经典和现代数学物理方法 陆振球编著 上海科学技术出版社
书 经典和现代数学物理方法 陆振球 编著 上 海 科 学 技 术 出 版 社
内容提要 本书分三个部分，即单复变函数论、数学物理方程和小 波分析及其应用。第一部分有实分析到复分析的扩充及其 应用于定积分与级数和的计算：第二部分有物理问题的数 学模型、线性偏微方程的基本解法—分解综合方法（包括 频谱分解和脉冲分解)、行波法、广义函数、特殊函数（包括 超几何理论和渐近理论)及其应用、逆散射问题和非线性问 题；第三部分有连续和离散小波变换、框架理论、多分辨分 析、Daubiches小波及小波应用于求解数学物理方程，小波 是一类很重要的表象，有广泛的应用，已渗透到自然科学的 一切领域，作者在指出导致小波“神秘化”的三个原因的同 时，力图深入浅出地解决这些问题。 和现行国内外同类教科书相比，本书在内容、观点、次 序等方面作了若千重大变动。 本书可作为综合大学和高等师范院校物理类各系本科 生的救材，也可作为综合大学化学类和工科大学物理类工 程专业研究生的教材或参考书，亦可供有关科技人员参考
内 容 提 要 本书分三个部分，即单复变函数论、数学物理方程和小 波分析及其应用。第一部分有实分析到复分析的扩充及其 应用于定积分与级数和的计算；第二部分有物理问题的数 学模型、线性偏微方程的基本解法———分解综合方法（包括 频谱分解和脉冲分解）、行波法、广义函数、特殊函数（包括 超几何理论和渐近理论）及其应用、逆散射问题和非线性问 题；第三部分有连续和离散小波变换、框架理论、多分辨分 析、Ｄａｕｂｉｃｈｅｓ小波及小波应用于求解数学物理方程，小波 是一类很重要的表象，有广泛的应用，已渗透到自然科学的 一切领域，作者在指出导致小波“神秘化”的三个原因的同 时，力图深入浅出地解决这些问题。 和现行国内外同类教科书相比，本书在内容、观点、次 序等方面作了若干重大变动。 本书可作为综合大学和高等师范院校物理类各系本科 生的教材，也可作为综合大学化学类和工科大学物理类工 程专业研究生的教材或参考书，亦可供有关科技人员参考
序 言 本书被列为“九五”国家教委普通高等学校重点教材。本课程被国家教委评为名牌 课程。 本书共分三个部分，即单复变函数论、数学物理方程和小波变换及其应用。 单复变函数论，共四章。前三章是由实分析到复分析的扩充。任何扩充需且只需满足 三原则。最后一章是留数定理及其应用于定积分与级数和的计算。 数学物理方程，共九章。第一章是物理问题的数学模型，第二至第六章介绍线性偏微分 方程定解问题的基本解法，第七、八章介绍特殊函数及其应用，最后一章介绍逆散射问题和 非线性问题。 这一部分的重点是介绍求解线性系统的基本方法一分解综合方法，特别是频谱分解 和脉冲分解方法。其物理思想很简单，就是独立作用原理，而其数学根据就是正交展开问 题，特别是按本征函数系的正交展开问题。这里的频谱分解法包括空间频谱分解、时间频谱 分解和时空频谱分解，它把分离变量法和积分变换法融成一体，脉冲分解法把时间脉冲、空 间脉冲、时空脉冲、初始脉冲、边界脉冲等等以统一的观点处理，杜阿梅尔(Duhamel)方法和 黎曼方法等也在其内。考虑到连续谱分解和脉冲分解中需用广义函数，现代物理教学和科 研中也大量涉及，所以专设一章介绍广义函数，并以扩充三原则为核心介绍广义函数。 在特殊函数的处理上，既重视各个特殊函数的个性，又强调它们之间的共性，特别是强 调它们的共同研究方法和内在联系。本书还以球谐函数和圆柱函数为特例介绍超几何理论 之精髓。行波法的适用范围虽较狭窄，但也不失为一个重要方法，特别是行波概念十分有 用。逆散射和非线性问题是近二三十年米十分热门的研究课题。逆散射问题中主要介绍逆 散射微扰论和GLM方法。非线性问题中介绍Hirota变换、贝克隆(Backlund)变换和逆散 射变换。在物理应用方面，本书也作了若干更新。 在推导数学模型时，这里采用微分法，也可以采用积分法。 数学物理方程的研究对象十分广泛。只就线性系统而言，这里主要介绍标量二阶线性 双曲或抛物或椭圆型偏微分方程系统，没有或很少涉及矢量方程、高阶方程、混合型方程、积 分方程和微分积分方程。特别是矢量方程在电磁波和弹性波等理论中随着科学研究的不断 深入而日益显出其重要地位。本书也没有介绍应用中比较重要的维纳-霍普夫(Wiener- HOpf)方法及其他复变函数论方法，也没有介绍许多重要的近似方法。感兴趣的读者可参 阅有关参考书。 小波变换及其应用，共六章。小波变换介于傅氏变换和脉冲变换的中间变换，它们是傅 氏变换的发展。这里的变换是函数按某个函数系展开的问题，是一类很重要的表象。考虑 到实际应用，必须对展开函数系作很多限制。问题是：能找到满足很多限制条件的函数系， 即小波函数系吗？如果能找到，又如何去构造呢？小波变换是否也有和快速傅氏变换类似 的快速变换？
