答。 B1.B1 sinh2 sin 2 g sinhBl-sin BI 8 sinhB2+sin B1 282 sinhBI sin Bl 6,武求一弹性基甜上的梁的挠度曲钱，栽荷作用在梁的一端， ·图22. 图22 图23 答 2P8 y sinhBl cos BxcoshB(1-)- (sinh2Bl一sia2B) 一 sin BlcoshBx cosB(-x)] 7,有一两端鉸支的弹性基础上的梁，为一作用于其一端的力 偶M所弯曲，图23.試求該梁的挠度曲緩. 答. 2MoB2 y coshS!sinBxsinb8(x)- (co5.282-cos2B) -cos BlsinhBs sin B(l一￥)]. 。23·
第二章 受触向与横向联合截荷的梁 §4。直接压锦与横向能荷、我例从一个两端絞支的支柱受 单个横向力P和中心受大小相等而方向相反的两个压縮力S的简 单間题开始，图24.最支 柱有一对称面，而力P作 用在此乎面内，我們着出 弯曲也发生在同一乎面 图24 丙、支柱两部分的桡度曲 线的微分方程式为 Er=一y-P, dr? (a) 1 r=-y-P2-(1-). (b) dx2 运用能号 =t, (17) ET 我們把式(a)和(b)的解写成下刘形式： y-CcoC (c) Si yCxconpr+CLe(-). (d) SL 由于在支柱的两端度为琴，因此我得出 C1=0, C3=-Citanpl. 其余两个积分常数可由载荷P作用点的速绒条件求得，郎当= 1一c时，要求式(c)和(d)得出同样的挠度和同样的斜率.这样， 我得 ◆24·
Czsinp(I-c)=C4[sinp(1-c)-tanpl cosp(1-c)], C2 cosp(1一c）=Cp[cosp(?一c）+ +aa2in0-c)1+号， 从而得 C2 psiagc,Cam Psinp(l Sy sin pl Sptanpl 代入式(c),我們对支柱的左边部分求得为 ypsinge sinpx (18) Sp sin pl St 微分之，得 dy.P sinpc -cospx-Pe dx Ssinpl dy=-Pesin pc sinpz. (19) dx2 S sin pl 在式(18)和(19)中，以(2一x)代x和以(1一c)代c,并改变 dx 的符号，就可得支柱右边部分的相应表达式.由这些代换得 y= Psin1c2inp(1-x）-Puc）(l-x),（20) Sp sin pl SI dy=-Psingdl c)cospll-)p(c),(21) dx S sin pl St dy=pesinp(I-c)sinp(1-x). (22) dx2 S sin pl 对于载荷P作用在中点的特殊情形，c=二，如引用配号 s2=逆 (23) 4EI 4 我們就由式(18)得 su-(gaa=(a号-）- 2Sp 2 P tanu-u (24) 48B 1 25
式〔24)中的第一个因子表示横向战荷P单独作用时产生的挠度； 第二个因子則表示P所产生的挠度由于有軸向压縮力S而放大的 倍数.当S比起欧拉截荷(Se=EIx/2)来很小时，u值就很小， 而式(24)中的第二个因子接近于1，这說明了在此条件下軸向压 縮力对挠度的影响可忽略不計.当S接近子予欧拉值时，“值接近 于π/2[参看式(23)]，而式(24)中的第二个因子无限地增大，这可 以从我們在前面对临界載荷的尉論中（参看原书上卷第263頁）得 知. 最大弯矩在截荷下，其值可由方程組(19)中的第二式求得，卸 Mnsx=一EI n=8r2张am头-P.n4.(25) 2 4 我們又看出，式(25)中的第一个因子表示载荷P单独作用时产生 的弯矩，而第二个因子为放大系数，它表示軸向力S对最大弯矩的 影响 解出了对于一个横向敌荷P的間题（图24），我們就易于求得 支柱为作用在其一端的力 偶所弯曲时的解（图25）. 只需假設在我們前面的討 論中，距离（无限地减小 图25 并接近于零，而同时Pc保 持为大小等于M的常数即可.将Pe=M,和sinpe=pc代入 式(18)，得挠度曲钱为 y=4/ (26) sin pl 从而得 p cospx dx s sinpl 梁两端的斜牵为 dx ◆26
=2.6( (27) 6E1 2u sin 2re S \tanpl M.3 （2w)2 (28) 3EI 2u:an 2u 还是一样，在式(27)和(28)中，取适当符号的第一个因子表示力偶 M单作用时产生的斜率（参看原书上卷第158苴），而第二个因 子則表示軸问力S的影响. 研究式(18)利(26)，我門看出，在这生表达式中出現的横向力 P和力偶M,是线性的，而在同样表达式中出現的触向力S則較为 复杂，因为卫也包含S[参看式(17)]，由此得出，如在点C(图24)， 施加两个力P和9，任何点的挠度就可由栽荷Q和轴向力S所)产 生的挠度与哉荷P和同样軸问力所产生的挠度的迭加而份.对子 作用可梁一端的力偶，可得样結論 图26 关于迭加的这一結論可易于加以推广至多个載荷的情形（图 26).对于支柱的每一部分，均可写出一类似于式(a)和(b)的方程 式，并均可求得一类以于式(c)和(d)的解.积分常数可由載荷作 用点的速續条件和支性两端的条件求得。这样可以看出，支柱上 任何点的挠度均为载荷P:P2)‘·的一个緩性函数，而任何点的 挠度均可由各个横向裁荷与触向力S同吋作用时在該点产生的挠 度的迭加而得， 我門来研究一般情形，这时有n个作用力，面其中打个力作用 在我例正要計算其挠度的截面的右边。对于力P:,Pz,··•Pm运 打式(18)，于力P+1,Pm+2,··P运月式(20)，就可求得此 27·