免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com 【情感、态度与价值观】 进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神. 重点难点 【重点】 用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集 【难点】 用数形结合的思想解方程及不等式 教学过程 创设情境,导入新知 师:任意一次函数的图象与x轴有几个交点? 生甲:一个 生乙:不对,当直线与x轴平行时,没有交点 生丙:还有一种情况,当直线与x轴重合时,有无数个交点 师:同学们考虑得很周到!当一次函数的图象与x轴有1个交点时,你能求出它与x轴交点的坐标吗?比如 次函数y=2x-3,它的图象与x轴交点的坐标是多少? 学生计算后回答 共同探究,获取新知 师:你猜想一下,二次函数的图象与x轴可能会有几个交点?我们可以借助什么来研究? 学生思考 生:借助二次函数的图象 师:对 教师多媒体课件出示 二次函数y=x2+3x+2的图象如图所示,根据图象回答问题 1.它与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少? 2.当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少? 3.由此你能求出方程x2+3x+2=0的根吗? 4.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标有什么关系? 师:请同学们先画出函数图象,然后思考下面几个问题 学生作图,教师巡视指导 教师出示图象 学生观察图象后回答 生:这个函数的图象与x轴有公共点,公共点的横坐标分别是-2和-1.这时函数值都为0,所以方程 x2+3x+2=0的根为-2和-1.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标是一样的 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 【情感、态度与价值观】 进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神. 重点难点 【重点】 用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集. 【难点】 用数形结合的思想解方程及不等式. 教学过程 一、创设情境,导入新知 师:任意一次函数的图象与 x 轴有几个交点? 生甲:一个. 生乙:不对,当直线与 x 轴平行时,没有交点. 生丙:还有一种情况,当直线与 x 轴重合时,有无数个交点. 师:同学们考虑得很周到!当一次函数的图象与 x 轴有 1 个交点时,你能求出它与 x 轴交点的坐标吗?比如 一次函数 y=2x-3,它的图象与 x 轴交点的坐标是多少? 学生计算后回答. 二、共同探究,获取新知 师:你猜想一下,二次函数的图象与 x 轴可能会有几个交点?我们可以借助什么来研究? 学生思考. 生:借助二次函数的图象. 师:对. 教师多媒体课件出示: 二次函数 y=x 2 +3x+2 的图象如图所示,根据图象回答问题: 1.它与 x 轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少? 2.当 x 取公共点的横坐标时,函数的值是多少? 3.由此你能求出方程 x 2 +3x+2=0 的根吗? 4.方程 x 2 +3x+2=0 的解与交点的横坐标有什么关系? 师:请同学们先画出函数图象,然后思考下面几个问题. 学生作图,教师巡视指导. 教师出示图象: 学生观察图象后回答. 生:这个函数的图象与 x 轴有公共点,公共点的横坐标分别是-2 和-1.这时函数值都为 0,所以方程 x 2 +3x+2=0 的根为-2 和-1.方程 x 2 +3x+2=0 的解与交点的横坐标是一样的
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com 师:同学们回答得很好!你能归纳出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其他情况吗?交点的个数与 方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系呢? 学生思考,交流讨论 生:函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与方程ax2+bx+c=0根的个数一样,所以也有三种情况:令△ =b2-4ac,当△>0时,函数图象与x轴有两个交点,方程有两个根;当△=0时,函数图象与x轴有一个交点,方程 有两个相等的根;当Δ<0时,函数图象与x轴没有交点,方程无解 师:同学们回答得很好!