21n......P =式2.1.....mn(mim2就是把1、2、、n对应到m、m2、.、mn上，其中m、m2、.mn是1、2、.、n的任意排列。(12..n1....n2注意，在这个标记中一样的(mim2....mn)m..m.(m2因为它们的效果都是把1变为m1、2变为m2、（以此类推）现在我们来看这样的操作的集合是否形成群？1.封闭性：不管怎么变，l、2、.....、n这n个数都是变到这n个数上封闭性满足；2.结合律：设Pl是把1变为2，P2是把2变为3，P3是把3变为4，那么式2.2(PiP2)P3=[(1-2)(2-→3)](3-→4)=(1-→3)(3-4)=(1-→4式2.3Pi(P2P3)=(1→2)[(2-3)(3→4)=(12)(2→4)=(1→4)两者相等，结合律成立3．单位元：有且唯一，什么都不变的那个操作4．逆：存在且唯一，你变过去我再变回来所以这些元素的集合也构成一个群，我们称为n阶置换群，它的群元的个数是n!。在物理上，处理全同粒子体系的时候，会经常用到这一类群，我们后面会专门介绍。例3．是个几何图形的对称性，有三维欧式空间的一个正三角形，顶点是A、B、C
𝑃 = ( 1 2 . . m1 m2 . . n mn ) 式 2.1 就是把 1、2、.、n 对应到m1、m2、.、mn上，其中m1、m2、.、 mn是 1、2、.、n 的任意排列。 注意，在这个标记中( 1 2 . . m1 m2 . . n mn )与( 2 1 . . m2 m1 . . n mn )是一样的， 因为它们的效果都是把 1 变为m1、2 变为m2、.（以此类推） 现在我们来看这样的操作的集合是否形成群？ 1．封闭性：不管怎么变，1、2、.、n 这 n 个数都是变到这 n 个数上， 封闭性满足； 2．结合律：设 P1 是把 1 变为 2，P2 是把 2 变为 3，P3 是把 3 变为 4，那 么 (P1P2)P3=[(1→2)(2→3)](3→4)=(1→3)(3→4)=(1→4) 式 2.2 P1(P2P3)=(1→2)[(2→3)(3→4)]=(1→2)(2→4)=(1→4) 式 2.3 两者相等，结合律成立 3．单位元：有且唯一，什么都不变的那个操作 4．逆：存在且唯一，你变过去我再变回来 所以这些元素的集合也构成一个群，我们称为 n 阶置换群，它的群元的个 数是 n!。在物理上，处理全同粒子体系的时候，会经常用到这一类群，我 们后面会专门介绍。 例3. 是个几何图形的对称性，有三维欧式空间的一个正三角形，顶点是 A、B、 C
BC1图1.1D3群示意图对于这样一个三角形，它有六个纯转动可以使自身回到自身的操作，分别是:1.e:不动；2.d:绕z轴转2元/3;3.f:绕z轴转4元/3;4.a:绕1轴转元；5.b：绕2轴转元；6.c:绕3轴转元；现在问：这六个操作是否形成群？这个答案肯定还是按我们上面的思路来走，看它是否满足那四个条件？但与此同时，我们还可以借用一下前面讲的置换群的概念，因为这些操作无非是将（A、B、C）对应到（A、B、C）上去，而这六个几何操作又恰恰和三阶置换群的六个变换一一对应。因此它们形成一个群。既然形成一个群，现在我们看它们的乘法关系。d操作干的事情是B(ABC)C))，而a操作干的事情是(A因此：B，(BCAcAB(A)BAC(AB(ABC)C(AC)d·a=式2.4C(AAcB(C(BACLBCA6
6 图 1.1 D3 群示意图 对于这样一个三角形，它有六个纯转动可以使自身回到自身的操作，分别 是： 1. e：不动； 2. d：绕 z 轴转 2π/3； 3. f：绕 z 轴转 4π/3； 4. a：绕 1 轴转 π； 5. b：绕 2 轴转 π； 6. c：绕 3 轴转 π； 现在问：这六个操作是否形成群？ 这个答案肯定还是按我们上面的思路来走，看它是否满足那四个条件？ 但与此同时，我们还可以借用一下前面讲的置换群的概念，因为这些操作 无非是将（A、B、C）对应到（A、B、C）上去，而这六个几何操作又恰 恰和三阶置换群的六个变换一一对应。因此它们形成一个群。 既然形成一个群，现在我们看它们的乘法关系。d 操作干的事情是 ( A B C B C A )，而 a 操作干的事情是( A B C A C B )，因此： d ∙ a = ( A B C B C A ) ( A B C A C B ) = ( ( A B C A C B ) ( A C B B A C ) ) = ( A B C B A C ) = c 式2.4
