不管哪个具体专业，要想理解群论在其关心的具体问题中的应用，“掌握这些应用的数学基础”（具体而言就是“群基础理论”与“群表示理论”两部分内容）都是第一步。因此，我们这门课的前1/3部分本质上就是数学性质的讲解。就课程特点来说这部分是比较枯燥的。如果没有学进去，到了后半部分我们讨论应用的时候，你就是在听一门没完全学过的外语。因此，必须说明：如果想学这门课的话，前面两章必须啃下，否则别学！与此同时，在学习之前，笔者还需说明：在后面的实例说明中，我们会讲到一些现在物理学研究中用到的例子。理解这些例子，对于这门课的学习是和掌握理论基础同样重要的目标！因为没有这些例子，你不可能理解到学习这些东西有什么用？要掌握这部分内容，我们需要的课程储备是《量子力学》与《固体物理》，没有选过这两门课，也千万别看这本书和选这门课，这个是由课程的特点决定的，需要尊重!关于教材，前三年我都是基于其他老师的教材手写自己的讲义，每年重复并更新。第四年把讲义的电子版整理出来，之后每年改进，但整体还比较肤浅。具体的、深入的讨论大家可以参考：1.韩其智、孙洪洲《群论》北京大学出版社2.王宏利《群论讲义》》（未出版，网上可以找到）3.徐婉棠、喀兴林《群论及其在固体物理中的应用》高等教育出版社4.M.S.Dresselhaus,G.Dresselhaus, A.Jorio,《Group Theory:Applications tothe Physics of CondensedMatter》.Springer5.Zhongqi Ma,《Group Theoryfor Physicists》,World Scientifi这五本是课程主要参考如果想扩展阅读，也可参考：M
vi 不管哪个具体专业，要想理解群论在其关心的具体问题中的应用，“掌握这 些应用的数学基础”（具体而言就是“群基础理论”与“群表示理论”两部分内 容）都是第一步。因此，我们这门课的前 1/3 部分本质上就是数学性质的讲解。 就课程特点来说这部分是比较枯燥的。如果没有学进去，到了后半部分我们讨论 应用的时候，你就是在听一门没完全学过的外语。因此，必须说明：如果想学这 门课的话，前面两章必须啃下，否则别学！ 与此同时，在学习之前，笔者还需说明：在后面的实例说明中，我们会讲到 一些现在物理学研究中用到的例子。理解这些例子，对于这门课的学习是和掌握 理论基础同样重要的目标！因为没有这些例子，你不可能理解到学习这些东西有 什么用？要掌握这部分内容，我们需要的课程储备是《量子力学》与《固体物理》， 没有选过这两门课，也千万别看这本书和选这门课，这个是由课程的特点决定的， 需要尊重！ 关于教材，前三年我都是基于其他老师的教材手写自己的讲义，每年重复并 更新。第四年把讲义的电子版整理出来，之后每年改进，但整体还比较肤浅。具 体的、深入的讨论大家可以参考： 1. 韩其智、孙洪洲 《群论》 北京大学出版社 2. 王宏利 《群论讲义》 （未出版，网上可以找到） 3. 徐婉棠、喀兴林 《群论及其在固体物理中的应用》 高等教育出版社 4. M. S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, A. Jorio, 《Group Theory: Applications to the Physics of Condensed Matter》. Springer 5. Zhongqi Ma, 《Group Theory for Physicists》, World Scientific 这五本是课程主要参考如果想扩展阅读，也可参考：
6.马中骐《物理学中的群论》科学出版社（上面那本书的中文版）7.Anthony Zee,《Group Theory in a Nutshell for Physicists》, PrincetonUniversityPress.（徐一鸿，科普读物中经常称为阿热，题目大意为：物理学家眼中的群论简言，inanutshell本意是：一言以蔽之，简约的）8.Wu-KiTung（董无极）《GroupTheory inPhysics》世图有影印版9.F.Albert Cotton,《Chemical Applications ofGroup Theory》,John Willey&Sons.Inc（化学家写的群论中的经典，对读者很友善）10.