第八章真空中的静电场 基本要求 一、理解电场强度和电势这两个基本概念和它们之间的联系。 二、掌握反映静电场性质的两个基本定理一一高斯定理和环流定 理的重要意义及其应用。 三、掌握从已知的电荷分布求场强和电势分布的方法。 内容提要 一、真空中的库仑定律 F=婴白 库仑定律的适用条件：1.点电荷：2.电荷静止（或低速）。 二、电场和电场强度 电场电荷能够产生电场。电场是一种客观存在的物质形态。 电场对外表现的性质：1.对处于电场中的其他带电体有作用力： 2.在电场中移动其他带电体时，电场力要对它做功，这也表明电 场具有能量。 电场强度的定义式 E=F 90 点电荷场强公式 E=证昌白 场强叠加原理电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点 产生的场强的叠加（矢量和）。 几种常见带电体的场强 110
110 第八章 真空中的静电场 基 本 要 求 一、理解电场强度和电势这两个基本概念和它们之间的联系。 二、掌握反映静电场性质的两个基本定理——高斯定理和环流定 理的重要意义及其应用。 三、掌握从已知的电荷分布求场强和电势分布的方法。 内 容 提 要 一、真空中的库仑定律 ( ) 4 1 2 1 2 0 r r q q r F = 库仑定律的适用条件：1. 点电荷；2. 电荷静止（或低速）。 二、电场和电场强度 电场 电荷能够产生电场。电场是一种客观存在的物质形态。 电场对外表现的性质：1. 对处于电场中的其他带电体有作用力； 2. 在电场中移动其他带电体时，电场力要对它做功，这也表明电 场具有能量。 电场强度的定义式 0 q F E = 点电荷场强公式 ( ) 4 1 2 0 r r q r E = 场强叠加原理 电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点 产生的场强的叠加（矢量和）。 几种常见带电体的场强
1、电荷线密度为入的无限长均匀带电直线外一点的场强 E二2o4 2、电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面外一点的场强 E= 260 方向垂直于带电平面。 3、带电Q、半径为R的均匀带电导体球面或导体球的场强 分布 r<R时，E=0 >R时，E=4E,F6 4、带电Q、体密度为p的均匀带电球体场强分布 KR时，E=4,R r>R时，E= 三、电通量高斯定理 电场线（电力线）画法1.电场线上某点的切线方向和该点 场强方向一致：2.通过垂直于E的单位面积的电场线的条数等于 该点E的大小。 电场线的性质1.两条电场线不能相交：2.电场线起自正电 荷（或无穷远处)，止于负电荷（或无穷远处），电场线有头有尾， 不是闭合曲线。 电场强度通量中.=川E·S 电场强度通量也可形象地说成是通过该面积S的电场线的条 数。 高斯定理真空中静电场内，通过任意闭合曲面的电场强度 111
111 1、电荷线密度为 λ 的无限长均匀带电直线外一点的场强 a λ E 0 2 = 2、电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面外一点的场强 2 0 σ E = 方向垂直于带电平面。 3、带电 Q、半径为 R 的均匀带电导体球面或导体球的场强 分布 r<R 时， E =0 r>R 时， 2 0 4 0 E r r Q = 4、带电 Q、体密度为 ρ 的均匀带电球体场强分布 r<R 时， E r 3 4 0R Q = r>R 时， 2 0 4 0 E r r Q = 三、电通量 高斯定理 电场线（电力线）画法 1. 电场线上某点的切线方向和该点 场强方向一致；2. 通过垂直于 E 的单位面积的电场线的条数等于 该点 E 的大小。 电场线的性质 1. 两条电场线不能相交；2. 电场线起自正电 荷（或无穷远处），止于负电荷（或无穷远处），电场线有头有尾， 不是闭合曲线。 电场强度通量 = s Φe E dS 电场强度通量也可形象地说成是通过该面积 S 的电场线的条 数。 高斯定理 真空中静电场内，通过任意闭合曲面的电场强度
