51.1平衡状态 由于稳定性考察的是系统的自由运动,故令u 此时设系统的状态方程为 x=∫(x,D)2x∈R 初始状态为x()=x0。对于上述系统,若对所有的, 状态x满足x=0则称该状态x为平衡状态,记为 故有 (xn,t)=0 由平衡状态x在状态空间中所确定的点,称为平衡点
6 初始状态为x(t 0 ) = x0。对于上述系统，若对所有的t， 状态x满足 ，则称该状态x为平衡状态，记为xe。 故有 x = 0 5.1.1 平衡状态 n x = f (x, t), x R f（xe，t）= 0 由平衡状态xe在状态空间中所确定的点，称为平衡点。 由于稳定性考察的是系统的自由运动，故令u = 0。 此时设系统的状态方程为
对于线性定常系统,其状态方程为 x=Ax 系统的平衡状态应满足Ax=0。 当A是非奇异的,则系统存在唯一的一个平衡状态 0。 当A是奇异的,则系统有无穷多个平衡状态。 显然对线性定常系统来说,当A是非奇异的,只有 坐标原点是系统的唯一的一个平衡点
7 系统的平衡状态应满足Axe = 0。 当A是非奇异的，则系统存在唯一的一个平衡状态 xe = 0。 当A是奇异的，则系统有无穷多个平衡状态。 显然对线性定常系统来说，当A是非奇异的，只有 坐标原点是系统的唯一的一个平衡点。 x = Ax 对于线性定常系统，其状态方程为
对于非线性系统,方程fx,1=0的解可能 有多个,即可能有多个平衡状态。如 =0 x1+x,-x2=0 解得 由于存在坐标变换, 今后只取坐标原点作 为系统的平衡点。 因此该系统有三个平衡状态 0 0
8 对于非线性系统，方程f( xe，t) = 0的解可能 有多个，即可能有多个平衡状态。如 = + − = − 3 2 1 2 2 1 1 x x x x x x + − = − = 0 0 3 1 2 2 1 x x x x 解得 = − = 0,1, 1 0 2 1 x x 因此该系统有三个平衡状态 = 0 0 1 xe = 1 0 2 xe − = 1 0 3 xe 由于存在坐标变换， 今后只取坐标原点作 为系统的平衡点
512范数的概念 李雅普诺夫稳定性定义中采用了范数的概念。 范数的定义:在维状态空间中,向量x的长度称Q 为向量x的范数,用表示,则 十x+∴+x xx 向量(x-xn)范数可写成 r-d X-X x 通常又将-x|称为x与x的距离。当向量(x-xn) 的范数限定在某一范围之内时,则记为 ILx-xse 8>0 几何意义为,在状态空间中以x为球心,以E为 一个球域,记为S(E)
9 5.1.2 范数的概念 李雅普诺夫稳定性定义中采用了范数的概念。 范数的定义：在n维状态空间中，向量x的长度称 为向量x的范数，用‖x‖表示，则 2 2 2 2 1 n x = x + x ++ x 2 1 T = (x x) 向量（x − xe）范数可写成 2 2 1 ( ) ( ) 1 n e e n e x − x = x − x + x − x 通常又将‖x − xe ‖称为x与 xe的距离。当向量（x − xe） 的范数限定在某一范围之内时，则记为 ‖x − xe ‖ > 0 几何意义为，在状态空间中以xe为球心，以为半 径的一个球域，记为S( )
51.3李雅普诺夫稳定性定义 1.稳定和一致稳定 定义:对于系统=f(x,1),若对任意给定的实数 E>0,都对应存在另一个实数&Et)>0,使得一切满 足x0-x≤E,)的任意初始状态x0所对应的解x,在 所有时间内都满足 lx-x|≤E(t≥tn) 则称系统的平衡状态x稳定的。若8t无关,则称平 衡状态x是一致稳定的
10 5.1.3 李雅普诺夫稳定性定义 定义: 对于系统 ，若对任意给定的实数 >0，都对应存在另一个实数(, t 0 )>0，使得一切满 足‖x0−xe ‖ ( , t 0 )的任意初始状态x0所对应的解x，在 所有时间内都满足 x = f (x,t) ‖x − xe ‖ （t t 0） 则称系统的平衡状态xe稳定的。若与t 0无关，则称平 衡状态xe是一致稳定的。 1. 稳定和一致稳定