陶瑞宝《物理学中的群论》高等教育出版社（这本书很全，包含了很多群论在物理中的应用，理论性也很强）科学出版社11.张端明、李小刚、何敏华《应用群论》12.俞文海科大出版社《晶体结构的对称群》其中阿热先生的书是在此讲义基本定型后才有幸研读，看完诸多体会。如果能早日看到，讲义本身质量应该会有很大提升。前言的第三部分是课程的内容。主体是七章：1）群的基础知识、2）群表示理论、3）点群和空间群、4)群论与量子力学、5）转动群、6)置换群、7）李群李代数初步。其中前两章是基础，提供我们在进行后面的讨论的时候必须用到的“语言”，是我们的基本交流工具。在这两章学完之后，下面两个章节是3）点群与空间群，4）群论与量子力学。其中点群、空间群是我们在分子、团簇、凝聚态体系中遇到的群，关于它们的性质自然是我们学习的重点。群论与量子力学这一章，在现行教课书中并没有一个统一的路子。但笔者认为是我们这门课里最重要、最有用的部分！大家学完这门课之后，有时间的话一定要不断地阅读和这部分相关的教科书（特别是Dresselhaus那本），这是加深我们对这门课理解的关键！此
6. 马中骐 《物理学中的群论》 科学出版社（上面那本书的中文版） 7. Anthony Zee, 《Group Theory in a Nutshell for Physicists》, Princeton University Press. （徐一鸿，科普读物中经常称为阿热，题目大意为：物理学家眼 中的群论简言，in a nutshell 本意是：一言以蔽之，简约的） 8. Wu-Ki Tung (董无极) 《Group Theory in Physics》世图有影印版 9．F. Albert Cotton, 《Chemical Applications of Group Theory》, John Willey & Sons. Inc（化学家写的群论中的经典，对读者很友善） 10. 陶瑞宝 《物理学中的群论》 高等教育出版社（这本书很全，包含了 很多群论在物理中的应用，理论性也很强） 11. 张端明、李小刚、何敏华 《应用群论》 科学出版社 12. 俞文海 《晶体结构的对称群》 科大出版社 其中阿热先生的书是在此讲义基本定型后才有幸研读，看完诸多体会。如果 能早日看到，讲义本身质量应该会有很大提升。 前言的第三部分是课程的内容。主体是七章：1) 群的基础知识、2) 群表示 理论、3) 点群和空间群、4) 群论与量子力学、5) 转动群、6) 置换群、7）李群 李代数初步。其中前两章是基础，提供我们在进行后面的讨论的时候必须用到的 “语言”，是我们的基本交流工具。在这两章学完之后，下面两个章节是 3) 点群 与空间群，4) 群论与量子力学。其中点群、空间群是我们在分子、团簇、凝聚态 体系中遇到的群，关于它们的性质自然是我们学习的重点。群论与量子力学这一 章，在现行教课书中并没有一个统一的路子。但笔者认为是我们这门课里最重要、 最有用的部分！大家学完这门课之后，有时间的话一定要不断地阅读和这部分相 关的教科书（特别是 Dresselhaus 那本），这是加深我们对这门课理解的关键！此
部分内容有点像金庸小说中常提到的任督二脉，掌握好了，能在科研中合理运用群论，课程学习才成功，科研也会做得更好（Dresselhaus本人就是一个最好的例子）。剩下的三章，转动群不说大家也能感受到它的重要，早期的原子体系和很多现在还在用的中心力场理想体系都具备这样的对称性。此讲义主要关注的主体是有限群，转动群本质上是一个连续群，但它的一些最基本的属性我们在不学习《群论二》的情况下也能理解。如果你以后做和电子自旋相关的研究，背后的物理基本也在这部分内容中。置换群是一种有限群，也是在全同粒子体系普遍存在的一种对称群。我们的课程内容会覆盖到从置换群的基本特性、到其分类（杨图）、在到其不等价不可约表示分类（杨盘定理）、以及简单的如何求置换群的表示这些内容。对于不学理论物理的同学，一般我们用不上。对学理论并且要选《群论二》的同学，这些基本的理论储备应该也够，深入的讲解你们下个学期会接触。李群李代数初步，更是为下学期进行的准备。上面说的课程内容都可以直接由章节的题目反映出来。大家如果看其它教材的话，其实还会注意到两个东西，我们目前还没有提及：一个叫投影算符、一个叫暴等元，这两者有些联系。在我们的讲义中，分别会在第四章和第六章用到之前作介绍，不单独把它们作为一章来讲。导言的第四部分我们想说的是一个具体的问题：什么是群论？要明白这个问题的话我们可以先想一下什么是“群论”中的“群”。这个对应的英语的词源是grouptheory中的group，汉语的翻译很贴切，就是“群”这个字。汉字拆分，可以把它分为两个部分，一个“君”、一个“羊”，背后隐藏的一个逻辑就是一个君管理了一群羊。在这里羊是一个集合，而君不单指一个人，更vii
