第七章李群李代数初步截至上一章结束，按北京大学物理学院研究生课程的教学规划，《群论I》需要覆盖的内容已基本覆盖。在北京大学物理学院研究生课程的教学计划中，紧跟《群论I》的课程是《群论II》，它对应的是李群李代数。相关教学既要进行数学理论的讲解，又要针对此部分理论在物理学中应用进行详细的说明。这些，我们在本教材的第一版中是完全没有涉及的。教材的第一版于2019年9月出版。出版后，因为讲授的方式相对简单，得到了一些读者的认可。在读者的反馈中，不少人提到希望加入一些关于李群李代数的介绍。于是，在2021年底，笔者开始着手对教材进行第二版修订，并特意增加本章。在物理学的学习过程中，帮助我们理解所学内容的物理内涵的一个利器是关于其发展史的介绍。本书序言中我们已经提到，像所有其它学科一样，群论的发展也有一个历史进程。本章，按这个习惯，我们先就群论课程中李群李代数这部分内容产生的历史背景进行一个简单的说明。基础，当然是有限群理论。它是18世纪末到19世纪中叶由Joseph-Louis Lagrange（拉格朗日，1736-1813）、PaoloRuffini（鲁菲尼，1765-1822）、NielsHenrikAbel（阿贝尔，1802-1829）、EvaristeGalois（伽罗瓦，1811-1832）、ArthurCayley（凯莱，1822-1895）等人在利用置换群理解一元高次方程的求解的过程中产生的。到了十九世纪末，ArthurMoritzSchonflies（熊夫利，1853-1928）、Evgraf StepanovichFedorov（费多罗夫，1853-1919）将其应用至晶体结构的描述并发展出点群、空间群的概念。点群、空间群的理论在二十世纪初由CarlHermann（赫尔曼，1898-1961）、Charles-VictorMauguin（毛古因，1878-1958）进行了重新整理。同样，在十九世纪末、二十世纪初
第七章 李群李代数初步 截至上一章结束，按北京大学物理学院研究生课程的教学规划，《群论 I》 需要覆盖的内容已基本覆盖。在北京大学物理学院研究生课程的教学计划中，紧 跟《群论 I》的课程是《群论 II》，它对应的是李群李代数。相关教学既要进行 数学理论的讲解，又要针对此部分理论在物理学中应用进行详细的说明。这些， 我们在本教材的第一版中是完全没有涉及的。教材的第一版于 2019 年 9 月出版。 出版后，因为讲授的方式相对简单，得到了一些读者的认可。在读者的反馈中， 不少人提到希望加入一些关于李群李代数的介绍。于是，在 2021 年底，笔者开 始着手对教材进行第二版修订，并特意增加本章。 在物理学的学习过程中，帮助我们理解所学内容的物理内涵的一个利器是关 于其发展史的介绍。本书序言中我们已经提到，像所有其它学科一样，群论的发 展也有一个历史进程。本章，按这个习惯，我们先就群论课程中李群李代数这部 分内容产生的历史背景进行一个简单的说明。基础，当然是有限群理论。它是 18 世纪末到 19 世纪中叶由 Joseph-Louis Lagrange（拉格朗日，1736-1813）、Paolo Ruffini（鲁菲尼，1765-1822）、Niels Henrik Abel（阿贝尔，1802-1829）、Évariste Galois（伽罗瓦，1811-1832）、Arthur Cayley（凯莱，1822-1895）等人在利用置换 群理解一元高次方程的求解的过程中产生的。到了十九世纪末，Arthur Moritz Schönflies（熊夫利，1853-1928）、Evgraf Stepanovich Fedorov（费多罗夫，1853- 1919）将其应用至晶体结构的描述并发展出点群、空间群的概念。点群、空间群 的理论在二十世纪初由 Carl Hermann（赫尔曼，1898-1961）、Charles-Victor Mauguin （毛古因，1878-1958）进行了重新整理。同样，在十九世纪末、二十世纪初