序 言 本书被列为“九 五”国 家 教 委 普 通 高 等 学 校 重 点 教材。本课程被国家教委评为名牌 课程。 本书共分三个部分，即单复变函数论、数学物理方程和小波变换及其应用。 单复变函数论，共四章。前三章是由实分析到复分析的扩充。任何扩充需且只需满足 三原则。最后一章是留数定理及其应用于定积分与级数和的计算。 数学物理方程，共九章。第一章是物理问题的数学模型，第二至第六章介绍线性偏微分 方程定解问题的基本解法，第七、八章介绍特殊函数及其应用，最后一章介绍逆散射问题和 非线性问题。 这一部分的重点是介绍求解线性系统的基本方法———分解综合方法，特别是频谱分解 和脉冲分解方法。其物理思想很简单，就是独立作用原理，而其数学根据就是正交展开问 题，特别是按本征函数系的正交展开问题。这里的频谱分解法包括空间频谱分解、时间频谱 分解和时空频谱分解，它把分离变量法和积分变换法融成一体，脉冲分解法把时间脉冲、空 间脉冲、时空脉冲、初始脉冲、边界脉冲等等以统一的观点处理，杜阿梅尔（Ｄｕｈａｍｅｌ）方法和 黎曼方法等也在其内。考虑到连续谱分解和脉冲分解中需用广义函数，现代物理教学和科 研中也大量涉及，所以专设一章介绍广义函数，并以扩充三原则为核心介绍广义函数。 在特殊函数的处理上，既重视各个特殊函数的个性，又强调它们之间的共性，特别是强 调它们的共同研究方法和内在联系。本书还以球谐函数和圆柱函数为特例介绍超几何理论 之精髓。行波法的适用范围虽较狭窄，但也不失为一个重要方法，特别是行波概念十分有 用。逆散射和非线性问题是近二三十年来十分热门的研究课题。逆散射问题中主要介绍逆 散射微扰论和 ＧＬＭ 方法。非线性问题中介绍 Ｈｉｒｏｔａ变换、贝克隆（Ｂｃｋｌｕｎｄ）变换和逆散 射变换。在物理应用方面，本书也作了若干更新。 在推导数学模型时，这里采用微分法，也可以采用积分法。 数学物理方程的研究对象十分广泛。只就线性系统而言，这里主要介绍标量二阶线性 双曲或抛物或椭圆型偏微分方程系统，没有或很少涉及矢量方程、高阶方程、混合型方程、积 分方程和微分积分方程。特别是矢量方程在电磁波和弹性波等理论中随着科学研究的不断 深入而日益显出 其 重 要 地 位。本 书 也 没 有 介 绍 应 用 中 比 较 重 要 的 维 纳 霍 普 夫（Ｗｉｅｎｅｒ Ｈｏｐｆ）方法及其他复变函数论方法，也没有介绍许多重要的近似方法。感兴趣的读者可参 阅有关参考书。 小波变换及其应用，共六章。小波变换介于傅氏变换和脉冲变换的中间变换，它们是傅 氏变换的发展。这里的变换是函数按某个函数系展开的问题，是一类很重要的表象。考虑 到实际应用，必须对展开函数系作很多限制。问题是：能找到满足很多限制条件的函数系， 即小波函数系吗？如果能找到，又如何去构造呢？小波变换是否也有和快速傅氏变换类似 的快速变换？
2 序 言 小波变换的第一章给出其定义，并说明为什么要对小波作种种限制，第二至第五章回答 上面提出的三个问题，第六章介绍它们在求解数学物理方程定解问题中的应用，它一般只能 是近似解法，也顺便提及其他一些应用。小波变换的蓬勃发展是1988年以后的事，但现在 已渗透到自然科学的一切领域，包括物理学的一切分支。 小波变换急需普及，但至今对广大物理和工程工作者来说，仍是一个“神秘”的领域。原 因有三，其中两个是客观的，其一是它们涉及一些泛函分析内容，其二是小波的种类和具体 的小波很多，而且满足种种限制的小波几乎都没有解析表示，只能给出其几何或数值表示： 还有一个是主观原因，即很多问题的完整提出往往很长，如果问题的提出还没弄清就急于去 寻找解决办法，就会造成思想和方法上的混乱。本书在指出导致小波变换“神秘化”的三个 原因的同时，力图深入浅出地去解决这些问题。 本书中带星号的内容很有用，但不在对大学物理专业本科生基本要求范围之内，可供 有兴趣的读者自学之用。 学习方法希望读者掌握以下方法：在处理一个问题时首先要弄清问题是什么，即所谓 问题的提出，弄清哪些是已知的、可测的或事先要求知道的，哪些是未知的、待解决的，而以 后的一切都围着这个目的，目的达到，问题就解决了。在这个方面常见的缺点是提出问题时 常丢掉一些已知条件，因而在处理过程中不时加进一开始就应该列出的已知条件。这在从 事科研时不可避免，但在学习阶段应尽可能减少：另一个缺点是不知最后的目的，因而无法 理解以后发生的一切。在弄清问题的提出后，最重要的是了解处理问题的基本思想，这种基 本思想不牵涉大量的数学运算，它只是一种处理问题的数学的（尤其是几何的）、物理的思 路，简单明确。这是学习时特别要注意的，是决定成败之关键。紧接着是基本思想的具体实 现，这一步会遇到大量数学运算，但如果掌握了基本思想后，就不会陷于繁杂的数学运算而 不知所措。最后是技巧，处理各种问题中有各种巧妙的处理技术，使计算大大简化。总之 学习时要注意问题的完整提出，解决问题的基本思想，基本思想的实现步骤和技巧。千万不 要只重视具体步骤而轻视完整问题的提出，轻视处理问题的基本思想，也不要把原则和技巧 混为一谈。希望读者对自己觉得难的问题、章节甚至全书作这种四方面的总结。 作为学生，在学习阶段主要是学习目前已有的知识，它们是别人的发现和创造。但要真 正掌握这些知识，就必须以发明者、创造者的身份去学习。