5.2李雅普诺夫稳定性理论 5.2.1李雅普诺夫第一法 李雅普诺夫第一法的基本思想是利用系统的特征 值或微分方程及状态方程的解的性质来判断系统的稳 定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系统、 线性时变系统及非线性系统可以线性化的情况。 1.线性定常系统 定理5-1线性定常系统,渐近稳定的充要条件是A 的特征值均具有负实部,即 Re(4)<0(i=1,2,…,n) 显然,这与经典理论中判别系统稳定性的结论是完全 相同的。这里的渐近稳定就是经典理论中的稳定
16 5.2 李雅普诺夫稳定性理论 5.2.1 李雅普诺夫第一法 李雅普诺夫第一法的基本思想是利用系统的特征 值或微分方程及状态方程的解的性质来判断系统的稳 定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系统、 线性时变系统及非线性系统可以线性化的情况。 1. 线性定常系统 定理5-1 线性定常系统，渐近稳定的充要条件是A 的特征值均具有负实部，即 Re(i ) < 0（ i = 1，2，…，n） 显然，这与经典理论中判别系统稳定性的结论是完全 相同的。这里的渐近稳定就是经典理论中的稳定
2.线性时变系统 对于线性时变系统,由于矩阵A()不再是常数阵, 故不能应用特征值来判断稳定性,需用状态解或状 转移矩阵ψ4)来分析稳定性。若矩阵φ(4()中各元 素均趋于零,则不论初始状态x(t)为何值,当t时, 状态解x(O中各项均趋于零,因此系统是渐近稳定的。 这里若采用范数的概念来分析稳定性,则将带来极大 的方便。为此,首先引出矩阵范数的定义。 定义矩阵A的范数定义为 A|=∑∑c 如果皿ma(4川趋于零,即矩阵()中各元素 均趋于零,则系统在原点处是渐近稳定的。 K
17 2. 线性时变系统 对于线性时变系统，由于矩阵A(t)不再是常数阵， 故不能应用特征值来判断稳定性，需用状态解或状态 转移矩阵Φ(t, t0 )来分析稳定性。若矩阵Φ(t, t0 )中各元 素均趋于零，则不论初始状态x(t 0 )为何值，当t→时， 状态解x(t)中各项均趋于零，因此系统是渐近稳定的。 这里若采用范数的概念来分析稳定性，则将带来极大 的方便。为此，首先引出矩阵范数的定义。 定义 矩阵A的范数定义为 2 1 1 1 2 = = = n j m i A aij 如果 趋于零，即矩阵Φ(t, t0 )中各元素 均趋于零，则系统在原点处是渐近稳定的。 lim ( , ) 0 t t t Φ →