FerdinandGeorgFrobenius（费罗贝尼乌斯，1849-1917）、WilliamBurnside（伯恩赛德，1852-1927）、IssaiSchur（舒尔，1875-1941）、AlfredYoung（杨，1873-1940）等人也将有限群理论进行了进一步的完善与发展。其中，最重要的改进是群表示论得到完善。之后，在量子力学诞生。这些理论在量子力学的研究中得到了广泛地应用。前六章我们基本上对这些内容都进行了讲解。除了这些有限群理论，从19世纪后半叶开始，还有一部分人在努力将有限群的理论推广至无限群。这时，非欧几何在JohannCarl FriedrichGauss（高斯，1777-1855）、GeorgFriedrichBernhardRiemann（黎曼，1826-1866）等人的推动下已成熟，拓扑学的一些基本概念也开始发展。二十世纪初，这部分理论在物理学的研究中也开始有所体现，比如HendrikAntoonLorentz（洛伦兹，1853-1928）、JulesHenriPoincare（庞加莱，1854-1912）AmalieEmmyNoether（诺特，18821935）的工作。在这个时期，DavidHilbert（希尔伯特，1862-1943）将希尔伯特空间概念的引入线性代数使其从早期求解线性方程组的工具成为一个更系统、适用性更广的数学理论，它在物理学的研究中也开始发挥作用（线性代数在量子力学中的应用就是一个典型的例子）。与之有关联的是在我们群论学科的发展方面上世纪20年代群表示论的成熟标志着有限群理论彻底成型（上段提到过）。而李群李代数理论的发展也是大致同期在这个历史背景下发生的。其中，HermannKlausHugoWeyl（1885-1955）等人开创性地引入规范的概念，为物理学的发展打1以希尔伯特命名的数学概念很多。据说有一次希尔伯特不得已问自己的同事什么是希尔伯特空间？他年轻时深受FclixKlcin（克莱因，1849-1925）赏识，被认为是哥廷根数学学派最合适的接班人。他也没有率负这种期待，与好友HermannMinkowski（闪可夫斯基，1864-1909）一道，延续了高斯、黎受、克菜因等前辈的辉煌，带出了外尔、冯.诺伊受、诺特、柯朗、魏格纳等后辈，并深深地影响了马克斯.玻恩等人。在将哥廷根大学地数学学派带到另一个高峰的同时，也对20世纪初的物理学革命做出了积极地贡献（广义相对论方面与爱因斯坦的讨论，以及通过玻恩及其学生们影响的量子论向量子力学的进化）
Ferdinand Georg Fröbenius（费罗贝尼乌斯，1849-1917）、William Burnside（伯恩 赛德，1852-1927）、Issai Schur（舒尔，1875-1941）、Alfred Young（杨，1873-1940） 等人也将有限群理论进行了进一步的完善与发展。其中，最重要的改进是群表示 论得到完善。之后，在量子力学诞生。这些理论在量子力学的研究中得到了广泛 地应用。前六章我们基本上对这些内容都进行了讲解。 除了这些有限群理论，从 19 世纪后半叶开始，还有一部分人在努力将有限 群的理论推广至无限群。这时，非欧几何在 Johann Carl Friedrich Gauss（高斯， 1777-1855）、Georg Friedrich Bernhard Riemann（黎曼，1826-1866）等人的推动下 已成熟，拓扑学的一些基本概念也开始发展。