viii 部分内容有点像金庸小说中常提到的任督二脉，掌握好了，能在科研中合理运用 群论，课程学习才成功，科研也会做得更好（Dresselhaus 本人就是一个最好的例 子）。 剩下的三章，转动群不说大家也能感受到它的重要，早期的原子体系和很多 现在还在用的中心力场理想体系都具备这样的对称性。此讲义主要关注的主体是 有限群，转动群本质上是一个连续群，但它的一些最基本的属性我们在不学习《群 论二》的情况下也能理解。如果你以后做和电子自旋相关的研究，背后的物理基 本也在这部分内容中。置换群是一种有限群，也是在全同粒子体系普遍存在的一 种对称群。我们的课程内容会覆盖到从置换群的基本特性、到其分类（杨图）、 在到其不等价不可约表示分类（杨盘定理）、以及简单的如何求置换群的表示这 些内容。对于不学理论物理的同学，一般我们用不上。对学理论并且要选《群论 二》的同学，这些基本的理论储备应该也够，深入的讲解你们下个学期会接触。 李群李代数初步，更是为下学期进行的准备。 上面说的课程内容都可以直接由章节的题目反映出来。大家如果看其它教材 的话，其实还会注意到两个东西，我们目前还没有提及：一个叫投影算符、一个 叫幂等元，这两者有些联系。在我们的讲义中，分别会在第四章和第六章用到之 前作介绍，不单独把它们作为一章来讲。 导言的第四部分我们想说的是一个具体的问题：什么是群论？ 要明白这个问题的话我们可以先想一下什么是“群论”中的“群”。这个对 应的英语的词源是 group theory 中的 group，汉语的翻译很贴切，就是“群”这个 字。汉字拆分，可以把它分为两个部分，一个“君”、一个“羊”，背后隐藏的一 个逻辑就是一个君管理了一群羊。在这里羊是一个集合，而君不单指一个人，更
代表一个管理者。他/她和羊在一起，大家可以理解为一个“具有一定结构特征的集合”，因为“君”这个管理者就是要给你这个集合建立一个结构特征，并且要利用这个结构特征去实施管理的。而群论呢？很自然的就是：研究这个集合的结构特征及其生成的规律的一门学科。根据这个理解，我们回到前面提到的课程内容，很自然，我们就可以简单理解一下刚才讲到的各章都是干什么的？1．群的基础知识：集合总体的结构特征及其规律；2．群表示理论：对这些规律进行数学描述要用到的数学语言（基础是线性代数）；3．点群、空间群：人们面对分子、晶体系统的时候，系统具有的对称性操作的集合。它们是我们在掌握前两章（群论的理论基础）后面对的第一类具体的群；4.群论和量子力学：群论在近代的物理、化学等学科研究中的应用；5.转动群：是中心力场系统的对称群（物理体系中的一类对称群）；6．置换群：是全同粒子系统的对称群（物理体系中的一类对称群)；7.李群李代数初步：有限群向李群的过渡。根据这个理解，我们同时还很容易明白群论从本质上而言是研究数的结构及其生成规律的，是数学，不是物理。我们物理研究的是物质运动的内在规律，一般先强调“物”，针对“物”来理解“理”。而群论这门学科发展的初期，是人们对一些“理”的认识，这些“理”是“数理”，不是“物理”。人们基于对这些“数理”的认识，建立起了一套理论。后来人们又逐渐意识到它在物理、化学上有很大的用途，才开始要求物理、化学这些专业背景的人来学习，以期对本学科中的