所以我们有了求一元二次方程根的另一种方法,画出二次函数的图象,然后怎么确 定方程的解呢? 生:二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解 三、例题讲解 【例】用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1) 解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图 由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间 先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下表 观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个 x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=2.5或x=2.4作为根都符合要求 但当x=2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4 同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根 方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的 横坐标就是方程x2+2x-1=0的根 如有条件,可以在计算机上用《几何画板》处理 四、练习新知 师:我这有几个习题,现在让我们一起来解决它们 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 师:同学们回答得很好!你能归纳出函数 y=ax 2 +bx+c 的图象与 x 轴交点个数的其他情况吗?交点的个数与 方程 ax 2 +bx+c=0 的根的个数有何关系呢? 学生思考,交流讨论. 生:函数 y=ax 2 +bx+c 的图象与 x 轴交点的个数与方程 ax 2 +bx+c=0 根的个数一样,所以也有三种情况:令Δ =b2 -4ac,当Δ>0 时,函数图象与 x 轴有两个交点,方程有两个根;当Δ=0 时,函数图象与 x 轴有一个交点,方程 有两个相等的根;当Δ<0 时,函数图象与 x 轴没有交点,方程无解. 师:同学们回答得很好!所以我们有了求一元二次方程根的另一种方法,画出二次函数的图象,然后怎么确 定方程的解呢? 生:二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方程的解. 三、例题讲解 【例】 用图象法求一元二次方程 x 2 +2x-1=0 的近似解(精确到 0.1). 解:画出函数 y=x 2 +2x-1 的图象,如图. 由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3 和-2 之间,另一个在 0 和 1 之间. 先求位于-3 和-2 之间的根.由图象可估计这个根是-2.5 或-2.4,利用计算器进行探索,见下表: x … -2.5 -2.4 … y … 0.25 -0.04 … 观察上表可以发现,当 x 分别取-2.5 和-2.4 时,对应的 y 由正变负,可见在-2.5 与-2.4 之间肯定有一个 x 使 y=0,即有方程 x 2 +2x-1=0 的一个根.题目只要求精确到 0.1,这时取 x=-2.5 或 x=-2.4 作为根都符合要求. 但当 x=-2.4 时,y=-0.04 比 y=0.25(x=-2.5)更接近 0,故选 x=-2.4. 同理,可求出方程 x 2 +2x-1=0 在 0 和 1 之间精确到 0.1 的另一个根. 方程 x 2 +2x-1=0 的近似解还可以这样求:分别画出函数 y=x 2 和 y=-2x+1 的图象,如图,它们的交点 A、B 的 横坐标就是方程 x 2 +2x-1=0 的根. 如有条件,可以在计算机上用《几何画板》处理. 四、练习新知 师:我这有几个习题,现在让我们一起来解决它们