这可以说是学习方法的核心。 和现行教科书相比，本书在内容、观点、次序等方面作了若干大的变动，是否妥当，有待 试验。由于时间仓促，水平有限，定有不少谬误，希多提意见，批评指正。 本书稿，特别是复变函数论和数学物理方程部分，曾经过复旦大学倪光炯教授和北京大 学吴崇试教授的认真审阅，在小波变换及其应用部分，也曾经过安徽大学李世雄教授和国士 资源部地质所杨文采教授的认真审阅，他们提了不少宝贵意见。 在整个写作过程中，我的妻子张夏娥承相了几乎全部家务，为写作提供了良好条件：在 出版过程中，得到上海科学技术出版社的大力帮助。 我们的逆散射研究项目是由中华人民共和国自然科学基金会资助的。在此一并向他们 致以深切的谢意。 谨以此书献给我的母亲 陆振球 2002年2月于南开大学
小波变换的第一章给出其定义，并说明为什么要对小波作种种限制，第二至第五章回答 上面提出的三个问题，第六章介绍它们在求解数学物理方程定解问题中的应用，它一般只能 是近似解法，也顺便提及其他一些应用。小波变换的蓬勃发展是１９８８年以后的事，但现在 已渗透到自然科学的一切领域，包括物理学的一切分支。 小波变换急需普及，但至今对广大物理和工程工作者来说，仍是一个“神秘”的领域。原 因有三，其中两个是客观的，其一是它们涉及一些泛函分析内容，其二是小波的种类和具体 的小波很多，而且满足种种限制的小波几乎都没有解析表示，只能给出其几何或数值表示； 还有一个是主观原因，即很多问题的完整提出往往很长，如果问题的提出还没弄清就急于去 寻找解决办法，就会造成思想和方法上的混乱。本书在指出导致小波变换“神秘化”的三个 原因的同时，力图深入浅出地去解决这些问题。 本书中带星号的内容很有用，但不在对大学物理专业本科生基本要求范围之内，可供 有兴趣的读者自学之用。 学习方法 希望读者掌握以下方法：在处理一个问题时首先要弄清问题是什么，即所谓 问题的提出，弄清哪些是已知的、可测的或事先要求知道的，哪些是未知的、待解决的，而以 后的一切都围着这个目的，目的达到，问题就解决了。在这个方面常见的缺点是提出问题时 常丢掉一些已知条件，因而在处理过程中不时加进一开始就应该列出的已知条件。这在从 事科研时不可避免，但在学习阶段应尽可能减少；另一个缺点是不知最后的目的，因而无法 理解以后发生的一切。在弄清问题的提出后，最重要的是了解处理问题的基本思想，这种基 本思想不牵涉大量的数学运算，它只是一种处理问题的数学的（尤其是几何的）、物理的思 路，简单明确。这是学习时特别要注意的，是决定成败之关键。紧接着是基本思想的具体实 现，这一步会遇到大量数学运算，但如果掌握了基本思想后，就不会陷于繁杂的数学运算而 不知所措。最后是技巧，处理各种问题中有各种巧妙的处理技术，使计算大大简化。总之， 学习时要注意问题的完整提出，解决问题的基本思想，基本思想的实现步骤和技巧。千万不 要只重视具体步骤而轻视完整问题的提出，轻视处理问题的基本思想，也不要把原则和技巧 混为一谈。希望读者对自己觉得难的问题、章节甚至全书作这种四方面的总结。 作为学生，在学习阶段主要是学习目前已有的知识，它们是别人的发现和创造。但要真 正掌握这些知识，就必须以发明者、创造者的身份去学习。这可以说是学习方法的核心。 和现行教科书相比，本书在内容、观点、次序等方面作了若干大的变动，是否妥当，有待 试验。由于时间仓促，水平有限，定有不少谬误，希多提意见，批评指正。 本书稿，特别是复变函数论和数学物理方程部分，曾经过复旦大学倪光炯教授和北京大 学吴崇试教授的认真审阅，在小波变换及其应用部分，也曾经过安徽大学李世雄教授和国土 资源部地质所杨文采教授的认真审阅，他们提了不少宝贵意见。 在整个写作过程中，我的妻子张夏娥承担了几乎全部家务，为写作提供了良好条件；在 出版过程中，得到上海科学技术出版社的大力帮助。 我们的逆散射研究项目是由中华人民共和国自然科学基金会资助的。在此一并向他们 致以深切的谢意。 谨以此书献给我的母亲。 陆振球 ２００２年２月于南开大学 ２ 序 言
Preface This book is one of the key textbooks for high education,which was approved by the State Education Commission of China and the course:Methods of Mathematical Physics has been approved as a famous course by the State Education Commission of China since 1998. This book is divided into three parts,Function Theory of One Complex Variable, Equations of Mathematical Physics and Wavelets and Their Applications. The