在数学家建立了《群论》的概念体系之后，我们物理学家做了什么呢？我想比较有代表性的是下面三个方面的工作：1.几何晶体学的发展，晶体点阵、点群、空间群这些概念的诞生以及他们在晶体学中的应用。这个的主要发展时间是19世纪末、20世纪初，代表人物是ArthurMoritzSchoneflies（熊夫利，1853-1928，德国犹太人）CarlHermann（赫尔曼，1998-1961，德国人）、CharlesVictorMauguin（毛古因，1878-1958，法国人）。后面讲点群空间群的时候我们会讲到他们。2．对称性与守恒量之间的关系，这个代表人物是诺特，她是个典型的数学物理学家。她没得诺奖，不过这个不影响她本身的伟大。物以类聚，套用现在的语言就是如果用微信的话她朋友圈是爱因斯坦、希尔伯特这科人，她也被这些人称为数学史上最伟大的女性。诺特定理的基本内容是“any differentiable symmetry of the action of a physical system has acorrespondingconservationlaw”，也可以说是任何一个保持拉格朗日量不变的微分算符，都对应一个守恒的物理量。下面这张图是我从《赛先生》上面2015年6月20号发的一篇文章上摘下来的（作者是UTAustin的些，这样你才会对你的学科发展的规律产生一定的理解。只有理解了每个发现背后那些让人热血沸腾的故事与逻辑，你才能真正理解教科书上那些冷冰冰的文字背后的内涵。伽罗瓦被认为是浪漫主义天才的代表。传说他投稿三次，第一次的审稿人是柯西，第二次的审稿人是傅立叶，两次都没有发表，柯西让他把论文写的好懂一些，他没有听，傅立叶接到稿件没几天自己都挂了，第三次投稿的时候，迦罗瓦本人已经因为决斗牺牲了，他的朋友帮他投的，这次的审稿人是雅可比和高斯，但这些大佬其实没有时间仔细看。后来这个稿件又沉睡多年，在得到了刘维尔的肯定后最终发表。从这些审稿人，我们应该可以感受到19世纪法国数学的强大。阿贝尔生平最大的标签，除了天才，就是贫穷。他是挪威人，挪威在当时欧洲科学的版图中可以说是彻底的边缘。他自己本身很优秀，但找教职一直不顺。27岁死于贫困与疾病，死后收到了柏林大学的聘书，令人嘘。）xvi
xvi 在数学家建立了《群论》的概念体系之后，我们物理学家做了什么呢？我想 比较有代表性的是下面三个方面的工作： 1. 几何晶体学的发展，晶体点阵、点群、空间群这些概念的诞生以及他们 在晶体学中的应用。这个的主要发展时间是 19 世纪末、20 世纪初，代 表人物是 Arthur Moritz Schöneflies（熊夫利，1853-1928，德国犹太人）、 Carl Hermann（赫尔曼，1998-1961，德国人）、Charles Victor Mauguin（毛 古因，1878-1958，法国人）。后面讲点群空间群的时候我们会讲到他们。 2. 对称性与守恒量之间的关系，这个代表人物是诺特，她是个典型的数学 物理学家。她没得诺奖，不过这个不影响她本身的伟大。物以类聚，套 用现在的语言就是如果用微信的话她朋友圈是爱因斯坦、希尔伯特这种 人，她也被这些人称为数学史上最伟大的女性。诺特定理的基本内容是 “any differentiable symmetry of the action of a physical system has a corresponding conservation law”，也可以说是任何一个保持拉格朗日量不 变的微分算符，都对应一个守恒的物理量。下面这张图是我从《赛先生》 上面 2015 年 6 月 20 号发的一篇文章上摘下来的（作者是 UT Austin 的 些，这样你才会对你的学科发展的规律产生一定的理解。只有理解了每个发现背后那些让人 热血沸腾的故事与逻辑，你才能真正理解教科书上那些冷冰冰的文字背后的内涵。伽罗瓦被 认为是浪漫主义天才的代表。传说他投稿三次，第一次的审稿人是柯西，第二次的审稿人是 傅立叶，两次都没有发表，柯西让他把论文写的好懂一些，他没有听，傅立叶接到稿件没几 天自己都挂了，第三次投稿的时候，迦罗瓦本人已经因为决斗牺牲了，他的朋友帮他投的， 这次的审稿人是雅可比和高斯，但这些大佬其实没有时间仔细看。后来这个稿件又沉睡多年， 在得到了刘维尔的肯定后最终发表。从这些审稿人，我们应该可以感受到 19 世纪法国数学 的强大。阿贝尔生平最大的标签，除了天才，就是贫穷。他是挪威人，挪威在当时欧洲科学 的版图中可以说是彻底的边缘。他自己本身很优秀，但找教职一直不顺。27 岁死于贫困与疾 病，死后收到了柏林大学的聘书，令人唏嘘。）
