数）中很重要的部分，并把它作为十九世纪最伟大的数学成就来看待。而关于这个学科诞生的细节很数学。想真正理解的话，需要对抽象代数这门课有深刻的认识（笔者自己曾经尝试着去看了一些，花了很大精力，但最后发现这个确实超出能力范围）。这里跟大家分享的，只是一些hand-waving（没有坚实的理论基础，试图显得有效，但并没有触及实质内容）的图像层面的认识。网上，大家也能找到一些资源，不如“妈咪说”就有一个分成五节的视频，我看完觉得说得非常好！强烈推荐大家看！他真的很用心，并且写稿的水平很高。中间还用了一些趣味数学的内容，比如1870s由SamuelLoyd提出的一个叫15puzzle的东西，来说明置换的一些基本属性。大家把我们第一章内容学完，在结合一点第六章第一节的内容，应该就可以完全把他那五节视频看懂。由于这个资源已经在那儿，而我们的课程内容又已经足够多了，因此我们还是按自己的节奏来，不重复他那里的内容。刚才提到，最直接的导致群论诞生的诱因是代数方程理论的发展。代数方程，大家都知道，一元一次的是ax+b=0，一元二次的是ax2+bx+c=0。它们的解析根式解我们在中学的时候就学过。一元三次方程和一元四次方程有没有和它们类似的根式解？答案：有。对一元三次和四次方程，早期人们是可以利用配方和换元的方法把它们变成低次方程来求解的。比方说ar3+bx2+cx+d=0这样一个式子，a+0。人们怎么做呢？先换元，取y=x+品，把它代入上式，企图把x的一般的一元三次方程变成y的一元三次方程。而这个y的一元三次方程，不再是一个一般的一元三次方程
数）中很重要的部分，并把它作为十九世纪最伟大的数学成就来看待。 而关于这个学科诞生的细节很数学。想真正理解的话，需要对抽象代数这门 课有深刻的认识（笔者自己曾经尝试着去看了一些，花了很大精力，但最后发现 这个确实超出能力范围）。这里跟大家分享的，只是一些 hand-waving（没有坚实 的理论基础，试图显得有效，但并没有触及实质内容）的图像层面的认识。网上， 大家也能找到一些资源，不如“妈咪说”就有一个分成五节的视频，我看完觉得 说得非常好！强烈推荐大家看！他真的很用心，并且写稿的水平很高。中间还用 了一些趣味数学的内容，比如 1870s 由 Samuel Loyd 提出的一个叫 15 puzzle 的东 西，来说明置换的一些基本属性。大家把我们第一章内容学完，在结合一点第六 章第一节的内容，应该就可以完全把他那五节视频看懂。由于这个资源已经在那 儿，而我们的课程内容又已经足够多了，因此我们还是按自己的节奏来，不重复 他那里的内容。 刚才提到，最直接的导致群论诞生的诱因是代数方程理论的发展。代数方程， 大家都知道，一元一次的是 ax + b=0，一元二次的是 ax 2+bx+c=0。它们的解析根 式解我们在中学的时候就学过。 一元三次方程和一元四次方程有没有和它们类似的根式解？ 答案：有。 对一元三次和四次方程，早期人们是可以利用配方和换元的方法把它们变成 低次方程来求解的。 比方说 ax 3+bx 2+cx+d=0 这样一个式子，a≠0。人们怎么做呢？ 先换元，取𝑦 = 𝑥 + b 3a ，把它代入上式，企图把𝑥的一般的一元三次方程变成 𝑦的一元三次方程。而这个𝑦的一元三次方程，不再是一个一般的一元三次方程
