对f,f2=d，f3=e，所以由f形成的循环子群也是[e、d、f，f的阶也是3。类似，a，a2=e，由a出发形成的循环子群是[e、a，a的阶是2;b,b2=e，由b出发形成的循环子群是[e、b)，b的阶是2；c与a、b一样。说完了子群与群元的阶，下一个概念是陪集。定义1.6陪集：设H是群G的子群，H={hα}，由固定的gEG，可生成子群H的左陪集：gH=(ghαlhαEH)，也可生成子群H的右陪集：Hg=(hαg|hαEH)。这个定义做两点说明。一是当H是有限子群时，陪集元素个数等于H的阶。因为不可能存在ha+har但ghα=gha,或hag=haig的情况。也就是说子群中元素与陪集中元素一一对应。二是根据这个定义，陪集可以为子群本身。如果上面取的gEH，就是。如果不属于，就不是。关于子群和陪集，除了这两点，还有一个很重要的性质，就是陪集定理。定理1.2陪集定理：设群H是群G的子群，则H的两个左（或右）陪集或者完全相同，或者没有任何公共元素。换句话说，对于一个群G,如果它按照其子群H来进行分割：G=goH、g1H、g2H、，go=e，其中任意两个陪集giH与g;H的关系是它们要么完全相同，要么根本没有任何公共元素。证明：（以左陪集为例）设uH、vH是不同陪集。再假设uH与vH中间有一个公共元素uhα=vh，则有v-1uhα=hβ，进而v-1u=hgha, v-luH。这个时候，由于H本身是个群，所以由重排定理知道v-1uH=H，那么v(v-1uH)10
10 对f，f 2 = d，f 3 = e，所以由f形成的循环子群也是{e、d、f}，f的阶也是 3。类似，a，a 2 = e，由a出发形成的循环子群是{e、a}，a的阶是 2；b， b 2 = e，由b出发形成的循环子群是{e、b}，b的阶是 2； c与a、b一样。 说完了子群与群元的阶，下一个概念是陪集。 定义 1.6 陪集：设𝐇是群𝐆的子群，𝐇 = {𝐡𝛂 }，由固定的𝐠 ∈ 𝐆，可生成子群𝐇的左 陪集：𝐠𝐇 = {𝐠𝐡𝛂 |𝐡𝛂 ∈ 𝐇}，也可生成子群𝐇的右陪集：𝐇𝐠 = {𝐡𝛂𝐠|𝐡𝛂 ∈ 𝐇}。 这个定义做两点说明。一是当H是有限子群时，陪集元素个数等于H的阶。 因为不可能存在hα ≠ hα′但ghα = ghα′或hαg = hα′g的情况。也就是说子群中元素 与陪集中元素一一对应。二是根据这个定义，陪集可以为子群本身。如果上面取 的g ∈ H，就是。如果不属于，就不是。关于子群和陪集，除了这两点，还有一个 很重要的性质，就是陪集定理。 定理 1.2 陪集定理：设群𝐇是群𝐆的子群，则𝐇的两个左（或右）陪集或者完全相 同，或者没有任何公共元素。 换句话说，对于一个群G，如果它按照其子群H来进行分割：G = {g0H、g1H、 g2H、 ⋯ }，g0 = e，其中任意两个陪集giH与gjH的关系是它们要么完全相同，要 么根本没有任何公共元素。 证明：（以左陪集为例） 设uH、vH是不同陪集。 再假设uH与vH中间有一个公共元素uhα = vhβ，则有v −1uhα = hβ，进而v −1u = hβhα −1，v −1u ∈ H。 这个时候，由于H本身是个群，所以由重排定理知道v −1uH = H，那么v(v −1uH)
自然等于vH。而同时v(v-1uH)=uH。也就是说uH=vH，与假设矛盾。（证毕，右陪集证明类似）有了这个性质，我们在面对一个群的时候，按照它的一个子群和这个子群的陪集去进行分割，我们会得到什么？群是G，子群是H，它本身就是一个陪集。除了H，我们可以再取uiEG，但H，建一个H的陪集uiH，这个uiH与H是没有任何公共元素的，因为如果uihα二hp，则ui=hhal，与uH矛盾。这时可以将G写为H、uiH、以及它们以外的元素的集合。这个时候在继续取u2属于G，但它不属于H，也不属于uiH。做陪集u2H，u2H中的u2不在eH中，也不在uH中，所以uzH与eH、uiH完全不同。依次类推，设G的阶是n，H的阶是m。则每个陪集给出的都是全新的m个群G中的元素。重复这个过程，直到把G中元素穷尽。那么这个H的陪集的个数就应该是n/m。这个n/m必须是个整数，这也就意味着子群H的阶m必为群G的阶n的因子。这个性质就是我们的第三个定理。定理1.3拉格朗日（Lagrange）定理：有限群子群的阶，必为群阶的因子。