张天蓉博士），很形象得描述了这个规律：空间采移一请aSO(3)时间平移二动对称旋转对称对称dxat+拉格朗日量不变角动量守恒动量守恒能量守恒图0.2诺特定理，对称性与守恒量关系示意图比如空间平移对称性对应动量守恒、时间平移对称性对应能量守恒、旋转对称性对应角动量守恒，等等。这些规律我们现在其实是都把它们当常识了。它们究竞怎么来的？我们一会儿会用平移不变性对应动量守恒作为一个例子（经典力学范畴内的一个问题），来个推导。同时需要说明：我们目前都知道的GaugeTheory（规范场论），应该说是沿着这条路继续的、更加深入的发展。它的基本思想是系统的Lagrangiar（拉格朗日量）在一个连续的局域变换（规范变换）下保持不变。规范这个词本意是scale（伸缩因子)，但后来人们发现它的真实物理对应其实是相位。现代物理研究中，它通指拉格朗日量多余的自由度。不同规范间的变换（也就是我们常说的规范变换），形成了一个可以解析表达的、具有微分流形性质的连续群，就是李群。在《群论二》，我们会学到每个李群都有自己的群生成元。每个群生成元，会产生一个矢量场，也对应一个代数结构。这个矢量场，就是规范场。这些对经典理论和量子理论都是成立的。在量子理论中，这个规范场的量子被称为规范玻色子。以我们最熟悉的电磁场为例，量子电动力学理论就是个阿贝尔的规范理论，它的阿贝尔的对称群是U(1)群，它的规范场就是由电势Φ与磁势A形成的
张天蓉博士），很形象得描述了这个规律： 图 0.2 诺特定理，对称性与守恒量关系示意图 比如空间平移对称性对应动量守恒、时间平移对称性对应能量守恒、旋 转对称性对应角动量守恒，等等。这些规律我们现在其实是都把它们当 常识了。它们究竟怎么来的？我们一会儿会用平移不变性对应动量守恒 作为一个例子（经典力学范畴内的一个问题），来个推导。 同时需要说明：我们目前都知道的 Gauge Theory（规范场论），应该说是 沿着这条路继续的、更加深入的发展。它的基本思想是系统的 Lagrangian （拉格朗日量）在一个连续的局域变换（规范变换）下保持不变。规范 这个词本意是 scale（伸缩因子），但后来人们发现它的真实物理对应其 实是相位。现代物理研究中，它通指拉格朗日量多余的自由度。不同规 范间的变换（也就是我们常说的规范变换），形成了一个可以解析表达的、 具有微分流形性质的连续群，就是李群。在《群论二》，我们会学到每个 李群都有自己的群生成元。每个群生成元，会产生一个矢量场，也对应 一个代数结构。这个矢量场，就是规范场。这些对经典理论和量子理论 都是成立的。在量子理论中，这个规范场的量子被称为规范玻色子。以 我们最熟悉的电磁场为例，量子电动力学理论就是个阿贝尔的规范理论， 它的阿贝尔的对称群是 U(1)群，它的规范场就是由电势𝜙与磁势𝐴⃗形成的
四分量矢量场(Φ，A)，它的规范玻色子就是光子。近年来应该说用规范场的理论去统一很多模型，比如量子力学、电动力学、量子色动力学，是物理学最大的挑战。群论在中间发挥着重要的作用。3.对称性在量子力学中的应用，这个代表人物是维格纳[2-3]。他也因为这方面的研究得了1963年的诺贝尔物理奖（1/2，另外两个人分那1/2），他获奖原因，原话是“forhiscontributionstothetheoryoftheatomicnucleusand the elementary particles, particularly through the discovery andapplication of fundamental symmetry principles。例1.平移不变性与动量守恒考虑一个封闭的力学系统，无外力，那么这个系统的运动方程是由其作用量（Action）决定的。这个Action是L[q(t), q(t)] dt二设Q(t)这个函数是粒子的实际轨道，而8q(t)是对这个实际轨道的偏移。那么，由最小作用量原理，我们知道对实际轨道有：81tzaLdt = 0(aq(t)dtaq(t)lq(t)0'q(t)=Q(t)对任意t、t2成立。既然它对任意tl、t2成立，自然就会有：aLda= 0(aq(t) dt aq(t)q(t)=Q(t)这样一个式子。这个式子就是牛顿方程（我们理解这个问题的第一步）。现在引入平移不变性（第二步），对任意平移a，有I[Q(t2) +a,Q(ti) +a] =I[Q(t2),Q(ti)]xvili