而是具有特殊形式的一元三次方程。过程如下：a(-)+b(-)D)+d=0) +c(y-3a(-by2+品b32bb2) +c(y--3)+d=0+bay+9a2+3az2y-27as)Tayeg+(-) +(a+2%-_) -0二次项不见了，一元三次方程变成了y+py+q=0，这里p、q都是由a、b、C、d确定的常数。而这样的一个特殊形式的一元三次方程，是有根式解的。这个里面有个故事，时间是16世纪，地点是意大利。当时在欧洲的数学界，去寻求一元三次方程的解是一个时尚，就像我们现在物理学界对高温超导机制的研究一样。因为当时的历史背景是文艺复兴（Renaissance），所以在学术上最活跃的地区很自然的就是意大利（大家可以去想，哥白尼、布鲁诺、伽利略这三个现代科学的鼻祖里，两个意大利人，一个哥白尼是波兰人，但基本在意大利生活)。代表人物有两个，NiccoloFontana（冯塔纳，1499-1557）和GirolamoCardano（卡尔达诺，也叫卡丹，1501-1576)。传说第一个想出这个特殊方程根式解是冯塔纳，但此君比较喜欢通过故弄玄虚来显示自己的聪明，不把话说明。因此，虽然当时有很多人相信他会解这个方程，但没有任何文献记录（当时的出版业并没有现在这么发达，不然一个arXiv就解决问题了）。而卡丹呢，比较低调务实，传说中他跟冯塔纳讨教过，这个冯塔纳用很隐晦的语言进行了提示，但他认为以卡丹的悟性根本理解不了。但结果是人家愣把它想明白了，并且在他的著作《大术》（ArsMagna，1545）中给了一些详细的解释。因为这个，现在我们在讨论一元三次方程的根式解的时候，想到的第一个人物往往是卡丹，只是在很少的文献中才会对3当时人们经常针对类似问题进行数学比武。xii
xii 而是具有特殊形式的一元三次方程。过程如下： a (𝑦 − b 3a) 3 + b (𝑦 − b 3a) 2 + c (𝑦 − b 3a) + d = 0 a (𝑦 3 − b a 𝑦 2 + b 2 3a 2 𝑦 − b 3 27a 3 ) + b (𝑦 2 − 2b 3a 𝑦 + b 2 9a 2 ) + c (𝑦 − b 3a) + d = 0 a𝑦 3 + (c − b 2 3a ) 𝑦 + (d + 2b2 27a 2 − bc 3a) = 0 二次项不见了，一元三次方程变成了 y 3+py+q=0，这里 p、q 都是由 a、b、 c、d 确定的常数。而这样的一个特殊形式的一元三次方程，是有根式解的。这个 里面有个故事，时间是 16 世纪，地点是意大利。当时在欧洲的数学界，去寻求 一元三次方程的解是一个时尚，就像我们现在物理学界对高温超导机制的研究一 样3。因为当时的历史背景是文艺复兴（Renaissance），所以在学术上最活跃的地 区很自然的就是意大利（大家可以去想，哥白尼、布鲁诺、伽利略这三个现代科 学的鼻祖里，两个意大利人，一个哥白尼是波兰人，但基本在意大利生活）。代 表人物有两个，Niccolo Fontana（冯塔纳，1499-1557）和 Girolamo Cardano（卡 尔达诺，也叫卡丹，1501-1576）。传说第一个想出这个特殊方程根式解是冯塔纳， 但此君比较喜欢通过故弄玄虚来显示自己的聪明，不把话说明。因此，虽然当时 有很多人相信他会解这个方程，但没有任何文献记录（当时的出版业并没有现在 这么发达，不然一个 arXiv 就解决问题了）。而卡丹呢，比较低调务实，传说中他 跟冯塔纳讨教过，这个冯塔纳用很隐晦的语言进行了提示，但他认为以卡丹的悟 性根本理解不了。但结果是人家愣把它想明白了，并且在他的著作《大术》（Ars Magna，1545）中给了一些详细的解释。因为这个，现在我们在讨论一元三次方 程的根式解的时候，想到的第一个人物往往是卡丹，只是在很少的文献中才会对 3当时人们经常针对类似问题进行数学比武
