《群论一》讲义李新征北京大学物理学院
《群论一》讲义 李新征 北京大学物理学院
课程导言很高兴这个学期继续为大家担任《群论一》课程的主讲教师。今年选课的学生比较多，尤其是本科生。研究生这边因为我们这两年教学改革，我建议不要把这门课列为一些专业的必选课，而是按核心课对待。因此人数稍微比往年少一些。但总选课人数还是两百多。我不知道本科生中有没有一部分人是因为我去年在课上说今年最后一次讲而选的。如果有，先声明一下应该不会是最后一次。因此，大家不要急着选。按我一会儿在课上讲的学习规律来。之后，我们这堂课按三部分展开。先说一下《群论一》与《群论二》的关系。再说一下这学期的课程内容与前几个学期的不同。最后，按惯例，对《群论》课程的起源、特性、参考书这些东西进行一个详细的介绍。目的，是在大家进入很细节的学习之前，对课程有个整体的认识。先说《群论一》是啥？它与《群论二》的关系。以前我们这门课就叫《群论》。这两年我们在进行教学改革。大伙的一致共识是不应该叫《群论》，而应该叫《群论一》，因为物理学科用到的群论一个学期我们肯定cover不住，还有李群李代数。我们北大实际上一直是按两个学期开的，但不按两个学期叫。其它高校，多数就讲一个学期。我自己的感觉，是不可能有很好的教学效果。因为《群论一》讲群论基础，重点是有限群。当然，还cover转动群、双群这些东西。教学重点是群表示论及其应用。学完之后，大家在凝聚态物理、原子分子物理、光学、理论化学、材料科学这些研究中能够把课程内容用起来。《群论二》，重点是李群这种连续群的代数结构。我前一段时间看到一句话，有限群讲表示、李群讲代数，感觉挺准确的。这两年，我们的《群论一》正常情况下还是我讲，《群论二》由=
ii 课程导言 很高兴这个学期继续为大家担任《群论一》课程的主讲教师。今年选课的学 生比较多，尤其是本科生。研究生这边因为我们这两年教学改革，我建议不要把 这门课列为一些专业的必选课，而是按核心课对待。因此人数稍微比往年少一些。 但总选课人数还是两百多。我不知道本科生中有没有一部分人是因为我去年在课 上说今年最后一次讲而选的。如果有，先声明一下应该不会是最后一次。因此， 大家不要急着选。按我一会儿在课上讲的学习规律来。 之后，我们这堂课按三部分展开。先说一下《群论一》与《群论二》的关系。 再说一下这学期的课程内容与前几个学期的不同。最后，按惯例，对《群论》课 程的起源、特性、参考书这些东西进行一个详细的介绍。目的，是在大家进入很 细节的学习之前，对课程有个整体的认识。 先说《群论一》是啥？它与《群论二》的关系。以前我们这门课就叫《群论》。 这两年我们在进行教学改革。大伙的一致共识是不应该叫《群论》，而应该叫《群 论一》，因为物理学科用到的群论一个学期我们肯定 cover 不住，还有李群李代 数。我们北大实际上一直是按两个学期开的，但不按两个学期叫。其它高校，多 数就讲一个学期。我自己的感觉，是不可能有很好的教学效果。因为《群论一》 讲群论基础，重点是有限群。当然，还 cover 转动群、双群这些东西。教学重点 是群表示论及其应用。学完之后，大家在凝聚态物理、原子分子物理、光学、理 论化学、材料科学这些研究中能够把课程内容用起来。《群论二》，重点是李群这 种连续群的代数结构。我前一段时间看到一句话，有限群讲表示、李群讲代数， 感觉挺准确的。这两年，我们的《群论一》正常情况下还是我讲，《群论二》由