xviii 四分量矢量场(𝜙，𝐴⃗)，它的规范玻色子就是光子。近年来应该说用规范 场的理论去统一很多模型，比如量子力学、电动力学、量子色动力学， 是物理学最大的挑战。群论在中间发挥着重要的作用。 3. 对称性在量子力学中的应用，这个代表人物是维格纳[2-3]。他也因为这 方面的研究得了 1963 年的诺贝尔物理奖（1/2，另外两个人分那 1/2）， 他获奖原因，原话是“for his contributions to the theory of the atomic nucleus and the elementary particles, particularly through the discovery and application of fundamental symmetry principles”。 例 1．平移不变性与动量守恒 考虑一个封闭的力学系统，无外力，那么这个系统的运动方程是由其作用量 （Action）决定的。这个 Action 是 I = ∫ L[q(t), q̇(t)] t2 t1 dt 设 Q(t)这个函数是粒子的实际轨道，而 δq(t)是对这个实际轨道的偏移。那么，由 最小作用量原理，我们知道对实际轨道有： δ𝐼 δ𝑞(𝑡) = ∫ { 𝜕𝐿 𝜕𝑞(𝑡) − d d𝑡 ∂𝐿 𝜕𝑞̇(𝑡) }| 𝑞(𝑡)=𝑄(𝑡) d𝑡 = 0 𝑡2 𝑡1 对任意 t1、t2 成立。 既然它对任意 t1、t2 成立，自然就会有： { 𝜕𝐿 𝜕𝑞(𝑡) − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕𝑞̇(𝑡) }| 𝑞(𝑡)=𝑄(𝑡) = 0 这样一个式子。这个式子就是牛顿方程（我们理解这个问题的第一步）。 现在引入平移不变性（第二步），对任意平移𝑎，有 𝐼[𝑄(𝑡2 ) + 𝑎, 𝑄(𝑡1 ) + 𝑎] = 𝐼[𝑄(𝑡2 ), 𝑄(𝑡1 )]
这个式子左边为：I[0(t2) + a, Q(t1)+a] = ["[0(t) +a, (t)]d（平移不改变微分项），继续等于：T eU而右边为：I[Q(t2),Q(t)] = / [Q(t),Q(t)]dt等式对任意a、任意t、t2都成立，所以有：aL=0aQ(t)这个式子，代入运动方程，就有：d al=0dtaQ(t)而aL/aQ(t)对应动量，故由平移不变性可推出动量守恒。现在数学说完了、物理说完了，前面我们提到，《群论》这门课是在一个正常的大学里面数学、物理、化学三个系都会开的。化学家在我们这门学科的发展过程中起了什么样的作用呢？应该说和我们物理学家同等重要。具体而言就是他们在将这个理论应用到具体物性研究中扮演了重要的角色。最具代表性的领域是理论化学，很关键的一个人物是鲍林（Linus Pauling)。这个人非常了不起，如果说他是最具影响力的几个化学家之一与最具影响力的理论化学家（没有之一），应该不为过。他是第一个将量子力学基本原理、分子轨道、分子设计这些概念引入到化学研究中的人。也是我们现在公认的量子化学、分子生物学的开创人。这里为什么要这样推崇鲍林呢？原因很简单，我们科学，往广义的说，就是用理性的观点去认知客观世界，这个理性的基本工具是数学。在我们认知的过程
这个式子左边为： 𝐼[𝑄(𝑡2 ) + 𝑎,𝑄(𝑡1 ) + 𝑎] = ∫ 𝐿[𝑄(𝑡) + 𝑎,𝑄̇(𝑡)]d𝑡 𝑡2 𝑡1 （平移不改变微分项），继续等于： ∫ 𝐿[𝑄(𝑡),𝑄̇(𝑡)]d𝑡 𝑡2 𝑡1 + ∫ 𝜕𝐿 𝜕𝑄(𝑡) 𝑎 d𝑡 𝑡2 𝑡1 + ∆(a 2 ) 而右边为： 𝐼[𝑄(𝑡2 ), 𝑄(𝑡1 )] = ∫ 𝐿[𝑄(𝑡),𝑄̇(𝑡)]d𝑡 𝑡2 𝑡1 等式对任意𝑎、任意𝑡1、𝑡2都成立，所以有： 𝜕𝐿 𝜕𝑄(𝑡) = 0 这个式子，代入运动方程，就有： d d𝑡 𝜕𝐿 𝜕𝑄̇(𝑡) = 0 而𝜕𝐿/𝜕𝑄̇(𝑡)对应动量，故由平移不变性可推出动量守恒。 现在数学说完了、物理说完了，前面我们提到，《群论》这门课是在一个正 常的大学里面数学、物理、化学三个系都会开的。化学家在我们这门学科的发展 过程中起了什么样的作用呢？应该说和我们物理学家同等重要。具体而言就是他 们在将这个理论应用到具体物性研究中扮演了重要的角色。最具代表性的领域是 理论化学，很关键的一个人物是鲍林（Linus Pauling）。这个人非常了不起，如果 说他是最具影响力的几个化学家之一与最具影响力的理论化学家（没有之一）， 应该不为过。他是第一个将量子力学基本原理、分子轨道、分子设计这些概念引 入到化学研究中的人。也是我们现在公认的量子化学、分子生物学的开创人。 这里为什么要这样推崇鲍林呢？原因很简单，我们科学，往广义的说，就是 用理性的观点去认知客观世界，这个理性的基本工具是数学。在我们认知的过程