当时冯塔纳的工作有所提及。上面那个特殊一元三次方程的解，人们也习惯于叫卡丹公式：()+() +-- 6) +(6)LYi[() +() +2 -- 2) +()y2 = W ·2) +。-号- 6)"+() +(J3 = w2.这个里面W=-1+V3i。这个是关于一元三次方程根式解的故事。过程其实已经很麻烦了，不然不会让冯塔纳犯那个错误。对一元四次，之后人们又用相似方法做了努力，由卡丹的学生LodovicoFerrari（费拉里，1522-1565，意大利人）给出了根式解，这个结果也是在卡丹的那本1545年的《ArsMagna》里面发表的。那么五次、六次及其以上又是什么情况呢？同样，在1545年以后也继续成为欧洲数学界的时尚。但两百年过去了，却始终没有任何进展。534+123+633x15I dare you tofind a solution图0.1一元高次方程根式解当这个问题有下一步进展的时候，也就到了我们《群论》作为一门学科出现的时候了。这个前后发展的时间有一百多年，从1770年代开始，到19世纪末结束。其中的代表人物包括Joseph-LouisLagrange（拉格朗日，1736-1813，意大利
当时冯塔纳的工作有所提及。上面那个特殊一元三次方程的解，人们也习惯于叫 卡丹公式： 𝑦1 = √− 𝑞 2 + √( 𝑞 2 ) 2 + ( 𝑝 3 ) 3 3 + √− 𝑞 2 − √( 𝑞 2 ) 2 + ( 𝑝 3 ) 3 3 𝑦2 = 𝜔 ∙ √− 𝑞 2 + √( 𝑞 2 ) 2 + ( 𝑝 3 ) 3 3 + 𝜔 2 ∙ √− 𝑞 2 − √( 𝑞 2 ) 2 + ( 𝑝 3 ) 3 3 𝑦3 = 𝜔 2 ∙ √− 𝑞 2 + √( 𝑞 2 ) 2 + ( 𝑝 3 ) 3 3 + 𝜔 ∙ √− 𝑞 2 − √( 𝑞 2 ) 2 + ( 𝑝 3 ) 3 3 这个里面𝜔 = −1 + √3i。 这个是关于一元三次方程根式解的故事。过程其实已经很麻烦了，不然不会 让冯塔纳犯那个错误。对一元四次，之后人们又用相似方法做了努力，由卡丹的 学生 Lodovico Ferrari（费拉里，1522-1565，意大利人）给出了根式解，这个结果 也是在卡丹的那本 1545 年的《Ars Magna》里面发表的。那么五次、六次及其以 上又是什么情况呢？同样，在 1545 年以后也继续成为欧洲数学界的时尚。但两 百年过去了，却始终没有任何进展。 图 0.1 一元高次方程根式解 当这个问题有下一步进展的时候，也就到了我们《群论》作为一门学科出现 的时候了。这个前后发展的时间有一百多年，从 1770 年代开始，到 19 世纪末结 束。其中的代表人物包括 Joseph-Louis Lagrange（拉格朗日，1736-1813，意大利
人，绝大部分时间工作在德国与法国）、PaoloRuffini（鲁菲尼，1765-1822，意大利人）、EvaristeGalois（迦罗瓦，1811-1832，法国人）、NielsHenrikAbel（阿贝尔，1802-1829，挪威人）、ArthurCayley（凯菜，1821-1895，英国人）、FerdinandGeorgFrobenius（费罗贝尼乌斯，1849-1917，德国人）、WilliamBurnside（勃恩赛德，1852-1927，英国人）、FriedrichHeinrichSchur（舒尔，1856-1932，德国人）MariusSophusLle（李，1842-1899，挪威人）这些数学家。其中前面这些人（到阿贝尔），他们工作的初衰是求一元五次方程的解，但结果是建立了群论。