王一男老师负责。大家学完《群论一》之后，可根据自身情况，选择是否学习李群李代数。第二点是这学期的课程与前几个学期的不同。前面这些年，根据课程讲义，我们总结了一个教材。2019年出版，大家可能知道。出版后，因为讲授的方式相对简单，得到了一些读者的认可。在读者的反馈中，不少人提到希望加入一些关于李群李代数的介绍。于是，我这边从2021年底开始着手对教材进行第二版修订，特意增加第七章来覆盖这部分内容。添加完了之后，我自己觉得在我们这个学期的课程上，还是应该把这部分内容给加进去。目的当然不是为了把《李群李代数》彻底讲清楚，我也没这个能力。但是在准备的过程中，我觉得还是发现李群李代数里面一些基本的概念，这些概念很抽象。但是，它们的产生背后其实有一个很简单的关于人类对自然界的认识，以及对为了描述这种认识所发展的数学的认识，由简单到复杂演化的基本的逻辑。这个逻辑如果我们参考讲历史与逻辑相统一的讲授方式，是很容易说起清楚的。把这个说清楚以后，我们的学生在进一步学习《群论二》的时候，一定会容易很多。基于这个考虑，我们在《群论一》里面增加第七章。目的，将这些理论在历史上的发展进行一个简单的总结，专注于对多数读者而言比较容易吸收的内容，为学生继续选《群论II》的课程进行一些铺垫。1这个词是我最近在武汉大学哲学系赵林老师在喜马拉雅（一个音频分享平台）上的一个系列讲座《古希腊文明的兴衰》中听到的。据赵老师介绍，最早来自黑格尔（GecorgWilhclmFriedrichHegel，1770-1831）。黑格尔谈哲学时，最大的特点是系统、丰富、完整。其中，逻辑在先是他最大的利器。他的论述多会基于简单的逻辑展开，然后使其逐渐复杂化，进而完整地体现学科的进展。当然，在历更学家看来，这种方式具有一定的形而上的特质。但不得不说，这种方式对于人们系统的理解各种知识，并很好地掌握继续发展它的技能，是很有效的。实际上，我在过去很多年地教学中，不自觉地就是采用这个方式来进行的。这里，冒味地直接采用这个并不属于自己专业的名词，特此说明一下。如有不妥，也请谅解！
王一男老师负责。大家学完《群论一》之后，可根据自身情况，选择是否学习李 群李代数。 第二点是这学期的课程与前几个学期的不同。前面这些年，根据课程讲义， 我们总结了一个教材。2019 年出版，大家可能知道。出版后，因为讲授的方式相 对简单，得到了一些读者的认可。在读者的反馈中，不少人提到希望加入一些关 于李群李代数的介绍。于是，我这边从 2021 年底开始着手对教材进行第二版修 订，特意增加第七章来覆盖这部分内容。添加完了之后，我自己觉得在我们这个 学期的课程上，还是应该把这部分内容给加进去。目的当然不是为了把《李群李 代数》彻底讲清楚，我也没这个能力。但是在准备的过程中，我觉得还是发现李 群李代数里面一些基本的概念，这些概念很抽象。但是，它们的产生背后其实有 一个很简单的关于人类对自然界的认识，以及对为了描述这种认识所发展的数学 的认识，由简单到复杂演化的基本的逻辑。这个逻辑如果我们参考讲历史与逻辑 相统一的讲授方式1，是很容易说起清楚的。把这个说清楚以后，我们的学生在进 一步学习《群论二》的时候，一定会容易很多。基于这个考虑，我们在《群论一》 里面增加第七章。目的，将这些理论在历史上的发展进行一个简单的总结，专注 于对多数读者而言比较容易吸收的内容，为学生继续选《群论 II》的课程进行一 些铺垫。 1 这个词是我最近在武汉大学哲学系赵林老师在喜马拉雅（一个音频分享平台）上的一个系列讲 座《古希腊文明的兴衰》中听到的。据赵老师介绍，最早来自黑格尔（Georg Wilhelm Friedrich Hegel， 1770-1831）。黑格尔谈哲学时，最大的特点是系统、丰富、完整。其中，逻辑在先是他最大的利 器。他的论述多会基于简单的逻辑展开，然后使其逐渐复杂化，进而完整地体现学科的进展。当 然，在历史学家看来，这种方式具有一定的形而上的特质。但不得不说，这种方式对于人们系统 的理解各种知识，并很好地掌握继续发展它的技能，是很有效的。实际上，我在过去很多年地教 学中，不自觉地就是采用这个方式来进行的。这里，冒昧地直接采用这个并不属于自己专业的名 词，特此说明一下。如有不妥，也请谅解！