由这个定理，我们再去分析D3群的子群，我们说过它的子群有(e)、G、{e、d、f)、{e、a)、{e、b)、(e、c}，这些子群的阶分别是1、6、3、2、2、2，都是6 的因子。用(e、d、f)来分割群的话，G=lle、d、f}、ale、d、f))，其中 aled、f)对照前面的乘法表，给出的恰恰是(a、b、c)。至此，前两节结束。讲了六个定义：1）群，2）群的阶、有限群、无限群，3)Abel群，4）子群，5）循环子群与群元的阶，6）陪集。三个定理：1）重排定理，2）陪集定理，3）拉格朗日定理。在导言里面我们提到群是一个有结构的元素的集合，这三个定理是最基本的结构性质，以后很多定理的证明都会用到。第二节
自然等于 vH。而同时v(v −1uH) = uH。也就是说uH=vH，与假设矛盾。 （证毕，右陪集证明类似） 有了这个性质，我们在面对一个群的时候，按照它的一个子群和这个子群的 陪集去进行分割，我们会得到什么？ 群是G，子群是H，它本身就是一个陪集。除了H，我们可以再取u1 ∈ G，但 ∉ H，建一个H的陪集u1H，这个u1H与H是没有任何公共元素的，因为如果u1hα = hβ，则u1 = hβhα −1，与u1 ∉ H矛盾。这时可以将G写为H、u1H、以及它们以外的 元素的集合。这个时候在继续取u2属于G，但它不属于H，也不属于u1H。做陪集 u2H，u2H中的u2不在eH中，也不在u1H中，所以u2H与eH、u1H完全不同。 依次类推，设 G 的阶是 n，H 的阶是 m。则每个陪集给出的都是全新的 m 个 群 G 中的元素。重复这个过程，直到把 G 中元素穷尽。那么这个 H 的陪集的个 数就应该是 n/m。这个 n/m 必须是个整数，这也就意味着子群 H 的阶 m 必为群 G 的阶 n 的因子。这个性质就是我们的第三个定理。 定理 1.3 拉格朗日（Lagrange）定理：有限群子群的阶，必为群阶的因子。 由这个定理，我们再去分析 D3 群的子群，我们说过它的子群有{e}、G、{e、 d、f}、{e、a}、{e、b}、{e、c}，这些子群的阶分别是 1、6、3、2、2、2，都是 6 的因子。用{e、d、f}来分割群的话，G={{e、d、f}、a{e、d、f}}，其中 a{e、 d、f}对照前面的乘法表，给出的恰恰是{a、b、c}。 至此，前两节结束。讲了六个定义：1) 群，2) 群的阶、有限群、无限群，3) Abel 群，4) 子群，5) 循环子群与群元的阶，6) 陪集。三个定理：1) 重排定理， 2) 陪集定理，3) 拉格朗日定理。在导言里面我们提到群是一个有结构的元素的 集合，这三个定理是最基本的结构性质，以后很多定理的证明都会用到。第二节
讲的子群和陪集是群中元素结构关系的一个方面，下面一节要讲的类与不变子群是其另一个方面。1.3类与不变子群此节中，类与不变子群是我们要重点阐明的概念。理解它们需要一个基础，这个基础是共轭。定义1.7共轭：所谓共轭，指的是群G中两个元素f、h，如果在G中存在一个g使得f、h可以通过gfg-1=h联系起来，则称f、h共轭，记为f~h。由此定义，我们首先知道共轭是相互的。因为如果gfg-1=h，则g-1hg=f,也就是g-1h(g-1)-1=f，其中g-1EG。其次，我们知道共轭有传递性，也就是说fi～f2，f2~f3，则fi~f3，为什么？因为由fi～f2，我们知道，一定存在gEG，使得gfig-1=f2。而由f2~f3，我们又知道一定存在hEG，使得hfh-1=f3。把第一个式子代入第二个，就会有hgfig-1h-1=f3，进而hgfi(hg)-1=f3。而hg是属于G的，所以fi~f3。由此传递性，我们可以去定义类。定义1.8类：群G中所有相互共轭的元素形成的集合，称为群G的一个类。由于共轭关系的传递性，我们知道一个类是可以被其中任何一个元素所确定的。这个有些像现实生活中的犯罪团伙，逮着一个，其他的也就差不多了。此比喻不一定准确，但有相似的地方。当然，你也可以用朋友类比，因为朋友一定程度上也有相互性、传递性、以及物以类聚这些特点。而就由类中任何一个元素确定这个类的操作步骤而言，很简单，对一个类中元素f，取任意g属于G，做操作gfg-1。当g走遍G中所有元素的时候，那么f的所有同类元素，没跑，就一个个全出现了。（地毯式搜捕）2