二十世纪初，这部分理论在物理学 的研究中也开始有所体现，比如 Hendrik Antoon Lorentz（洛伦兹，1853-1928）、 Jules Henri Poincare（庞加莱，1854-1912）、Amalie Emmy Noether（诺特，1882- 1935）的工作。在这个时期，David Hilbert（希尔伯特，1862-1943）将希尔伯特空 间概念的引入线性代数使其从早期求解线性方程组的工具成为一个更系统、适用 性更广的数学理论 1 ，它在物理学的研究中也开始发挥作用（线性代数在量子力 学中的应用就是一个典型的例子）。与之有关联的是在我们群论学科的发展方面 上世纪 20 年代群表示论的成熟标志着有限群理论彻底成型（上段提到过）。而 李群李代数理论的发展也是大致同期在这个历史背景下发生的。其中，Hermann Klaus Hugo Weyl（1885-1955）等人开创性地引入规范的概念，为物理学的发展打 1 以希尔伯特命名的数学概念很多。据说有一次希尔伯特不得已问自己的同事什么是希尔伯特空 间？他年轻时深受 Felix Klein（克莱因，1849-1925）赏识，被认为是哥廷根数学学派最合适的接 班人。他也没有辜负这种期待，与好友 Hermann Minkowski（闵可夫斯基，1864-1909）一道，延 续了高斯、黎曼、克莱因等前辈的辉煌，带出了外尔、冯.诺伊曼、诺特、柯朗、魏格纳等后辈， 并深深地影响了马克斯.玻恩等人。在将哥廷根大学地数学学派带到另一个高峰的同时，也对 20 世纪初的物理学革命做出了积极地贡献（广义相对论方面与爱因斯坦的讨论，以及通过玻恩及其 学生们影响的量子论向量子力学的进化）
开了大门。上世纪后半叶，此理论在物理学中得到广泛应用，李群李代数更是成为粒子物理研究中的必需。至此，《群论I》、《群论I》的课程内容基本成型，其在物理学院的群论课程中的地位也基本奠定。因为专业背景的原因，非常系统地针对李群李代数部分的基础理论及其在粒子物理研究中的应用进行深入的讲解并不在笔者的能力范围内。本章撰写过程中的重点是将这些理论在历史上的发展进行一个简单的总结，专注于对多数读者而言比较容易吸收的内容，为学生继续选《群论I》的课程进行一些铺垫。在第二章，我们提到过达朗贝尔说的一句话：代数是慷概的，她往往会比对她的要求给出的更多（Algebra is generous,she often gives more than is asked of her）。实际上，从《几何原本》开始，很多数学的分支都具备这样的特点。从一个或几个公设（postulate）定义（definition）公共观念（commonnotion）或者公理（axioms）出发，推出一系列命题（proposition），这些命题中正确的就是定理（theorem）。进而，构建一个理论体系。这个理论体系，可以成为包括物理学在内的很多自然科学分支以及工程应用的工具。读者在对群论这门近世代数的分支的学习过程中，应该也可以体会到这种感觉。前面我们学习过有限群，在此基础上，人们很自然会想到还存在无限群，同时关于它肯定也有一套理论与应用。这2实际上，在上世纪20年代群论一方面作为纯数学发展如火如茶，另一方面也与物理学中前沿的量子理论产生了最初的碰撞。作为大学教师，笔者在讲授这些课程的时候有时会进行猜测。做这些猜测，是感觉有些事情从自己看到的材料来讲应该是有联系的。把这些猜测讲给学生，并不是为了八卦，而是觉得学生以其目前的知识储备与阅历，或许不会想到这些。笔者作为老师给了学生这些分析（逻辑上合理的分析），是希望学生多掌握一些学科发展规律，而不是课本上固定的知识点。有了对这些规律的认识，以后自己在做关键的学术判断（比如方向选择）的时候，多一些参考。以这里的情况为例，笔者会联想到杨武之先生是1928年获芝加哥大学博士学位、1929年入职清华大学数学系的。这些前沿的数学很可能通过杨武之先生在不久的将来影响到了少年时代的杨振宁先生，进而在后期深刻地影响了其学术生涯。在杨振宁先生总结的二十世纪的三个物理学关键词中（量子化、相位因子、对称性），与这个相关的就占了两个