免费下载网址ht: laoxue5uys68com 1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标分别为(1,0)、(-5,0),那么关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0的两个根分别是 【答案】x1=1,x2 2.判断下列二次函数的图象与x轴有无交点.若有,求出交点的坐标;若没有,请说明理由. (1)y=2x2-5x+3;(2)y=x2+3x+5; (3)y=3x2-7x+8;(4)y=x2+x-12 【答案】(1)有交点,交点坐标为(1,0)、(,0) (2)无交点,△=b2-4ac=32-4×1×5=11<0 (3)无交点,△=b2-4ac=(-7)2-4×3×8=-47<0 (4)有交点,交点坐标为(4,0)、(-6,0) 3.已知二次函数y=kx2-3x-2的图象与x轴有两个交点,求k的取值范围 【答案】根据题意,得 解得k>-且k≠0. 五、继续探究,层层推进 师:我们前面学习了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系,上面讨论了二次函数与一元 二次方程的关系,下面我们讨论二次函数与一元二次不等式的关系.请同学们看课本第30页的图2120 学生看图 师:我们可以清楚地看到二次函数y=x2+3x+2的图象被x轴分成三部分:一部分与x轴相交,一部分在x 轴上方,一部分在x轴下方.在x轴上方或下方的意义是什么? 生1:在x轴上方时,y>0,也就是x2+3x+2>0,所以图象在x轴上方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2>0 的解集 生2:在x轴下方时,y<O,也就是x2+3x+2<0,所以图象在x轴下方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2<0 的解集 师:同学们很聪明!你现在就根据这个来完成课本第33页练习的1、2. 学生做题,教师巡视指导,完成后集体订正 六、课堂小结 师:本节课你学习了什么内容?有什么收获? 学生回答 师:你还有什么不明白的地方吗? 学生提问,教师解答. 教学反思 学习这节内容要充分运用两种思想方法:1.函数与方程的思想,用变量和函数来思考问题的方法就是函数 思想,函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出的 带有观念的指导方法.2.数形结合思想,在中学数学里,我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开,也就 是说,代数问题可以几何化,几何问题也可以代数化,“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透 在学生理解二次函数与一元二次方程的联系的基础上,能够运用二次函数及其图象、性南去解决现实生活中 的一些问题,进一步培养学生综合解题的能力,在整个章节的学习过程中始终渗透数形结合的思想,更体现了 学好数学的重要意义 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 1.已知抛物线 y=ax 2 +bx+c 的图象与 x 轴的交点坐标分别为(1,0)、(-5,0),那么关于 x 的一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 的两个根分别是 . 【答案】x1=1,x2=-5 2.判断下列二次函数的图象与 x 轴有无交点.若有,求出交点的坐标;若没有,请说明理由. (1)y=2x2 -5x+3; (2)y=x2 +3x+5; (3)y=3x2 -7x+8; (4)y=x2 +x-12. 【答案】(1)有交点,交点坐标为(1,0)、(,0); (2)无交点,Δ=b2 -4ac=32 -4×1×5=-11<0; (3)无交点,Δ=b2 -4ac=(-7)2 -4×3×8=-47<0; (4)有交点,交点坐标为(4,0)、(-6,0). 3.已知二次函数 y=kx2 -3x-2 的图象与 x 轴有两个交点,求 k 的取值范围. 【答案】根据题意,得 解得 k>-且 k≠0. 五、继续探究,层层推进 师:我们前面学习了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系,上面讨论了二次函数与一元 二次方程的关系,下面我们讨论二次函数与一元二次不等式的关系.请同学们看课本第 30 页的图 21~20. 学生看图. 师:我们可以清楚地看到二次函数 y=x 2 +3x+2 的图象被 x 轴分成三部分:一部分与 x 轴相交,一部分在 x 轴上方,一部分在 x 轴下方.在 x 轴上方或下方的意义是什么? 生 1:在 x 轴上方时,y>0,也就是 x 2 +3x+2>0,所以图象在 x 轴上方的 x 的取值范围就是不等式 x 2 +3x+2>0 的解集. 生 2:在 x 轴下方时,y<0,也就是 x 2 +3x+2<0,所以图象在 x 轴下方的 x 的取值范围就是不等式 x 2 +3x+2<0 的解集. 师:同学们很聪明!你现在就根据这个来完成课本第 33 页练习的 1、2. 学生做题,教师巡视指导,完成后集体订正. 六、课堂小结 师:本节课你学习了什么内容?有什么收获? 学生回答. 师:你还有什么不明白的地方吗? 学生提问,教师解答. 教学反思 学习这节内容要充分运用两种思想方法:1.