first part has four chapters.The first three chapters are devoted to the extension of real analysis to complex analysis.Any extension is feasible if and only if it is subjected to the three principles of extension.The fourth chapter introduces Residue Theorem and its applications to evaluation of definite integrals and series. The second part has nine chapters.In the first chapter,mathematical models of physical phenomena are constructed.The basic methods for the solutions of linear partial differential equations are introduced in the following five chapters.Special functions and their asymptotic expansions and their applications to equations of mathematical physics are dealt with in Chapters 7 and 8.And finally,inverse scattering problems and nonlinear problems are studied in Chapter 9. Much emphasis is placed on basic methods for the solutions of linear systems- methods of linear decomposition and synthesis,especially methods of spectral decomposition and impulse decomposition.The physical idea on which these two methods are based is very simple,that is the law of independence of disturbances,and the corresponding mathematical idea is the orthogonal expansion,in particular,the eigenfunction expansion.In this part,the method of separation of variables and the method of integral transforms are combined into one method as the method of spectral decomposition.Temporal impulses,spatial impulses,spatio-temporal impulses,initial impulses and boundary impulses are treated in a unified way in the method of impulse decomposition,including the Duhamel and the Riemann methods.Generalized functions get a chapter to themselves because they are indispensable to methods of continuous spectral decomposition and impulse decomposition and are greatly involved in the modern physics education and research.Generalized functions are also introduced based on the three principles of extension. The second part also gives the quintessence of the hypergeometric theory in only two sections.The method of traveling waves is also a useful one,especially the picture of traveling waves involved.The inverse problem and the nonlinear problem were two