开了大门 2 。上世纪后半叶，此理论在物理学中得到广泛应用，李群李代数更是 成为粒子物理研究中的必需。至此，《群论 I》、《群论 II》的课程内容基本成 型，其在物理学院的群论课程中的地位也基本奠定。 因为专业背景的原因，非常系统地针对李群李代数部分的基础理论及其在粒 子物理研究中的应用进行深入的讲解并不在笔者的能力范围内。本章撰写过程中 的重点是将这些理论在历史上的发展进行一个简单的总结，专注于对多数读者而 言比较容易吸收的内容，为学生继续选《群论 II》的课程进行一些铺垫。 在第二章，我们提到过达朗贝尔说的一句话：代数是慷慨的，她往往会比对 她的要求给出的更多（Algebra is generous, she often gives more than is asked of her）。 实际上，从《几何原本》开始，很多数学的分支都具备这样的特点。从一个或几 个公设（postulate）、定义（definition）、公共观念（common notion）或者公理 （axioms）出发，推出一系列命题（proposition），这些命题中正确的就是定理 （theorem）。进而，构建一个理论体系。这个理论体系，可以成为包括物理学在 内的很多自然科学分支以及工程应用的工具。读者在对群论这门近世代数的分支 的学习过程中，应该也可以体会到这种感觉。前面我们学习过有限群，在此基础 上，人们很自然会想到还存在无限群，同时关于它肯定也有一套理论与应用。这 2 实际上，在上世纪 20 年代群论一方面作为纯数学发展如火如荼，另一方面也与物理学中前沿的 量子理论产生了最初的碰撞。作为大学教师，笔者在讲授这些课程的时候有时会进行猜测。做这 些猜测，是感觉有些事情从自己看到的材料来讲应该是有联系的。把这些猜测讲给学生，并不是 为了八卦，而是觉得学生以其目前的知识储备与阅历，或许不会想到这些。笔者作为老师给了学 生这些分析（逻辑上合理的分析），是希望学生多掌握一些学科发展规律，而不是课本上固定的 知识点。有了对这些规律的认识，以后自己在做关键的学术判断（比如方向选择）的时候，多一 些参考。以这里的情况为例，笔者会联想到杨武之先生是 1928 年获芝加哥大学博士学位、1929 年入职清华大学数学系的。这些前沿的数学很可能通过杨武之先生在不久的将来影响到了少年 时代的杨振宁先生，进而在后期深刻地影响了其学术生涯。在杨振宁先生总结的二十世纪的三个 物理学关键词中（量子化、相位因子、对称性），与这个相关的就占了两个
套关于无限群的理论，按理说会复杂很多。在无限群中，存在两种情况：群元是可列的（也就是说群元与正整数集存在一一对应关系）、群元是连续的。前者虽然无限，但处理方式与有限群没有太多差异。与之形成鲜明对比的，是关于连续群的理论相比于有限群的理论要多很多新的内容。本节针对后者进行初步介绍。连续群中，李群是研究地最为清楚的一类。它是一种可以用实参数来表达的，具有流形性质的连续群。因为流形是建立在豪斯道夫（Hausdorff）空间这样一个具有分离性的拓扑空间上的，李群的定义要求其有流形的性质，那很自然它一定也是一种拓扑群。豪斯道夫空间中，任意一个有界的闭子集又是紧致的。因此，紧致这个概念在我们下面的讨论中也会出现。同时，拓扑群的一个特征就是群运算是连续的。