§6.2定积分在几何学上的应用 平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长 自
一、平面图形的面积 二、体积 §6.2 定积分在几何学上的应用 三、平面曲线的弧长 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、平面图形的面积 1.直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线 y=/(x)与y=fx(x)及左右两条直线 Xtax x=a与x=b所围成 O bx 在点x处面积增量的近似值为 y=(x) e(x-f(x)dx 它也就是面积元素 因此平面图形的面积为 S=U_(x)-fF(x)lx 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 [f上(x)− f下(x)]dx, 它也就是面积元素. 一、平面图形的面积 设平面图形由上下两条曲线 y=f上(x)与y=f下(x)及左右两条直线 x=a与x=b所围成. 因此平面图形的面积为 在点x处面积增量的近似值为 1.直角坐标情形 S f x f x dx b a = [ 上( )− 下( )] . 下页
S=/(x)-f(x)x.S=[0e()-0(y)y 讨论: 由左右两条曲线x=0=(y)与x=0() 及上下两条直线yd与y=c所围成的平面a x+d 图形的面积如何表示为定积分? O bx 提示: y=(x) 面积元素为[q=()0=()dy, 面积为S=(=(y)-92()by,x(0) v+dv x=右() C 首页上页返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 讨论： 由左右两条曲线x=j左(y)与x=j右(y) 及上下两条直线y=d与y=c所围成的平面 图形的面积如何表示为定积分？ 提示： 面积为 面积元素为[j右(y)−j左(y)]dy, = − d c S [j 右(y) j 左(y)]dy . 下页 S f x f x dx b a = [ 上( )− 下( )] . = − d c S [j 右(y) j 左(y)]dy
S=(x)-f(x)x.S=[右(y)-9左()hy C 例1计算抛物线y2=x与y=x2所围成的图形的面积 解(1)画图; (2)确定在x轴上的投影区间:[0,1 (3)确定上下曲线:f(x)=√x,f1(x)=x2 (4)计算积分 V-x S=l(x-x2)dr EX X 首页上页返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 (3)确定上下曲线 2 f 上(x)= x, f 下(x)=x . 例1 计算抛物线y 2=x与y=x 2所围成的图形的面积. 解 (2)确定在x轴上的投影区间 (4)计算积分 [0, 1]; S f x f x dx b a = [ 上( )− 下( )] . = − d c S [j 右(y) j 左(y)]dy . (1)画图; (3)确定上下曲线 2 f 上(x)= x, f 下(x)=x . = − 1 0 2 S ( x x )dx 3 1 ] 3 1 3 2[ 1 0 2 3 3 = x − x = . 下页
S=(x)-f(x)x.S=[右(y)-9左()hy 例2计算抛物线y2=2x与直线1=x-4所围成的图形的面积 解(1)画图; 2)确定在y轴上的投影区间:[-2,4 (3)确定左右曲线 0左(y=2y2,m()=y+4.A (4,8) (4)计算积分 2=2x S=2(+4y) y2+4y-1yy2=18. 2 (-2,2) 首页上页返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例2 计算抛物线y 2=2x与直线y=x−4所围成的图形的面积. (2)确定在y轴上的投影区间 (4)计算积分 (3)确定左右曲线 [−2, 4]. S f x f x dx b a = [ 上( )− 下( )] . = − d c S [j 右(y) j 左(y)]dy . 解 (1)画图; , ( ) 4 2 1 ( ) 2 j 左 y = y j 右 y = y+ . − = + − 4 2 2 ) 2 1 S (y 4 y dy] 18 6 1 4 2 1[ 4 2 2 3 = y + y− y − = . 下页