函数与方程的思想,用变量和函数来思考问题的方法就是函数 思想,函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出的 带有观念的指导方法.2.数形结合思想,在中学数学里,我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开,也就 是说,代数问题可以几何化,几何问题也可以代数化,“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透. 在学生理解二次函数与一元二次方程的联系的基础上,能够运用二次函数及其图象、性南去解决现实生活中 的一些问题,进一步培养学生综合解题的能力,在整个章节的学习过程中始终渗透数形结合的思想,更体现了 学好数学的重要意义
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com 21.4二次函数的应用 第1课时二次函数的应用(1 教学目标 【知识与技能】 能应用二次函数的图象来分析问题、解决问题,在应用中体会二次函数的实际意义 【过程与方法】 1.通过将二次函数应用于解决实际问题体验数学在实际生活中的广泛应用,发展数学思维 2.在数学建模中使学生学会交流、合作 【情感、态度与价值观】 培养学生独立思考和合作探究的能力,在交流、探讨的过程中培养学生的交际能力和语言表达能力,促进 学生综合素质的养成 重点难点 【重点】 用二次函数的性质解决实际问题,特别是最大值、最小值问题. 【难点】 建立二次函数的数学模型 教学过程 创设情境,导入新知 师:二次函数有哪些性质? 学生回忆 教师提示:结合函数的图象 生:y随ⅹ的变化增减的性质,有最大值或最小值 师:很好!我们今天就用二次函数和它的这些性质来解决教材21.1节开关提出的一个实际问题 共同探究,获取新知 教师多媒体课件出示 某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗,设此矩形水面的长为xm,面积为 Sm2那么,S与x之间有怎样的函数关系?要使围成的水面面积最大,它的长应是多少米? 学生交流、讨论 生:S与ⅹ之间的函数关系式为:S=x(20-x).要使围成的水面面积最大,就要使S取得最大值,它的长应该 取图象顶点的横坐标 师:你回答得很好!那怎么求出这个横坐标呢 生甲:配方,变为顶点式求出 生乙:直接用顶点横坐标的公式x=- 师:同学们回答得很好!用这两种方法都可以求出.请同学们求一下面积最大时长应是多少,并求出最大面 积是多少 学生计算后回答 生:将这个函数关系式配方,得 S=-(x-10)2+100(0<x<20) 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 21.4 二次函数的应用 第 1 课时 二次函数的应用(1) 教学目标 【知识与技能】 能应用二次函数的图象来分析问题、解决问题,在应用中体会二次函数的实际意义. 【过程与方法】 1.通过将二次函数应用于解决实际问题体验数学在实际生活中的广泛应用,发展数学思维. 2.在数学建模中使学生学会交流、合作. 【情感、态度与价值观】 培养学生独立思考和合作探究的能力,在交流、探讨的过程中培养学生的交际能力和语言表达能力,促进 学生综合素质的养成. 重点难点 【重点】 用二次函数的性质解决实际问题,特别是最大值、最小值问题. 【难点】 建立二次函数的数学模型. 教学过程 一、创设情境,导入新知 师:二次函数有哪些性质? 学生回忆. 教师提示:结合函数的图象. 生:y 随 x 的变化增减的性质,有最大值或最小值. 师:很好!我们今天就用二次函数和它的这些性质来解决教材 21.1 节开关提出的一个实际问题. 二、共同探究,获取新知 教师多媒体课件出示: 某水产养殖户用长 40m 的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗,设此矩形水面的长为 xm,面积为 Sm2 .那么,S 与 x 之间有怎样的函数关系?要使围成的水面面积最大,它的长应是多少米? 学生交流、讨论. 生:S 与 x 之间的函数关系式为:S=x(20-x).要使围成的水面面积最大,就要使 S 取得最大值,它的长应该 取图象顶点的横坐标. 师:你回答得很好!那怎么求出这个横坐标呢? 生甲:配方,变为顶点式求出. 生乙:直接用顶点横坐标的公式 x=-. 师:同学们回答得很好!用这两种方法都可以求出.请同学们求一下面积最大时长应是多少,并求出最大面 积是多少. 学生计算后回答. 生:将这个函数关系式配方,得 S=-(x-10)2 +100(0<x<20)