也就是说其群元在进行乘法操作与求逆操作时，相应的映射为连续映射。在描述此连续映射的过程中，毫无疑问要基于开集、闭集、覆盖、极限等慨念，讨论像同胚、连通、同伦、同构这样的拓扑学（按梁灿彬、周彬老师的描述就是“橡皮膜上的几何学”的性质）的概念。因此，拓扑、微分流形这两门学科中的一些基本概念，比如开集、闭集、拓扑空间、极限点、开覆盖、紧致、连续映射、拓扑映射，将首先作为基础来进入我们的课程，来支撑后续拓扑李群只是连续群的一部分，具有微分流形的特质。有些连续群也不是李群，比如：以数的加法为群元乘法的有理数的集合就是连续群但不是李群。它无法用微分的形式来进行分析。换句话说，李群是一种具有很好的数学结构的群，可用微分的方式进行分析。这里我们关于连续的定义是通过把群元作为映射，然后基于连续映射来定义的。这与一些数学上的定义或许不同。如果大家读到这个例子感觉有问题，请耐心把本章看完，然后体会我们的逻辑4豪斯道夫空间根据FclixHausdorff（1868-1942）命名，是可分离的连续的拓扑空间。最典型的豪斯道夫空间是欧氏空间，基于其可以定义微分。5这种连续是拓扑意义上的连续，是基于连续映射定义的，离散群也可以具备这种性质，其具体意义我们后面会详细解释
套关于无限群的理论，按理说会复杂很多。 在无限群中，存在两种情况：群元是可列的（也就是说群元与正整数集存在 一一对应关系）、群元是连续的。前者虽然无限，但处理方式与有限群没有太多 差异。与之形成鲜明对比的，是关于连续群的理论相比于有限群的理论要多很多 新的内容。本节针对后者进行初步介绍。 连续群中，李群是研究地最为清楚的一类 3 。它是一种可以用实参数来表达 的，具有流形性质的连续群。因为流形是建立在豪斯道夫（Hausdorff）空间这样 一个具有分离性的拓扑空间上的 4 ，李群的定义要求其有流形的性质，那很自然 它一定也是一种拓扑群。豪斯道夫空间中，任意一个有界的闭子集又是紧致的。 因此，紧致这个概念在我们下面的讨论中也会出现。同时，拓扑群的一个特征就 是群运算是连续的。也就是说其群元在进行乘法操作与求逆操作时，相应的映射 为连续映射 5 。在描述此连续映射的过程中，毫无疑问要基于开集、闭集、覆盖、 极限等慨念，讨论像同胚、连通、同伦、同构这样的拓扑学（按梁灿彬、周彬老 师的描述就是“橡皮膜上的几何学”的性质）的概念。因此，拓扑、微分流形这 两门学科中的一些基本概念，比如开集、闭集、拓扑空间、极限点、开覆盖、紧 致、连续映射、拓扑映射，将首先作为基础来进入我们的课程，来支撑后续拓扑 3 李群只是连续群的一部分，具有微分流形的特质。有些连续群也不是李群，比如：以数的加法为 群元乘法的有理数的集合就是连续群但不是李群。它无法用微分的形式来进行分析。换句话说， 李群是一种具有很好的数学结构的群，可用微分的方式进行分析。这里我们关于连续的定义是通 过把群元作为映射，然后基于连续映射来定义的。这与一些数学上的定义或许不同。如果大家读 到这个例子感觉有问题，请耐心把本章看完，然后体会我们的逻辑。 4 豪斯道夫空间根据 Felix Hausdorff（1868-1942）命名，是可分离的连续的拓扑空间。最典型的豪 斯道夫空间是欧氏空间，基于其可以定义微分。 5 这种连续是拓扑意义上的连续，是基于连续映射定义的，离散群也可以具备这种性质，其 具体意义我们后面会详细解释