重复类似运算，可得完整乘法表：afbeaLdfbaeecddfbecafdbfecadfabceabbfaaecbdcafCe表1.1D3群乘法表这样一个群叫D3群，它是图形中的三角形的纯转动群，当我们除了转动还包含反射、反演这些操作的时候，群元就会再多一些，群也不是这个D3群了。这里的D3群只包含转动操作。例4.定义群的乘法为数的加法，则全体整数构成一个群，0是其中的单位元素，n与-n互逆。同理，全体实数也在这个乘法规则下构成一个群，全体复数也是。但如果我们把乘法定义为数乘，那么它们就不再是群了，因为这种情况下单位元素只能是1，而0是没有逆的。现在我们知道群是定义了乘法且满足一定规律的元素的组合，下面我们看一下跟群相关的两个定义与一个定理。定义1.2有限群与无限群：群内元素个数称为群的阶，当群阶有限时，称为有限群，当群阶无限时，称为无限群。（这个学期我们主要讲有限群）定义1.3Abel群：群的乘法一般不可交换（这个在群的定义里面没有体现，因此在一般的群中也不需要遵守，比如D3中ad就不等于da)，当群中元素乘法可以任意互换时，这个群称为Abel群。（由这个定义我们很容易想象Abel群的乘法
重复类似运算，可得完整乘法表： e d f a b c e e d f a b c d d f e c a b f f e d b c a a a b c e d f b b c a f e d c c a b d f e 表 1.1 D3 群乘法表 这样一个群叫 D3 群，它是图形中的三角形的纯转动群，当我们除了转动 还包含反射、反演这些操作的时候，群元就会再多一些，群也不是这个 D3 群了。这里的 D3 群只包含转动操作。 例4. 定义群的乘法为数的加法，则全体整数构成一个群，0 是其中的单位元素， n 与-n 互逆。 同理，全体实数也在这个乘法规则下构成一个群，全体复数也是。 但如果我们把乘法定义为数乘，那么它们就不再是群了，因为这种情况下 单位元素只能是 1，而 0 是没有逆的。 现在我们知道群是定义了乘法且满足一定规律的元素的组合，下面我们看一 下跟群相关的两个定义与一个定理。 定义 1.2 有限群与无限群：群内元素个数称为群的阶，当群阶有限时，称为有限 群，当群阶无限时，称为无限群。（这个学期我们主要讲有限群） 定义 1.3 Abel 群：群的乘法一般不可交换（这个在群的定义里面没有体现，因此 在一般的群中也不需要遵守，比如 D3 中 ad 就不等于 da），当群中元素乘法可以 任意互换时，这个群称为 Abel 群。（由这个定义我们很容易想象 Abel 群的乘法
表都应该是相对于对角线对称的）定理1.1重排定理：设G=，gα，小，对VuEG，当gα取遍G中所有元素时，ugα给出且仅仅一次给出G中所有元素。证明：两个方面，1)任何G中元素都可以由ugα给出，2)仅仅一次给出。1.给出。对任意gβ属于G，可取u-gβEG，使得：u(u-igp）=g2．仅仅一次给出。反证：设有gαgα，使得ugα=ugαr，那么就会有：u-ugα=u-lugar，进而gα=gαi，与假设矛盾。至此，第一节结束。四个内容，三个定义（群，有限、无限群、Abel群），一个定理（重排）。这些讲的都是群本身的性质，不牵扯其内部结构。既然要理解群这个元素集合的结构特性，对其内部结构的认识不可避免。下面的内容很自然与内部结构有关，子群与陪集。1.2子群与陪集定义1.4子群：设H是群G的一个子集（部分元素的集合），若对群G相同的乘法运算，H也构成一个群，则称H为G的子群。这里需要注意的地方是和G相同的乘法。同时，上面我们定义群的时候，用了四个条件。原则上，定义子群也需要这四个条件1）封闭性、2）结合律、3）单位元、4)每个元素唯一逆。但因为H属于G，又是相同的乘法，所以结合律自然成立。同时，如果4)满足，则有f属于H时，f-1也属于H，只要封闭性成立，e自然属于H。因此，在证明子集为子群时，只要1)与4)成立就可以了。显然{e}与G本身都是G的子群，由于太明显，所以称为显然子群，或平庸8
8 表都应该是相对于对角线对称的） 定理 1.1 重排定理：设𝐆 = {⋯，𝐠𝛂，⋯}，对∀𝐮 ∈ 𝐆，当𝐠𝛂取遍𝐆中所有元素时， 𝐮𝐠𝛂给出且仅仅一次给出𝐆中所有元素。 证明： 两个方面，1)任何G中元素都可以由ugα给出，2)仅仅一次给出。 1. 给出。对任意gβ属于G，可取u −1gβ ∈ G，使得：u(u −1gβ) = gβ 2. 仅仅一次给出。 反证：设有gα ≠ gα′，使得ugα = ugα′，那么就会有：u −1ugα = u −1ugα′，进 而gα = gα′，与假设矛盾。 至此，第一节结束。四个内容，三个定义（群，有限、无限群、Abel 群）， 一个定理（重排）。这些讲的都是群本身的性质，不牵扯其内部结构。