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com 显然,这个函数的图象是一条开口向下的抛物线中的一段,它的顶点坐标是(10,100),所以,当x=10m时, 函数取得最大值,最大值为S最大=100m2 这就是说,当围成的矩形水面长为10m,宽为10m时,它的面积最大,最大面积是100m2 教师多媒体课件出示 某商品现在的售价为每件10元,一周可卖出50件.市场调查表明:这种商品如果每件涨价1元,每周要少 卖出5件.已知该商品的进价为每件8元,问每件商品涨价多少才能使每周得到的利润最大? 师:请同学们思考一下,若我们设每件商品涨价x元,那么销售额为多少? 学生思考、计算 生:销售额为(10+x)(50-5x) 师:进货额为多少? 生:进货额为8(50-5x) 师:利润呢? 生:利润等于销售额减去进货额,即(10+x)(50-5x)-8(50-5x) 师:那还有没有其他的计算利润的方法了呢? 学生思考 生:还可以先表示出每件的利润,然后乘以数量,就是总的利润. 师:思路是对的,具体的式子是什么呢? 生:每件的利润为(10+x-8),数量为(50-5x),总利润为(10+x-8)(50-5x 师:变量x的取值范围怎么确定? 生:x≥0且应满足50-5x>0,因为数量应为正值. 师:如何求得涨价多少利润最大呢? 生:x取顶点的横坐标时利润最大,此时最大值为顶点的纵坐标 师:很好,但你还要注意顶点的横坐标在不在自变量的取值范围内.当极值点在自变量的取值范围内时,极 值点就是函数的最值点.若极值点不在函数自变量的取值范围内,你怎么求函数的最值呢? 学生思考,交流 教师提示:请同学们画出符合这个条件一条抛物线,最值点不在自变量的取值范围内时,图象与完整的抛 物线的对称轴有什么关系? 学生作图后观察 生:图象在完整的抛物线的对称轴的一侧 师:在一侧,y是不是随x的变化而变化? 生:是. 师:所以在这种情况下,在它的两个端点处取到极值.还要注意的是,在解决有关销量与售价的问题时,你 要看清楚是问售价是多少时的销售额或利润,还是问涨价多少时的销售额或利润?请同学们分别回答下列情形 时的式子 教师多媒体课件出示 售价为a元时,一周可卖出m件,每涨价p元,每周要少卖出n件,每件的进价为r元 1.售价为x元时的销售额s为多少?利润f为多少? 教师找一生回答 教师板书 s-X(n 2.涨价x元时的销售额s为多少? 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 显然,这个函数的图象是一条开口向下的抛物线中的一段,它的顶点坐标是(10,100),所以,当 x=10m 时, 函数取得最大值,最大值为 S 最大值=100m2 . 这就是说,当围成的矩形水面长为 10m,宽为 10m 时,它的面积最大,最大面积是 100m2 . 教师多媒体课件出示: 某商品现在的售价为每件 10 元,一周可卖出 50 件.市场调查表明:这种商品如果每件涨价 1 元,每周要少 卖出 5 件.已知该商品的进价为每件 8 元,问每件商品涨价多少才能使每周得到的利润最大? 师:请同学们思考一下,若我们设每件商品涨价 x 元,那么销售额为多少? 学生思考、计算. 生:销售额为(10+x)(50-5x). 师:进货额为多少? 生:进货额为 8(50-5x). 师:利润呢? 生:利润等于销售额减去进货额,即(10+x)(50-5x)-8(50-5x). 师:那还有没有其他的计算利润的方法了呢? 学生思考. 生:还可以先表示出每件的利润,然后乘以数量,就是总的利润. 师:思路是对的,具体的式子是什么呢? 生:每件的利润为(10+x-8),数量为(50-5x),总利润为(10+x-8)(50-5x). 师:变量 x 的取值范围怎么确定? 生:x≥0 且应满足 50-5x>0,因为数量应为正值. 师:如何求得涨价多少利润最大呢? 生:x 取顶点的横坐标时利润最大,此时最大值为顶点的纵坐标. 师:很好,但你还要注意顶点的横坐标在不在自变量的取值范围内.当极值点在自变量的取值范围内时,极 值点就是函数的最值点.若极值点不在函数自变量的取值范围内,你怎么求函数的最值呢? 学生思考,交流. 教师提示:请同学们画出符合这个条件一条抛物线,最值点不在自变量的取值范围内时,图象与完整的抛 物线的对称轴有什么关系? 学生作图后观察. 生:图象在完整的抛物线的对称轴的一侧. 师:在一侧,y 是不是随 x 的变化而变化? 生:是. 师:所以在这种情况下,在它的两个端点处取到极值.还要注意的是,在解决有关销量与售价的问题时,你 要看清楚是问售价是多少时的销售额或利润,还是问涨价多少时的销售额或利润?请同学们分别回答下列情形 时的式子. 教师多媒体课件出示: 售价为 a 元时,一周可卖出 m 件,每涨价 p 元,每周要少卖出 n 件,每件的进价为 r 元 1.售价为 x 元时的销售额 s 为多少?利润 f 为多少? 教师找一生回答. 教师板书: s=x(m-n),f=(x-r)(m-n) 2.涨价 x 元时的销售额 s 为多少?