性质、流形性质、李群李代数性质的讨论的展开。领悟这些关系，需要读者针对这些概念反复阅读本章及相关教材的内容。在开始本章正式内容前，我们再次就撰写的内容的信息来源进行一个强调，以表示对前辈老师们的尊重。在本书第一版的前言部分，笔者曾强调过这个教材的内容大量参考了田光善老师的讲义、韩其智与孙洪洲老师的教材以及王宏利老师的讲义，是北京大学物理学院《群论I》多年来教学积累的一个总结。这些材料中，韩其智、孙洪洲老师的教材基本定义了我们教学的整体逻辑。在这次出版补充的本章内容中，我们也是基于这两位前辈合著的教材的第六章的基本内容与基本逻辑[6]，结合了北京师范大学物理系梁灿彬、周彬两位老师合著的《微分几何入门与广义相对论》的前两章的一些内容[25]、北京大学数学学院丘维声老师《群表示论》第六章的一些内容[26]、北京大学物理学院高崇寿老师的《群论及其在粒子物理中的应用》[27小、北京师范大学物理系周彬老师的线上课程《李代数理论及其在物理学中的应用》、北京大学物理学院刘玉鑫老师与王一男老师的李群李代数讲义来撰写的“。具体内容，分：曲面上的几何、拓扑空间、微分流形、李群、李代数共五节进行展开。6这里提到的多数老师都是前辈。王一男老师例外，是北京大学物理学院最近引进的一位极其出色的年轻人。笔者从其讲义中也学到很多。实际上，这些也仅仅是笔者了解到的北京大学物理学院《群论》课程在最近这些年的教学情况。更早的一些尝试，对后期的教学也都是值得记录与强调的。比如，一个很偶然的机会，笔者从华盛顿大学钱然老师那里了解到在上世纪50年代末，北京大学物理系的群论课程曾经由数学系的钱敏老师负责过一段时间。后来中科院理论物理所的苏肇冰老师（也是北京大学兼职教授）、北京大学物理系的高崇寿老师都是其班上的学生。钱敏老师担任物理系群论课程主讲教师这段历史在2003年北京大学物理学科90年纪念材料（未发行，内部材料）中有体现。8两位老师各有其讲义，其中刘玉鑫老师的讲义近期将由北京大学出版社出版
性质、流形性质、李群李代数性质的讨论的展开。领悟这些关系，需要读者针对 这些概念反复阅读本章及相关教材的内容。 在开始本章正式内容前，我们再次就撰写的内容的信息来源进行一个强调， 以表示对前辈老师们的尊重 6 。在本书第一版的前言部分，笔者曾强调过这个教 材的内容大量参考了田光善老师的讲义、韩其智与孙洪洲老师的教材以及王宏利 老师的讲义，是北京大学物理学院《群论 I》多年来教学积累的一个总结 7 。这些 材料中，韩其智、孙洪洲老师的教材基本定义了我们教学的整体逻辑。在这次出 版补充的本章内容中，我们也是基于这两位前辈合著的教材的第六章的基本内容 与基本逻辑[6]，结合了北京师范大学物理系梁灿彬、周彬两位老师合著的《微分 几何入门与广义相对论》的前两章的一些内容[25]、北京大学数学学院丘维声老 师《群表示论》第六章的一些内容[26]、北京大学物理学院高崇寿老师的《群论 及其在粒子物理中的应用》[27]、北京师范大学物理系周彬老师的线上课程《李 代数理论及其在物理学中的应用》、北京大学物理学院刘玉鑫老师与王一男老师 的李群李代数讲义来撰写的 8 。具体内容，分：曲面上的几何、拓扑空间、微分 流形、李群、李代数共五节进行展开。 6 这里提到的多数老师都是前辈。王一男老师例外，是北京大学物理学院最近引进的一位极其出 色的年轻人。笔者从其讲义中也学到很多。 7 实际上，这些也仅仅是笔者了解到的北京大学物理学院《群论》课程在最近这些年的教学情况。 更早的一些尝试，对后期的教学也都是值得记录与强调的。比如，一个很偶然的机会，笔者从华 盛顿大学钱纮老师那里了解到在上世纪 50 年代末，北京大学物理系的群论课程曾经由数学系的 钱敏老师负责过一段时间。后来中科院理论物理所的苏肇冰老师（也是北京大学兼职教授）、北 京大学物理系的高崇寿老师都是其班上的学生。钱敏老师担任物理系群论课程主讲教师这段历 史在 2003 年北京大学物理学科 90 年纪念材料（未发行，内部材料）中有体现。 8 两位老师各有其讲义，其中刘玉鑫老师的讲义近期将由北京大学出版社出版