既然要理 解群这个元素集合的结构特性，对其内部结构的认识不可避免。下面的内容很自 然与内部结构有关，子群与陪集。 1.2 子群与陪集 定义 1.4 子群：设 H 是群 G 的一个子集（部分元素的集合），若对群 G 相同的 乘法运算，H 也构成一个群，则称 H 为 G 的子群。 这里需要注意的地方是和 G 相同的乘法。同时，上面我们定义群的时候，用 了四个条件。原则上，定义子群也需要这四个条件 1) 封闭性、2) 结合律、3) 单 位元、4) 每个元素唯一逆。但因为 H 属于 G，又是相同的乘法，所以结合律自 然成立。同时，如果 4)满足，则有f属于 H 时，f −1也属于 H，只要封闭性成立， e 自然属于 H。因此，在证明子集为子群时，只要 1)与 4)成立就可以了。 显然{e}与 G 本身都是 G 的子群，由于太明显，所以称为显然子群，或平庸
子群。而群G的非平庸子群称为固有子群。一般我们找群G的子群的时候找的是它的固有子群（非平庸子群）。例5．n 阶循环群，它的定义是a"=e，由a、a2、…、an-1、a"=e]组成。这样的群是Abel 群，乘法可易。以6阶循环群为例,G={a、a、、a5a =e],其中[e}与G是显然子群。(a2、a*、e]与[a3、e]为固有子群。例6.在定义群的乘法为数的加法的时候，整数全体形成的群是实数全体形成的群的子群。例7绕固定轴k转动的元素形成的群[Ck(4))，是绕轴上某一点转动（过这点可以有无数个轴）的群SO(3)群的子群。定义1.5群元的阶：对任意一个有限群G，从中取一个元素a，从a出发作幂操作，总是可以构成G的一个循环子群Zk的，这个Zk等于(a、a2、…、ak-1、ak=e],这时称k（满足这个性质的最小的k）为群元a的阶。这个概念很好理解，但有个地方需要说明一下，就是你凭什么说“从a出发，总能构成G的一个循环子群的”？这是因为如果a=e，则Zk等于[e}，问题解决。如果，a≠e，则a2a（不然a=e)，这时，如果a?=e，则问题又解决了。如a2+e，则它必为e与a之外的另一个元素，我把a2、a放到我的子集中，继续做a2，同样a3a2（不然a=e)、也不等于a（不然a2=e)，如果a3=e，问题解决，如a3e，再把a3放到那个子集中。依次类推，因为G是有限群（阶为n），所以必然存在一个k小于等于n，使得ak=e，来结束这个过程。这时，{a、a2、…、ak-1ak=ej这个集合自然就形成了k阶循环子群了。例8．群元的阶的例子，对D3群，六个元素e、d、f、a、b、C。对d，从它出发，d2=f,d3=e，所以由d形成的循环子群是[e、d、f，d的阶是3
子群。而群 G 的非平庸子群称为固有子群。一般我们找群 G 的子群的时候找的 是它的固有子群（非平庸子群）。 例5. n 阶循环群，它的定义是a n = e，由{a、a 2、⋯、a n−1、a n = e}组成。这 样的群是 Abel 群，乘法可易。以 6 阶循环群为例，G = {a、a 2、⋯ 、a 5、 a 6 = e}，其中{e}与G是显然子群。{a 2、a 4、e}与{a 3、e}为固有子群。 例6. 在定义群的乘法为数的加法的时候，整数全体形成的群是实数全体形成的 群的子群。 例7. 绕固定轴k⃗⃗转动的元素形成的群{Ck⃗⃗ (Ψ)}，是绕轴上某一点转动（过这点可 以有无数个轴）的群 SO(3)群的子群。 定义 1.5 群元的阶：对任意一个有限群𝐆，从中取一个元素𝐚，从𝐚出发作幂操作， 总是可以构成𝐆的一个循环子群𝐙𝐤的，这个𝐙𝐤等于{𝐚、𝐚 𝟐、⋯ 、𝐚 𝐤−𝟏、𝐚 𝐤 = 𝐞}， 这时称𝐤（满足这个性质的最小的𝐤）为群元𝐚的阶。 这个概念很好理解，但有个地方需要说明一下，就是你凭什么说“从a出发， 总能构成G的一个循环子群的”？这是因为如果a = e，则Zk等于{e}，问题解决。 如果，a ≠ e，则a 2 ≠ a（不然a = e），这时，如果a 2 = e，则问题又解决了。如 a 2 ≠ e，则它必为e与a之外的另一个元素，我把a 2、a放到我的子集中，继续做a 3， 同样a 3 ≠ a 2（不然a = e）、也不等于a（不然a 2 = e），如果a 3 = e，问题解决，如 a 3 ≠ e，再把a 3放到那个子集中。依次类推，因为G是有限群（阶为n），所以必然 存在一个k小于等于n，使得a k = e，来结束这个过程。这时，{a、a 2、⋯、a k−1、 a k = e}这个集合自然就形成了k阶循环子群了。 例8. 群元的阶的例子，对 D3 群，六个元素e、d、f、a、b、c。对d，从它出发， d 2 = f，d 3 = e，所以由d形成的循环子群是{e、d、f}，d的阶是 3