讲完这两点，我们回到第三点，传统的课程导言，讲我们这门课的基本情况。我们按下面五句展开：1）群论课程性质与特点；2）教材情况与需要的基础知识；3）教学内容；4）什么是群论；5）群论的历史以及在近代物理学、化学研究中的应用。这部分是这门课最轻松的地方，因为有历史、不枯燥。但《群论》从本质上是一门数学，群、环、域这些概念本身就是近世代数里面的基本语言，群论本身更是在十九世纪末彻底发展起来的一个近世代数的分支（人们在解一元多次方程的时候，发现其解蕴藏着一个数学结构，进而发展出一个代数的分支）。二十世纪初，随着EmmyNoether（诺特，女，1882-1935，德国犹太人）就一个物理系统的对称性与它的守恒量之间关系的认识（1915年的工作，发表于1918年，原始文献[1])、量子力学的发展、以及Eugene Paul Wigner（魏格纳，1902-1995,匈牙利人，后期加入美国籍）和HermannKlausHugoWeyl（外尔，1885-1955，德国人）在建立量子力学数学基础的过程中对对称性原理的使用[2-4]，人们逐渐认识到群论作为一门数学在物理学研究中的作用。再后来物理学发展中人们所使用的规范场（gauge）的方法，是这些研究的进一步延伸（后面我们会稍微展开讨论）。因此，不夸张地说，群论学习是我们物理学专业学生在从事具体研究工作前所受基础教育中必不可少的环节。这是群论课程特点在数学和物理方面的体现。在我们的兄弟学科化学上，在量子力学建立后，敏锐的理论化学家们，以LinusCarlPauling（鲍林）为代表，M
iv 讲完这两点，我们回到第三点，传统的课程导言，讲我们这门课的基本情况。 我们按下面五句展开： 1）群论课程性质与特点； 2）教材情况与需要的基础知识； 3）教学内容； 4）什么是群论； 5）群论的历史以及在近代物理学、化学研究中的应用。 这部分是这门课最轻松的地方，因为有历史、不枯燥。但《群论》从本质上 是一门数学，群、环、域这些概念本身就是近世代数里面的基本语言，群论本身 更是在十九世纪末彻底发展起来的一个近世代数的分支（人们在解一元多次方程 的时候，发现其解蕴藏着一个数学结构，进而发展出一个代数的分支）。二十世 纪初，随着 Emmy Noether（诺特，女，1882-1935，德国犹太人）就一个物理系 统的对称性与它的守恒量之间关系的认识（1915 年的工作，发表于 1918 年，原 始文献[1]）、量子力学的发展、以及 Eugene Paul Wigner（魏格纳，1902-1995， 匈牙利人，后期加入美国籍）和 Hermann Klaus Hugo Weyl（外尔，1885-1955， 德国人）在建立量子力学数学基础的过程中对对称性原理的使用[2-4]，人们逐渐 认识到群论作为一门数学在物理学研究中的作用。再后来物理学发展中人们所使 用的规范场（gauge）的方法，是这些研究的进一步延伸（后面我们会稍微展开讨 论）。因此，不夸张地说，群论学习是我们物理学专业学生在从事具体研究工作 前所受基础教育中必不可少的环节。 这是群论课程特点在数学和物理方面的体现。在我们的兄弟学科化学上，在 量子力学建立后，敏锐的理论化学家们，以 Linus Carl Pauling（鲍林）为代表
