射线的散射角与方位角 当散射体为自由电子时，上式中的ω０ ＝０，阻尼因子 γ＝０，散射波的强度还归于式（１４１），只需将Ｉｓ改 写为Ｉｅ 即可。 在图１１３中，把散射线的散射角２θ与方位角 表示出来，这时偏光因子Ｐ 就可表示为： Ｐ ＝ｓｉｎ２ ＋ｃｏｓ２ ２θｃｏｓ２ （１４１１） 现在先考虑入射光为线偏振光的情况。当偏振矢量 ε０与散射面垂直［如图１１４（ａ）］时，散射光的偏振矢 量εｓ 也与散射面垂直，这时有＝ π ２，Ｐ ＝１；而当 ε０ 处于散射面内［如图１１４（ｂ）］时，散射光的εｓ 也 · ３１ ·
在散射面之内，这时÷=0，P=c0s220。对前者称为g光，后者称为π光。 入射波散射面散射波 、泽 图1.14线偏振入射的X射线：)σ光，Nπ光与散射面的关系 在实验室中，由X光管所辐射出的X射线是非偏振的，即。取垂于直传播方向的所 有方向。这时的偏光因子P,可就方位角平均，求出： P=号1+cos220) 1.4.12) X射线的电磁场与电子电荷间的电的互作用产生Thomson散射：而X射线的电磁场 与电子的自旋及其轨道角动量间的磁的互作用，可以产生磁散射。如果入射光很强（如同 步辐射光)也可用磁散射来研究磁性晶体的磁结构，通常磁散射的振幅比Thomson散射 的振幅要小至几个数量级 1.4.2非弹性散射 以上所述，可认为是电子对X射线波的散射。电子还可以与X射线光子相撞而产生散 射。在这一过程中，X射线光子把一部分动量和能量转移给电子，此即所谓Compton散射， 如图1.15所示。具有能量助o的X射线光子经与静止的电子相撞后，能量变为@，根据 能量、动量守恒定律可得： =1+h-os2) 1.4.13) WU. mc 敢射光子 /反神电子， 入射光子 图1.15 Compton散射 式1.4.13)还可表示为： -a=4-20 1.4.14) 其中Ao,入，分别表示散射前后X射线的波长。h/mc=0.00243nm称为Compton波长。由 式1.4.14)可知散射角20越大，波长的变化越大，向后散射越显著。根据相对论量子力学 的处理，非偏振的X射线Compton散射的微分截面为： d=号g+-m0an .4.15) ·14·
在散射面之内，这时＝０，Ｐ ＝ｃｏｓ２ ２θ。对前者称为σ光，后者称为π光。 ε园 圆θ ε泽 圆θ 穴葬雪 泽园 入射波 散射面 散射波 穴遭雪 ε园 ε泽 泽 图１１４ 线偏振入射的Ｘ射线：（ａ）σ光，（ｂ）π光与散射面的关系 在实验室中，由Ｘ光管所辐射出的Ｘ射线是非偏振的，即ε０ 取垂于直传播方向的所 有方向。这时的偏光因子Ｐ，可就方位角平均，求出： Ｐ ＝ １ ２ （１＋ｃｏｓ２ ２θ） （１４１２） Ｘ射线的电磁场与电子电荷间的电的互作用产生Ｔｈｏｍｓｏｎ散射；而Ｘ射线的电磁场 与电子的自旋及其轨道角动量间的磁的互作用，可以产生磁散射。如果入射光很强（如同 步辐射光）也可用磁散射来研究磁性晶体的磁结构，通常磁散射的振幅比 Ｔｈｏｍｓｏｎ散射 的振幅要小至几个数量级。 １４２ 非弹性散射 以上所述，可认为是电子对Ｘ射线波的散射。电子还可以与Ｘ射线光子相撞而产生散 射。在这一过程中，Ｘ射线光子把一部分动量和能量转移给电子，此即所谓Ｃｏｍｐｔｏｎ散射， 如图１．１５所示。具有能量ω０ 的Ｘ射线光子经与静止的电子相撞后，能量变为ωｓ，根据 能量、动量守恒定律可得： ω０ ωｓ ＝１＋ ω０ ｍｃ２（１－ｃｏｓ２θ） （１４１３） 入射光子 散射光子 反冲电子 圆θ 图１１５ Ｃｏｍｐｔｏｎ散射 式（１４１３）还可表示为： λｓ －λ０ ＝ ｈ ｍｃ （１－ｃｏｓ２θ） （１４１４） 其中λ０，λｓ 分别表示散射前后Ｘ射线的波长。ｈ?ｍｃ＝０００２４３ｎｍ称为Ｃｏｍｐｔｏｎ波长。由 式（１４１４）可知散射角２θ越大，波长的变化越大，向后散射越显著。根据相对论量子力学 的处理，非偏振的Ｘ射线Ｃｏｍｐｔｏｎ散射的微分截面为： ｄσｃ ＝ｒ２ ｅ ２ ω２ ｓ ω２ ０ （ω０ ωｓ ＋ωｓ ω０ －ｓｉｎ２θ）ｄΩ （１４１５） · ４１ ·