《经济数学基础》课程PPT教学课件（线性代数）第五章 矩阵的对角化问题（2/3）

例1：判断下列实矩阵能否化为对角阵？ -22 2 -1 2 (1)A= -2 -2 4 (2)A= 5 -3 3 24-2 -1 0 -2 解： 1-2 -2 2 (1)川A-元E到= -2 -2-九 4 2 4 -2- =-(2-22(2+7）=0 得九1=儿2=2，人3=-7 6

6 例1: 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 1 2 2 (1) 2 2 4 2 4 2 A   −   = − −       − 2 1 2 (2) 5 3 3 1 0 2 A   −   = −       − − 解: ( 2) ( 7) 2 = −  −  + = 0 1 2 2 (1) 2 2 4 2 4 2 A E     − − − = − − − − − 得 1 2 3    = = = − 2, 7

当21=22=2时，齐次线性方程组为(A-2E)X=0 -1 -2 (A-2E)= -4 24 x,=-2x+2x3(-2 2 得基础解系卫1= 1= 0 1 当23=-7时，齐次线性方程组为(A+7E)X=0 8-2 2 (A+7E)= -2 5 24 7

7 得基础解系 1 2 2 2 1 , 0 . 0 1 p p     −     = =             当   1 2 = = 2 时，齐次线性方程组为 ( A E X − = 2 0 ) ( ) 1 2 2 2 2 4 4 2 4 4 A E   − −   − = − −       − 1 2 2 0 0 0 0 0 0   − →         1 2 3 x x x = − + 2 2 当 时，齐次线性方程组为 ( A E X + = 7 0 ) 3  = −7 ( ) 8 2 2 7 2 5 4 2 4 5 A E   −   + = −      1 1 0 2 0 1 1 0 0 0     →          

X1=一 3 1 2 得基础解系P3= X2=一X3 -2 -2 21 1 02≠0 01 -2 ∴.P1,P2,P3线性无关 即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。 8

8 得基础解系 3 1 2 2 p     =       − 1 3 2 3 1 2 x x x x   = −   = −  2 2 1 1 0 2 0 0 1 2 −  − 1 2 3  p p p , , 线性无关 即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化

2-2 -1 2 A -3 -2 (2)A-元E= 5 -3-2 3 -1 0 -2-2 =-(1+1)3=0.1=2=元=-1. 当人1=人2=入3=-1时，齐次线性方程组为(A+E)X=0 -8日 1 得基础解系 5= -1 所以A不能化为对角矩阵， 1 9

9 2 1 2 (2) 5 3 3 1 0 2 A E     − − − = − − − − − ( ) 3 = − + =  1 0 2 1 2 5 3 3 1 0 2 A   −   = −       − − 得基础解系 1 1 , 1    −   = −      所以 A 不能化为对角矩阵. 1 2 3  = = = −    1. 当 时，齐次线性方程组为 ( A E X + = ) 0 1 2 3    = = = −1 ( ) 3 1 2 5 2 3 1 0 1 A E   −   + = −       − − 1 0 1 0 1 1 000   →        