Ｐｒｅｆａｃｅ Ｔｈｉｓｂｏｏｋｉｓｏｎｅｏｆｔｈｅｋｅｙｔｅｘｔｂｏｏｋｓｆｏｒｈｉｇｈｅｄｕｃａｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈｗａｓａｐｐｒｏｖｅｄｂｙｔｈｅ ＳｔａｔｅＥｄｕｃａｔｉｏｎＣｏｍｍｉｓｓｉｏｎｏｆＣｈｉｎａａｎｄｔｈｅｃｏｕｒｓｅ：ＭｅｔｈｏｄｓｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＰｈｙｓｉｃｓ ｈａｓｂｅｅｎａｐｐｒｏｖｅｄａｓａｆａｍｏｕｓｃｏｕｒｓｅｂｙｔｈｅＳｔａｔｅＥｄｕｃａｔｉｏｎＣｏｍｍｉｓｓｉｏｎｏｆＣｈｉｎａｓｉｎｃｅ １９９８． Ｔｈｉｓｂｏｏｋｉｓｄｉｖｉｄｅｄｉｎｔｏｔｈｒｅｅｐａｒｔｓ，Ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＴｈｅｏｒｙｏｆＯｎｅＣｏｍｐｌｅｘ Ｖａｒｉａｂｌｅ， ＥｑｕａｔｉｏｎｓｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＰｈｙｓｉｃｓａｎｄＷａｖｅｌｅｔｓａｎｄＴｈｅｉｒＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅｆｉｒｓｔｐａｒｔｈａｓｆｏｕｒｃｈａｐｔｅｒｓ．Ｔｈｅｆｉｒｓｔｔｈｒｅｅｃｈａｐｔｅｒｓａｒｅｄｅｖｏｔｅｄｔｏｔｈｅｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｏｆｒｅａｌａｎａｌｙｓｉｓｔｏｃｏｍｐｌｅｘａｎａｌｙｓｉｓ．Ａｎｙｅｘｔｅｎｓｉｏｎｉｓｆｅａｓｉｂｌｅｉｆａｎｄｏｎｌｙｉｆｉｔｉｓｓｕｂｊｅｃｔｅｄ ｔｏｔｈｅｔｈｒｅｅｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓｏｆｅｘｔｅｎｓｉｏｎ．ＴｈｅｆｏｕｒｔｈｃｈａｐｔｅｒｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓＲｅｓｉｄｕｅＴｈｅｏｒｅｍａｎｄ ｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｔｏｅｖａｌｕａｔｉｏｎｏｆｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌｓａｎｄｓｅｒｉｅｓ． Ｔｈｅｓｅｃｏｎｄｐａｒｔｈａｓｎｉｎｅｃｈａｐｔｅｒｓ．Ｉｎｔｈｅｆｉｒｓｔｃｈａｐｔｅｒ，ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｓｏｆ ｐｈｙｓｉｃａｌｐｈｅｎｏｍｅｎａａｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ．Ｔｈｅｂａｓｉｃｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｌｉｎｅａｒｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓａｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｉｎｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇｆｉｖｅｃｈａｐｔｅｒｓ．Ｓｐｅｃｉａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄ ｔｈｅｉｒａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｅｘｐａｎｓｉｏｎｓａｎｄｔｈｅｉｒａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｔｏｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｐｈｙｓｉｃｓａｒｅ ｄｅａｌｔｗｉｔｈｉｎＣｈａｐｔｅｒｓ７ａｎｄ８．Ａｎｄｆｉｎａｌｌｙ，ｉｎｖｅｒｓｅｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓａｎｄｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｐｒｏｂｌｅｍｓａｒｅｓｔｕｄｉｅｄｉｎＣｈａｐｔｅｒ９． Ｍｕｃｈｅｍｐｈａｓｉｓｉｓｐｌａｃｅｄｏｎ ｂａｓｉｃ ｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓ— ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ， ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｓｐｅｃｔｒａｌ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｎｄｉｍｐｕｌｓｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ．Ｔｈｅｐｈｙｓｉｃａｌｉｄｅａｏｎｗｈｉｃｈｔｈｅｓｅｔｗｏｍｅｔｈｏｄｓ ａｒｅｂａｓｅｄｉｓｖｅｒｙｓｉｍｐｌｅ，ｔｈａｔｉｓｔｈｅｌａｗ ｏｆｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅｏｆｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅｓ，ａｎｄｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｉｄｅａ ｉｓ ｔｈｅ ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ，ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ，ｔｈｅ ｅｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎｅｘｐａｎｓｉｏｎ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｒｔ，ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｏｆｓｅｐａｒａｔｉｏｎ ｏｆｖａｒｉａｂｌｅｓａｎｄｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｏｆｉｎｔｅｇｒａｌｔｒａｎｓｆｏｒｍｓａｒｅｃｏｍｂｉｎｅｄｉｎｔｏｏｎｅ ｍｅｔｈｏｄａｓｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｏｆｓｐｅｃｔｒａｌ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ．Ｔｅｍｐｏｒａｌｉｍｐｕｌｓｅｓ，ｓｐａｔｉａｌｉｍｐｕｌｓｅｓ，ｓｐａｔｉｏｔｅｍｐｏｒａｌｉｍｐｕｌｓｅｓ，ｉｎｉｔｉａｌ ｉｍｐｕｌｓｅｓａｎｄｂｏｕｎｄａｒｙｉｍｐｕｌｓｅｓａｒｅｔｒｅａｔｅｄｉｎａｕｎｉｆｉｅｄ ｗａｙｉｎｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｏｆｉｍｐｕｌｓｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇｔｈｅＤｕｈａｍｅｌａｎｄｔｈｅＲｉｅｍａｎｎ ｍｅｔｈｏｄｓ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｇｅｔａｃｈａｐｔｅｒｔｏｔｈｅｍｓｅｌｖｅｓｂｅｃａｕｓｅｔｈｅｙａｒｅｉｎｄｉｓｐｅｎｓａｂｌｅｔｏ ｍｅｔｈｏｄｓｏｆｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｓｐｅｃｔｒａｌｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｎｄｉｍｐｕｌｓｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｎｄａｒｅｇｒｅａｔｌｙｉｎｖｏｌｖｅｄｉｎｔｈｅｍｏｄｅｒｎ ｐｈｙｓｉｃｓｅｄｕｃａｔｉｏｎａｎｄｒｅｓｅａｒｃｈ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｒｅａｌｓｏｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｂａｓｅｄｏｎｔｈｅ ｔｈｒｅｅｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓｏｆｅｘｔｅｎｓｉｏｎ． Ｔｈｅｓｅｃｏｎｄｐａｒｔａｌｓｏｇｉｖｅｓｔｈｅｑｕｉｎｔｅｓｓｅｎｃｅｏｆｔｈｅｈｙｐｅｒｇｅｏｍｅｔｒｉｃｔｈｅｏｒｙｉｎｏｎｌｙｔｗｏ ｓｅｃｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｏｆｔｒａｖｅｌｉｎｇ ｗａｖｅｓｉｓａｌｓｏａｕｓｅｆｕｌｏｎｅ，ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙｔｈｅｐｉｃｔｕｒｅｏｆ ｔｒａｖｅｌｉｎｇ ｗａｖｅｓｉｎｖｏｌｖｅｄ．Ｔｈｅｉｎｖｅｒｓｅｐｒｏｂｌｅｍ ａｎｄｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒｐｒｏｂｌｅｍ ｗｅｒｅｔｗｏ