12 讲的子群和陪集是群中元素结构关系的一个方面，下面一节要讲的类与不变子群 是其另一个方面。 1.3 类与不变子群 此节中，类与不变子群是我们要重点阐明的概念。理解它们需要一个基础， 这个基础是共轭。 定义 1.7 共轭：所谓共轭，指的是群𝐆中两个元素𝐟、𝐡，如果在𝐆中存在一个𝐠， 使得𝐟、𝐡可以通过𝐠𝐟𝐠 −𝟏 = 𝐡联系起来，则称𝐟、𝐡共轭，记为𝐟~𝐡。 由此定义，我们首先知道共轭是相互的。因为如果gfg −1 = h，则g −1hg = f， 也就是g −1h(g −1 ) −1 = f，其中g −1 ∈ G。其次，我们知道共轭有传递性，也就是说 f1~f2，f2~f3，则f1~f3，为什么？因为由f1~f2，我们知道，一定存在g ∈ G，使得 gf1g −1 = f2。而由f2~f3，我们又知道一定存在h ∈ G，使得hf2h −1 = f3。把第一个 式子代入第二个，就会有hgf1g −1h −1 = f3，进而hgf1 (hg) −1 = f3。而hg是属于 G 的，所以f1~f3。 由此传递性，我们可以去定义类。 定义 1.8 类：群 G 中所有相互共轭的元素形成的集合，称为群 G 的一个类。 由于共轭关系的传递性，我们知道一个类是可以被其中任何一个元素所确定 的。这个有些像现实生活中的犯罪团伙，逮着一个，其他的也就差不多了。此比 喻不一定准确，但有相似的地方。当然，你也可以用朋友类比，因为朋友一定程 度上也有相互性、传递性、以及物以类聚这些特点。 而就由类中任何一个元素确定这个类的操作步骤而言，很简单，对一个类中 元素f，取任意g属于 G，做操作gfg −1。当g走遍 G 中所有元素的时候，那么 f 的 所有同类元素，没跑，就一个个全出现了。（地毯式搜捕）
由这个共轭关系和类的定义，我们还可以得出：1）一个群中的单位元素自成一类，因为对任意f属于G，fef-1=e;2）Abel群的所有元素都自成一类，因为对任意f属于G，取任意h属于G，做hfh-1 = hh-1f = f;3）设群元素f的阶为m，即fm=e，则与它同类的元素的阶也为m。这是因为它的同类元素可以写为gfg-1,对于这个元素，(gfg-1)k=gfkg-1。当k<m时，fk不等于e，所以gfkg-1也不可能为e，因为如果它为e，就有fk=e，与已知矛盾。而k=m时，gfkg-1=geg-1=e，所以gfg-1的阶为m。最后要说明的，是按类分割群和按陪集分割群是分割群的两种方法。按陪集分割时，群元会被等分为若干部分，但按类就不一定了。同时在用gfg-1找f的同类元素时，g取不同值，gfg-1可不止一次给出同一元素，比如找单位元的同类元素时，g不管取什么，gfg-1给出的都是e。跟类相关的第一个定理是关于类中元素个数的，跟Lagrange定理有像的地方，内容如下。定理1.4有限群的每个类中元素的个数都是群阶的因子。（定理很简单，证明稍微有些麻烦）证明：（分三步）我们要找的是由这个任意元素确认的类中元素的个数。第一步，先证明所有与g互易的元素h形成一个G的子群，记为Hg，这个根据子群的定义，只需证明封闭和有逆就可以了。封闭：如hig=ghi，h2g=gh2，则hih2g=high2=ghih2，也就是说hih2属于也这个集合
由这个共轭关系和类的定义，我们还可以得出： 1) 一个群中的单位元素自成一类，因为对任意 f 属于 G，fef −1 = e； 2) Abel 群的所有元素都自成一类，因为对任意 f 属于 G，取任意 h 属于 G，做 hfh −1 = hh −1 f = f； 3) 设群元素 f 的阶为 m，即f m = e，则与它同类的元素的阶也为 m。这是因为 它的同类元素可以写为gfg −1，对于这个元素，(gfg −1 ) k = gf kg −1。当 k<m 时， f k不等于 e，所以gf kg −1也不可能为 e，因为如果它为 e，就有f k = e，与已知 矛盾。而 k=m 时，gf kg −1 = geg −1 = e，所以gfg −1的阶为 m。 最后要说明的，是按类分割群和按陪集分割群是分割群的两种方法。按陪集 分割时，群元会被等分为若干部分，但按类就不一定了。同时在用gfg −1找f的同 类元素时，g 取不同值，gfg −1可不止一次给出同一元素，比如找单位元的同类元 素时，g 不管取什么，gfg −1给出的都是 e。 