好玩的数学七巧板、九连环和华容道X真+图1-9十五巧图案示例18
①第二章七巧板的制作七巧板之所以能从宫廷贵族流传至民间并风靡世界，除了其他因素之外，它取材简单，制作容易，也是一个十分重要的因素。在最简单情况下，用一块硬纸板，有一把剪刀就可以做出七巧板，用坏了随时可以再剪一副。如果有木工用具，那么可以用薄木板做，以便长久使用。七巧板的制作有两种基本方法，一种是基于一个正方形的，另一种是基于两个正方形的，其效果相同。基于一个正方形底板制作七巧板基于个正方形底板制作七巧板时，对正方形的分划如图2-1所示。L图2-1基于一个正方形底板制作七巧板（1）先在正方形ABCD中画2条对角线，AC和BD，交19
好玩的数学门七巧板、九连环和华容道于G。(2）取BC边的中点E和DC边的中点F相连，交AC于J。（3）由J向上作BC边的平行线，交BD于I。（4）由F作AC的平行线交BD于H。这样形成的图形中，除了CI是虚线，不能剪切以外，沿其他线按任意次序就都可以剪出一副七巧板了。2.2基于两个正方形底板制作七巧板你也可以利用两个同样大小的正方形底板做出一副七巧板来。这时对两个正方形的分划如图2-2所示。HK?图2-2利用两个正方形底板制作七巧板(1）在第一个正方形ABCD中任意连一条对角线BD或AC,把它剪成两个三角形。(2）在第二个正方形EFGH中取EH的中点L和GH的中点K分别作平行于四边的直线相交于中心I。(3）取EF的中点J和L相连。(4)连接 FI和GI。沿连线按任意次序把这个正方形剪成5块，连同上一个正方20
第二章七巧板的制作形剪出的2个三角形，就成为一副标准的七巧板了。-）七巧板无穷奥妙的数学基础组成七巧板的三角形、正方形、平行四边形都是规则多边形，由直线围成，缺乏变化，很难说能给人以优美的感觉和艺术的享受。其数量“7”则是一个素数，不能分为对称的两半。但就是这样一副看似平凡的七巧板，却能拼出无数优美的图案来，给人以极大的艺术享受，这其中有什么奥妙呢？寻根溯源，这首先要归功于制作七巧板时对正方形的巧妙分割。以基于一个正方形底板的制作方法为例（基于两个正方形底板的制作方法其实一样），如果把剪出来的小正方形边长定为1，那么，七巧板中所有组块的边长只有以下四个值，即1，V2，2，2/2，这四个长度之间近似形成0.4，0.6和0.8三个均递增的台阶，如图2-3所示。这是七巧板奥妙所在的第一个数学基础。2.80.820.60.4/1.4图2-3七巧板中4种线段长度的关系其次是七巧板各组块几何形体之间的角度关系。我们看到，由于七巧板中包括的2大1中2小共5个三角形都是等腰直角三角形，另外两个一个是正方形，个是边长为1:/2的平行四边形，21
好玩的数学门七巧板、九连环和华容道因此，它们的内角都是45°的整倍数，即对于三角形而言，有一个直角（2×45），两个45°角；对于正方形而言，四个角都是直角（2×45）；对于平行四边形而言，2个是45°角，2个是135°（3×45）角。这样，7个拼板的所有内角形成1:23的简单关系，为拼出丰富的图形奠定了另一个数学基础。再从面积上来看。我们定义正方形的面积为1，则小三角形的面积为1中三角形和平行四边形的面积和正方形相同，也2为1，它们都可以分为2个相同的小三角形；2个大三角形的面积均为2而且各可分为2个小三角形加一个正方形（或平行四边形），或者分为4个小三角形，如图2-4所示。这样，一副七巧板可看成是由16个小三角形（以后我们称为基本三角形）所组成，总面积为8，7个组块的面积之间存在着1:2:4:8的关系，这为它们相互替代、组合创造了条件。福图2-4七巧板可分为16个相同的三角形图2-4中的七巧板是画在方格纸上的。由图可见，三角形的直角边都位于纵、横坐标线上，而且都取整数格长度：三角形的22