而后面这些人，从凯莱开始，他们的主要工作，就是完善这个由前人提出的理论了。这些名字以及与他们相关的定理，在后面的教学中我们会慢慢接触到。怎么把解一元五次方程和《群论》这门学科联系起来，背后的道理其实很简单。前面我们提到了，在费拉里之后，两百多年，欧洲各位顶级的数学家都尝试着利用配方、换元这些数学手段去求四次以上方程的根式解，但都没成功。这科情况下，按科学规律而言，一般传统思维肯定就不行了。这个就像我们把自己关在一个屋子里找东西，你的前辈科学家，各个聪明绝顶，他们把这个屋子的每个角落都进行了存细的搜寻，都没有找到。这个时候你应该去意识到是不是这个屋子有另外一个维度你并不知道？你需要打破传统思维去找到这个维度？物理史上我们都知道的一个例子就是人们黑体辐射，在19世纪末20世纪初，传统经典的思想是怎么都不可能在长波和短波区域同时给出合理解释的。这个时候，人们就需要去拓展自己的思维了，而把思维扩展开来的这些人，就是我们眼中的天才了，比如普朗克（当然普朗克常数的产生更多的是数学上的处理，而不是思想深处的理解或信念）、比如爱因斯坦（大家一定不要受一些科普读物的误导，他实际上是量子力学发展最大的一个推动者之一，从思想层面。光电效应是他解释的，xiv
xiv 人，绝大部分时间工作在德国与法国）、Paolo Ruffini（鲁菲尼，1765-1822，意大 利人）、Évariste Galois（迦罗瓦，1811-1832，法国人）、Niels Henrik Abel（阿贝 尔，1802-1829，挪威人）、Arthur Cayley（凯莱，1821-1895，英国人）、Ferdinand Georg Fröbenius（费罗贝尼乌斯，1849-1917，德国人）、William Burnside（勃恩 赛德，1852-1927，英国人）、Friedrich Heinrich Schur（舒尔，1856-1932，德国人）、 Marius Sophus Lie（李，1842-1899，挪威人）这些数学家。其中前面这些人（到 阿贝尔），他们工作的初衷是求一元五次方程的解，但结果是建立了群论。而后 面这些人，从凯莱开始，他们的主要工作，就是完善这个由前人提出的理论了。 这些名字以及与他们相关的定理，在后面的教学中我们会慢慢接触到。 怎么把解一元五次方程和《群论》这门学科联系起来，背后的道理其实很简 单。前面我们提到了，在费拉里之后，两百多年，欧洲各位顶级的数学家都尝试 着利用配方、换元这些数学手段去求四次以上方程的根式解，但都没成功。这种 情况下，按科学规律而言，一般传统思维肯定就不行了。这个就像我们把自己关 在一个屋子里找东西，你的前辈科学家，各个聪明绝顶，他们把这个屋子的每个 角落都进行了仔细的搜寻，都没有找到。这个时候你应该去意识到是不是这个屋 子有另外一个维度你并不知道？你需要打破传统思维去找到这个维度？物理史 上我们都知道的一个例子就是人们黑体辐射，在 19 世纪末 20 世纪初，传统经典 的思想是怎么都不可能在长波和短波区域同时给出合理解释的。这个时候，人们 就需要去拓展自己的思维了，而把思维扩展开来的这些人，就是我们眼中的天才 了，比如普朗克（当然普朗克常数的产生更多的是数学上的处理，而不是思想深 处的理解或信念）、比如爱因斯坦（大家一定不要受一些科普读物的误导，他实 际上是量子力学发展最大的一个推动者之一，从思想层面。光电效应是他解释的
