华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第六章（6.2）定积分在几何学上的应用

例3求椭圆x+y=1所围成的图形的面积 b 解椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍. 椭圆在第一象限部分的面积元素为ydx, 于 S=4o ydx 因为椭圆的参数方程为 x=acost,y=bint, 所以 o xx+dx/a x S=4 ydx =4 bsintd(acost) 4ab sin tdt=abl?(1-cos)dt 2ab 2ab. L 丌 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 3 求椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a 例3 x 所围成的图形的面积. 因为椭圆的参数方程为 x=acost, y=bsint, 所以 解 椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍.  = a S ydx 0 于是 4 .  = a S ydx 0 4  = 0 2 4 sin ( cos )  b td a t 椭圆在第一象限部分的面积元素为ydx,  =− 0 2 2 4ab  sin tdt  = − 2 0 2 (1 cos2 )  ab t dt   = ab =ab 2 2 .  = a S ydx 0 4  = 0 2 4 sin ( cos )  b td a t  =− 0 2 2 4ab  sin tdt  = − 2 0 2 (1 cos2 )  ab t dt 下页

2.极坐标情形 曲边扇形 曲边扇形是由曲线p(的及射线=a,0=B所围成的图形 曲边扇形的面积元素 ds]de =a( 曲边扇形的面积 S=Ip(O)Pde abode 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 •曲边扇形 •曲边扇形的面积元素 曲边扇形是由曲线=j()及射线=, =所围成的图形. •曲边扇形的面积 2.极坐标情形 dS j  d 2 [ ( )] 2 1 = .  =   S j  d 2 [ ( )] 2 1 . 下页

曲边扇形的面积:S=.[(O)PdO(p=0O,as≤B) 例4计算阿基米德螺线a(a>0)上相应于从0变到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积 2 解S=1.=1a21l7 C丌 例5计算心形线p=a(1+cosO(a>0所 围成的图形的面积 p-a(1+cosB) 解S=2 (1+cos012de a2(+2cos0+cos20)de a2[30+2sin 0+Isin 201=3a'T 自 返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例4 计算阿基米德螺线=a (a>0)上相应于从0变到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积. 解 解  =    2 0 2 ( ) 2 1 S a d 2 2 3 0 2 3 3 4 ] 3 1[ 2 1    解 = a = a .  =    2 0 2 ( ) 2 1 S a d 2 2 3 0 2 3 3 4 ] 3 1[ 2 1    解 = a = a .  =    2 0 2 ( ) 2 1 S a d 2 2 3 0 2 3 3 4 ] 3 1[ 2 1    = a = a . 例5 计算心形线=a(1+cos)(a>0)所 围成的图形的面积. 解 解  = +    0 2 [ (1 cos ] 2 1 S 2 a d  = + +     0 2 cos2 ) 2 1 2cos 2 1 a ( d      2 0 2 2 3 sin2 ] 4 1 2sin 2 3 =a [ + + = a . 首页 曲边扇形的面积：  =   S j  d 2 [ ( )] 2 1 ( =j(), )