通量等于该曲面所包围的电量的代数和的1/o倍。 月5s盈 60 高斯定理是描写静电场基本性质的基本定理，它反映了电场 与形成电场的场源（电荷）之间的关系，说明静电场是有源场。 四、静电场的保守性环路定理 静电力做功的特点电场力做的功只取决于被移动电荷的起 点和终点的位置，与移动的路径无关。 静电场的环路定理E·dl=0 上式说明静电场力所做的功与路径无关，也说明静电场是保 守力场。 环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验一个 电场是不是静电场。环路定理要求电场线不能闭合，说明静电场 是无旋场。 五、电势能、电势和电势差 保守力做功和势能增量的关系Aa6=2(W62W。) q0在电场中a、b两点电势能之差等于把q0自a点移至b点 过程中电场力所做的功。 m。-m。=∫心F.dl=go∫心E.dl 电势能选标准点（势能零点），且取W=0,9%在电场中某 点a的电势能为 m。=goJE.dl 即q0自ā移到“标准点”的过程中电场力做的功。电势能应属 新产生电场的源电荷系统共有：
112 通量等于该曲面所包围的电量的代数和的 1/ 0 倍。 0 = S内 S q E dS 高斯定理是描写静电场基本性质的基本定理，它反映了电场 与形成电场的场源（电荷）之间的关系，说明静电场是有源场。 四、静电场的保守性 环路定理 静电力做功的特点 电场力做的功只取决于被移动电荷的起 点和终点的位置，与移动的路径无关。 静电场的环路定理 = 0 E dl 上式说明静电场力所做的功与路径无关，也说明静电场是保 守力场。 环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验一个 电场是不是静电场。环路定理要求电场线不能闭合，说明静电场 是无旋场。 五、电势能、电势和电势差 保守力做功和势能增量的关系 Aa→b = (Wb Wa) q0 在电场中 a、b 两点电势能之差等于把 q0 自 a 点移至 b 点 过程中电场力所做的功。 − = = b a b a Wa Wb F dl q E dl 0 电势能 选标准点（势能零点），且取 W 标=0，q0 在电场中某 点 a 的电势能为 = 标 0 a Wa q E dl 即 q0 自 a 移到 “标准点”的过程中电场力做的功。电势能应属 于 q0 和产生电场的源电荷系统共有
电势差a、b两点的电势差即把单位正电荷自a→b过程中 电场力做的功。 0。-U,=_形=El 90 电势电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点移到“标 准点”过程中电场力做的功。 u,-形=Edl 90 点电荷电势公式V=4雷 电势叠加原理电场中某点的电势等于各电荷单独在该点产 生的电势的叠加（代数和）。 六、场强和电势的关系电势梯度 等势面电势相等的点组成的面。 等势面和电场线的关系①等势面与电场线处处垂直：②电 场线从高电势处指向低电势处：③等势面密处场强大。 场强和电势梯度的微分关系 E=-gradU或E=-VU 解题方法与例题分析 一、求场强的方法 在普通物理学中，求解静电场的场强的基本方法通常有以下 三种：1.用点电荷场强公式和场强叠加原理求场强：2.由高斯定 理求场强，这种方法只能求解一些典型的对称性分布的带电体的 场强：3.己知或求出电势分布U后，再由E=-gradU求场强。 熟练掌握求解静电场场强的这三种方法是学好电磁学的关键。 113