中，由于侧重点的不同，科学会分化出很多学科，比如物理、比如化学、比如生物。我们物理关注的是物质的存在形式与运动规律，化学关注的是不同物质放在一起的反应，而生物关注的是生命的行为。我们相互之间是不应该排斥的。以物理和化学为例，笔者在早期受教育的时候，始终认为它们是两个东西。直到做科研，才意识到现在的凝聚态物理的研究中其实是非常需要化学知识的；而同时量子化学，说白了，就是将量子力学基本原理应用到具体分子与凝聚态体系的行为描述中去。应该说是物理和化学两个大的学科的交融，才使得两者都发展到了目前的这个相当成熟的状态，而最早去推动这种交融的人，鲍林就是代表。这个人本身是个化学家，美国人，笔者认为对他科研影响最大的一段经历，应该是他在1926-1927年在欧洲游学的这个时候。在这里他接触到了ArnoldSommerfeld（索末菲，1869-1951，德国人）、NielsBohr（玻尔，1885-1962，丹麦人）、ErwinSchrodinger（薛定，1887-1961，奥地利人）等人。他在这里接受了量子力学的训练，之后他敏锐得意识到这个东西在化学中的应用，并且开始用这些原理去研究化学中的现象，比如分子轨道、分子振动谱，等等。这些都是我们目前的科学研究中运用群论的最为直接的例子，在后面我们会详细讲。在之前推荐的参考书中，AlbertCotton的那本《Chemical applications ofgrouptheory》就是一个典型的化学家写的群论教材。相比于我们物理学家写的教材，会更实际、易读。最后总结一下，我们这个学期要学习的群论，确实是人类文明在过去两百多年间发展出来的一个精华，是我们认识我们所处在的这个世界本质的重要工具，在我们日常的科学研究中，起着非常重要的作用。像杨先生总结20世纪物理学关键词：量子化、相位、对称性。其中后两个均与本课程相关。当然，此讲义内容为基础部分。但虽说来简单，要想学明白，也需要花费很大的功夫。因此，谨
xx 中，由于侧重点的不同，科学会分化出很多学科，比如物理、比如化学、比如生 物。我们物理关注的是物质的存在形式与运动规律，化学关注的是不同物质放在 一起的反应，而生物关注的是生命的行为。我们相互之间是不应该排斥的。以物 理和化学为例，笔者在早期受教育的时候，始终认为它们是两个东西。直到做科 研，才意识到现在的凝聚态物理的研究中其实是非常需要化学知识的；而同时量 子化学，说白了，就是将量子力学基本原理应用到具体分子与凝聚态体系的行为 描述中去。应该说是物理和化学两个大的学科的交融，才使得两者都发展到了目 前的这个相当成熟的状态，而最早去推动这种交融的人，鲍林就是代表。这个人 本身是个化学家，美国人，笔者认为对他科研影响最大的一段经历，应该是他在 1926-1927 年在欧洲游学的这个时候。在这里他接触到了 Arnold Sommerfeld（索 末菲，1869-1951，德国人）、Niels Bohr（玻尔，1885-1962，丹麦人）、Erwin Schrödinger（薛定谔，1887-1961，奥地利人）等人。他在这里接受了量子力学的 训练，之后他敏锐得意识到这个东西在化学中的应用，并且开始用这些原理去研 究化学中的现象，比如分子轨道、分子振动谱，等等。这些都是我们目前的科学 研究中运用群论的最为直接的例子，在后面我们会详细讲。在之前推荐的参考书 中，Albert Cotton 的那本《Chemical applications of group theory》就是一个典型的 化学家写的群论教材。相比于我们物理学家写的教材，会更实际、易读。 最后总结一下，我们这个学期要学习的群论，确实是人类文明在过去两百多 年间发展出来的一个精华，是我们认识我们所处在的这个世界本质的重要工具， 在我们日常的科学研究中，起着非常重要的作用。像杨先生总结 20 世纪物理学 关键词：量子化、相位、对称性。其中后两个均与本课程相关。当然，此讲义内 容为基础部分。但虽说来简单，要想学明白，也需要花费很大的功夫。因此，谨