德布罗意的波粒二象性也是他最早支持的，这些都是突破思维定式的典型例子。只是在后期，他从一个数学物理学家的视角，不喜欢玻尔这些人对量子力学的一些实用性解释。除了量子力学，狭义与广义相对论也是更典型的例子)。在五次及其以上一元方程根式解的问题上，认识到这一点的最早的人物是拉格朗日。他实际上是看到了一种新的数学结构。从他开始，到鲁菲尼，到伽罗瓦与阿贝尔，他们做的事情是开始从群的结构，也就是常说的群论的角度去考虑这些问题了。具体而言，如果把一个一元n次方程的根式解作为变换对象，那么它就会对应一个n次置换群。其中拉格朗日、鲁菲尼干的事情是利用置换的概念，去理解了三次和四次方程为什么有解。之后就是伽罗瓦和阿贝尔了，他们干的事情是彻底地在代数方程的可解性与其对应的置换群之间建立了联系，指出了n次方程有解的充要条件，以及说明一般的五次方程没有根式解。一个n阶置换群是可解群的条件，是它的不变子群形成的不变子群列具有一个特殊的性质。就是前一个不变子群对后一个不变子群的商群，都是Abel群。对于置换群而言，前四个都有这个性质。第五个及其以上，没有。因此，一元五次及其以上方程没有根式解。这个就是数学的魅力！它与哲学一样，对应的都是一些最基本的智慧。由哲学中的自然哲学发展出的诸多自然科学的分支中，物理学也具备这样的特质。这也是我们常说的物理学最能代表自然哲学的根本原因。在拉格朗日、鲁菲尼、伽罗瓦、阿贝尔这四个人里面，前面两个是奠定基础的，迦罗瓦与阿贝尔是真正利用群这个概念去解决这个问题的。我们现在会把后两个当作是《群论》这门学科的奠基人*。4建议到wikipedia去看一下这两个少年天才的生平。笔者在课上尽量介绍每个科学家的生平，就是希望我们在学习科学的同时，不要脱离科学家本身所处的时代背景。科学上重大进步的产生，都是以由科学家本身的时代背景、学科背景综合起来诱发的。学生时代应尽量了解这
德布罗意的波粒二象性也是他最早支持的，这些都是突破思维定式的典型例子。 只是在后期，他从一个数学物理学家的视角，不喜欢玻尔这些人对量子力学的一 些实用性解释。除了量子力学，狭义与广义相对论也是更典型的例子）。 在五次及其以上一元方程根式解的问题上，认识到这一点的最早的人物是拉 格朗日。他实际上是看到了一种新的数学结构。从他开始，到鲁菲尼，到伽罗瓦 与阿贝尔，他们做的事情是开始从群的结构，也就是常说的群论的角度去考虑这 些问题了。具体而言，如果把一个一元 n 次方程的根式解作为变换对象，那么它 就会对应一个 n 次置换群。其中拉格朗日、鲁菲尼干的事情是利用置换的概念， 去理解了三次和四次方程为什么有解。之后就是伽罗瓦和阿贝尔了，他们干的事 情是彻底地在代数方程的可解性与其对应的置换群之间建立了联系，指出了 n 次 方程有解的充要条件，以及说明一般的五次方程没有根式解。一个 n 阶置换群是 可解群的条件，是它的不变子群形成的不变子群列具有一个特殊的性质。就是前 一个不变子群对后一个不变子群的商群，都是 Abel 群。对于置换群而言，前四 个都有这个性质。第五个及其以上，没有。因此，一元五次及其以上方程没有根 式解。这个就是数学的魅力！它与哲学一样，对应的都是一些最基本的智慧。由 哲学中的自然哲学发展出的诸多自然科学的分支中，物理学也具备这样的特质。 这也是我们常说的物理学最能代表自然哲学的根本原因。在拉格朗日、鲁菲尼、 伽罗瓦、阿贝尔这四个人里面，前面两个是奠定基础的，迦罗瓦与阿贝尔是真正 利用群这个概念去解决这个问题的。我们现在会把后两个当作是《群论》这门学 科的奠基人4。 4建议到wikipedia去看一下这两个少年天才的生平。笔者在课上尽量介绍每个科学家的生平， 就是希望我们在学习科学的同时，不要脱离科学家本身所处的时代背景。科学上重大进步的 产生，都是以由科学家本身的时代背景、学科背景综合起来诱发的。学生时代应尽量了解这