已经认识到化学分子的存在形式以及化学反应的发生本质上是由量子力学与统计物理基本原理支配的。既然对称性在量子力学中具备上述重要性，与之相应，在描述由量子力学基本原理所决定的反应物、过渡态、生成物特性（比如电子能级、振动谱等）描述中，对称性原理的数学语言（即群论）必然也会发挥重要的作用。因此，在近代化学（特别是物理化学）的研究中，人们也认识到由对称性决定的内在规律对人们理解这些物性与过程的本质至关重要。换句话，要想真正地在分子设计的层面理解化学2，对称性的知识同样必不可少。因为这些原因，群论应该说是为数不多的这样一门课：在好一些的大学的数学系、物理系、化学系的课程设置中都有涉及。当然，不同的系会有不同的侧重点。数学系会侧重这门课的数学属性，高一个层面，是我们在物理和化学中展开应用的基础。而物理和化学系的同学，如果想理解这些应用，必须首先理解这门课的数学基础部分（说白了就是掌握语言），再进行实例分析。物理系的同学，就专业不同，所需掌握内容也会不同。以凝聚态、光学专业的同学为例，需要掌握的内容绝大部分集中于有限群理论部分，当然也需要转动群与双群的知识，这些在《群论一》课程中均有涉及。如想进一步理解规范场理论（连续变换下的对称性与某守恒量的关系），李群也应适度学习。而对于理论物理专业的同学特别是粒子物理专业的同学，李群部分的内容掌握也是必需。化学学院中理论化学、物理化学专业同学所需掌握内容与物理学院中凝聚态物理、光学专业类似，以有限群部分内容为主。2化学的本质是分子设计，这个可以说是目前多数人对化学的理解。此理解最早的提出者应该也是LinusPauling教授。北京大学化学学院的全称是化学与分子工程学院，其内在涵义也在这个地方。我想这个和唐有祺先生早期是Linus Pauling的博士应该有一定关系。此观点与化学学院的部分老师进行过交流，放在这里供大家参考
已经认识到化学分子的存在形式以及化学反应的发生本质上是由量子力学与统 计物理基本原理支配的。既然对称性在量子力学中具备上述重要性，与之相应， 在描述由量子力学基本原理所决定的反应物、过渡态、生成物特性（比如电子能 级、振动谱等）描述中，对称性原理的数学语言（即群论）必然也会发挥重要的 作用。因此，在近代化学（特别是物理化学）的研究中，人们也认识到由对称性 决定的内在规律对人们理解这些物性与过程的本质至关重要。换句话，要想真正 地在分子设计的层面理解化学2，对称性的知识同样必不可少。 因为这些原因，群论应该说是为数不多的这样一门课：在好一些的大学的数 学系、物理系、化学系的课程设置中都有涉及。当然，不同的系会有不同的侧重 点。数学系会侧重这门课的数学属性，高一个层面，是我们在物理和化学中展开 应用的基础。而物理和化学系的同学，如果想理解这些应用，必须首先理解这门 课的数学基础部分（说白了就是掌握语言），再进行实例分析。物理系的同学， 就专业不同，所需掌握内容也会不同。以凝聚态、光学专业的同学为例，需要掌 握的内容绝大部分集中于有限群理论部分，当然也需要转动群与双群的知识，这 些在《群论一》课程中均有涉及。如想进一步理解规范场理论（连续变换下的对 称性与某守恒量的关系），李群也应适度学习。而对于理论物理专业的同学特别 是粒子物理专业的同学，李群部分的内容掌握也是必需。化学学院中理论化学、 物理化学专业同学所需掌握内容与物理学院中凝聚态物理、光学专业类似，以有 限群部分内容为主。 2 化学的本质是分子设计，这个可以说是目前多数人对化学的理解。此理解最早的提出者应该 也是 Linus Pauling 教授。北京大学化学学院的全称是化学与分子工程学院，其内在涵义也在这 个地方。我想这个和唐有祺先生早期是 Linus Pauling 的博士应该有一定关系。此观点与化学学 院的部分老师进行过交流，放在这里供大家参考