跟类相关的第一个定理是关于类中元素个数的，跟 Lagrange 定理有像的地 方，内容如下。 定理 1.4 有限群的每个类中元素的个数都是群阶的因子。 （定理很简单，证明稍微有些麻烦） 证明：（分三步） 我们要找的是由 g 这个任意元素确认的类中元素的个数。 第一步，先证明所有与 g 互易的元素 h 形成一个 G 的子群，记为Hg，这个根据 子群的定义，只需证明封闭和有逆就可以了。 封闭：如h1g = gh1，h2g = gh2，则h1h2g = h1gh2 = gh1h2，也就是说h1h2属于 也这个集合
有逆：如hg=gh，则h-1hg=g=h-igh，进而gh-1=h-ig，h-1也属于这个集合。两个结合，所有与g互易的元素形成群G的一个子群，记为Hg。第二步，根据拉格朗日定理，我们可以把群G按照Hg的陪集，分割为(8oHg)giHg、g2Hg、。这里取go为G中单位元素。现在我们要证明的是每个陪集中元素gihα，在hα取遍Hg中所有元素，也就是giha取遍这个陪集中所有元素的时候，gihαg(giha)-1给出同一个g类中元素giggi1且不同陪集给出的类中元素不同。这个证明是两个方面：1）同一陪集同一元素，对陪集中任意元素giha，做gihαg(gihα)-1，由于hα于g互易，结果都是giggi1。2）不同陪集不同元素，g;Hg与g;Hg两个陪集，给出元素为giggi1与gjggj。如gi8gi1=gj88j，则有gjgi811=g8j，进而gjgig=ggjgi，这也就是说gjgi属于Hg。这样，由重排定理知道Hg=gj‘giHg，进而giHg=gjHg，与已知它们为两个不同陪集矛盾。因此，不同陪集做共轭操作给出不同类中元素。第三步，G中有n个元素，Hg阶为m，我们按Hg做陪集分解会有n/m个子群与陪集。每个陪集给出一个（相互不同的）g的同类元素，一共是n/m个。这也就是说g的类中元素个数为n/m。n/m显然是n的因子。现在我们再来回味一下之前说的两句话，1）一个群的单位元素自成一类，2)Abel群中每个元素自成一类。对于这两种情况，上面证明中用到的Hg就是群G本身，所以m=n，n/m=l。这个类中只有一个元素。上面说的共轭、类的概念的对象都是元素。在《子群和陪集》那一节，我们14
14 有逆：如hg = gh，则h −1hg = g = h −1gh，进而gh −1 = h −1g，h −1也属于这个集 合。 两个结合，所有与 g 互易的元素形成群 G 的一个子群，记为Hg。 第二步，根据拉格朗日定理，我们可以把群 G 按照Hg的陪集，分割为{g0Hg、 g1Hg、g2Hg、.}。这里取g0为 G 中单位元素。 现在我们要证明的是每个陪集中元素gihα，在hα取遍Hg中所有元素，也就是gihα 取遍这个陪集中所有元素的时候，gihαg(gihα ) −1给出同一个 g 类中元素giggi −1， 且不同陪集给出的类中元素不同。 这个证明是两个方面： 1) 同一陪集同一元素，对陪集中任意元素gihα，做gihαg(gihα ) −1，由于hα于 g 互 易，结果都是giggi −1。 2) 不同陪集不同元素，giHg与gjHg两个陪集，给出元素为giggi −1与gjggj −1。如 giggi −1 = gjggj −1，则有gj −1 giggi −1 = ggj −1，进而gj −1 gig = ggj −1 gi，这也就是说 gj −1 gi属于Hg。这样，由重排定理知道Hg=gj −1 giHg，进而giHg = gjHg，与已知 它们为两个不同陪集矛盾。因此，不同陪集做共轭操作给出不同类中元素。 第三步，G 中有 n 个元素，Hg阶为 m，我们按Hg做陪集分解会有 n/m 个子群与 陪集。每个陪集给出一个（相互不同的）g 的同类元素，一共是 n/m 个。这也就 是说 g 的类中元素个数为 n/m。n/m 显然是 n 的因子。 现在我们再来回味一下之前说的两句话，1) 一个群的单位元素自成一类，2) Abel 群中每个元素自成一类。对于这两种情况，上面证明中用到的Hg就是群 G 本身，所以 m=n，n/m=1。这个类中只有一个元素。 上面说的共轭、类的概念的对象都是元素。在《子群和陪集》那一节，我们