113 电势差 a、b 两点的电势差即把单位正电荷自 a→b 过程中 电场力做的功。 = − − = b a a b a b d q W W U U E l 0 电势 电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点移到“标 准点”过程中电场力做的功。 = = 标 0 a a a d q W U E l 点电荷电势公式 r q U 0 4 = 电势叠加原理 电场中某点的电势等于各电荷单独在该点产 生的电势的叠加（代数和）。 六、场强和电势的关系 电势梯度 等势面 电势相等的点组成的面。 等势面和电场线的关系 ①等势面与电场线处处垂直；②电 场线从高电势处指向低电势处；③等势面密处场强大。 场强和电势梯度的微分关系 E = −gradU 或 E = −U 解题方法与例题分析 一、求场强的方法 在普通物理学中，求解静电场的场强的基本方法通常有以下 三种：1. 用点电荷场强公式和场强叠加原理求场强；2. 由高斯定 理求场强，这种方法只能求解一些典型的对称性分布的带电体的 场强；3. 已知或求出电势分布 U 后，再由 E = −gradU 求场强。 熟练掌握求解静电场场强的这三种方法是学好电磁学的关键
1.用点电荷场强公式和场强叠加原理求场强 原则上说，用点电荷场强公式和场强叠加原理可以求任何带 电体所产生的场强。带电体可以分为连续和非连续带电体，非连 续带电体（如电偶极子）的场强的求解方法较简单，本书主要介 绍连续带电体的场强的求解方法一一积分法。 用积分方法求任意带电体的场强的基本思想是把带电体看作 电荷元的集合（电荷元可以是线元、面元或体元）。在电场中某点 的场强为各电荷元在该点产生的场强的矢量和。积分法解题的主 要步骤如下： ①将带电体分成无数的电荷元，每一电荷元可视为点电荷， 任一电荷元在空间某点场强为 dE= .ro 4E。r2 ②由场强的叠加原理，带电体在该点产生的场强 E=-证- 选择适当的坐标系，把矢量积分E=「dE化为分量积分式，如取 直角坐标系，则E=∫dEx,E,=∫dE,E=∫dE, ③根据积分式中各变量之间的关系，找出统一变量，由选定 的坐标系和带电体的形状确定积分限，注意积分要遍及整个带电 体。 ④进行积分求得Ex、E,、E,再求出E。 在某些情况下，可把电荷连续分布的带电体看作由许多微小 宽度的带电直线（或圆环）或者具有微小厚度的圆盘（或球壳） 所组成。如无限大均匀的带电直圆柱体可看作无限多圆盘所组成， 这时可以取带电圆盘为电荷元，以便求出无限大带电圆柱体轴线 上一点的场强。这样取电荷元的好处是可以把二重积分或三重积 分化为单重积分来做，使运算简化。 11
114 1. 用点电荷场强公式和场强叠加原理求场强 原则上说，用点电荷场强公式和场强叠加原理可以求任何带 电体所产生的场强。带电体可以分为连续和非连续带电体，非连 续带电体（如电偶极子）的场强的求解方法较简单，本书主要介 绍连续带电体的场强的求解方法——积分法。 用积分方法求任意带电体的场强的基本思想是把带电体看作 电荷元的集合（电荷元可以是线元、面元或体元）。在电场中某点 的场强为各电荷元在该点产生的场强的矢量和。积分法解题的主 要步骤如下： ①将带电体分成无数的电荷元，每一电荷元可视为点电荷， 任一电荷元在空间某点场强为 2 0 4 0 1 E = r r dq d ②由场强的叠加原理，带电体在该点产生的场强 2 0 4 0 1 E E r = = r dq d 选择适当的坐标系，把矢量积分 E = dE 化为分量积分式，如取 直角坐标系，则 Ex= d Ex ，Ey= d Ey ，Ez= d Ez。 ③根据积分式中各变量之间的关系，找出统一变量，由选定 的坐标系和带电体的形状确定积分限，注意积分要遍及整个带电 体。 ④进行积分求得 Ex 、E y 、Ez，再求出 E 。 在某些情况下，可把电荷连续分布的带电体看作由许多微小 宽度的带电直线（或圆环）或者具有微小厚度的圆盘（或球壳） 所组成。如无限大均匀的带电直圆柱体可看作无限多圆盘所组成， 这时可以取带电圆盘为电荷元，以便求出无限大带电圆柱体轴线 上一点的场强。这样取电荷元的好处是可以把二重积分或三重积 分化为单重积分来做，使运算简化