代表一个管理者。他/她和羊在一起，大家可以理解为一个“具有一定结构特征 的集合”，因为“君”这个管理者就是要给你这个集合建立一个结构特征，并且 要利用这个结构特征去实施管理的。而群论呢？很自然的就是：研究这个集合的 结构特征及其生成的规律的一门学科。 根据这个理解，我们回到前面提到的课程内容，很自然，我们就可以简单理 解一下刚才讲到的各章都是干什么的？ 1. 群的基础知识：集合总体的结构特征及其规律； 2. 群表示理论：对这些规律进行数学描述要用到的数学语言（基础是线性 代数）； 3. 点群、空间群：人们面对分子、晶体系统的时候，系统具有的对称性操作 的集合。它们是我们在掌握前两章（群论的理论基础）后面对的第一类 具体的群； 4. 群论和量子力学：群论在近代的物理、化学等学科研究中的应用； 5. 转动群：是中心力场系统的对称群（物理体系中的一类对称群）； 6. 置换群：是全同粒子系统的对称群（物理体系中的一类对称群）； 7. 李群李代数初步：有限群向李群的过渡。 根据这个理解，我们同时还很容易明白群论从本质上而言是研究数的结构及 其生成规律的，是数学，不是物理。我们物理研究的是物质运动的内在规律，一 般先强调“物”，针对“物”来理解“理”。而群论这门学科发展的初期，是人们 对一些“理”的认识，这些“理”是“数理”，不是“物理”。人们基于对这些“数 理”的认识，建立起了一套理论。后来人们又逐渐意识到它在物理、化学上有很 大的用途，才开始要求物理、化学这些专业背景的人来学习，以期对本学科中的
问题有更深入的认识。就教学而言，物理上教《群论》的老师分两拔。一拔是做得比较理论的老师。相应教材的特点是严格、抽象、深入。另一拔是做物质科学相关研究的，相应教材比较直观、便于理解，但内容不包括《群论二》的部分。笔者的背景是后者，此讲义只希望将《群论一》讲清楚。至此，《群论》是什么样的一门课大家应该有些概念了。但在学之前，出于好奇，可能我们还是想知道一下作为一门学科《群论》是如何发展起来的？它现在处在一个什么样的位置？这个就把我引到了我在引言中想解释的第五句话：群论的历史以及在物理和化学中的应用。前面提到，群论是近世代数的一个重要的分支，它是在19世纪发展起来的。在发展的初期，数学上的另外三个分支是基础。这三个分支分别是：1）几何学，从19世纪开始，有个德国数学家，叫AugustFerdinandMobius（莫比乌斯，1790-1865，德国人）。他在研究一些非欧几何的问题的时候，就开始使用了一些对称操作的概念。和莫比乌斯相关的另外一个我们现在用的比较多的概念是莫比乌斯环，就是把一个纸条连成环的过程中翻一下，这样的一个环和正常的环比起来就不再有A、B面了。这个概念在拓扑上比较有用；2）数论，这个是在18世纪下半叶，欧拉在研究数论中的模算术的时候，用到过一些群论中尚处在雏形阶段的概念；3）第三个基础是代数方程理论。应该说是它直接导致了群论作为一门学科的诞生。更准确地说就是人们在求解一元高次方程根式解的时候，引入了置换群的概念，进而建立起了群论这个理论体系。现在，人们会认为由这三个方面研究所诱发出来的群论是近世代数（抽象代X
x 问题有更深入的认识。 就教学而言，物理上教《群论》的老师分两拨。一拨是做得比较理论的老师。 相应教材的特点是严格、抽象、深入。另一拨是做物质科学相关研究的，相应教 材比较直观、便于理解，但内容不包括《群论二》的部分。笔者的背景是后者， 此讲义只希望将《群论一》讲清楚。 至此，《群论》是什么样的一门课大家应该有些概念了。但在学之前，出于 好奇，可能我们还是想知道一下作为一门学科《群论》是如何发展起来的？它现 在处在一个什么样的位置？这个就把我引到了我在引言中想解释的第五句话：群 论的历史以及在物理和化学中的应用。 前面提到，群论是近世代数的一个重要的分支，它是在 19 世纪发展起来的。 在发展的初期，数学上的另外三个分支是基础。这三个分支分别是： 1) 几何学，从 19 世纪开始，有个德国数学家，叫 August Ferdinand Möbius （莫比乌斯，1790-1865，德国人）。他在研究一些非欧几何的问题的时候，就开 始使用了一些对称操作的概念。和莫比乌斯相关的另外一个我们现在用的比较多 的概念是莫比乌斯环，就是把一个纸条连成环的过程中翻一下，这样的一个环和 正常的环比起来就不再有 A、B 面了。这个概念在拓扑上比较有用； 2) 数论，这个是在 18 世纪下半叶，欧拉在研究数论中的模算术的时候，用 到过一些群论中尚处在雏形阶段的概念； 3) 第三个基础是代数方程理论。应该说是它直接导致了群论作为一门学科 的诞生。更准确地说就是人们在求解一元高次方程根式解的时候，引入了置换群 的概念，进而建立起了群论这个理论体系。 现在，人们会认为由这三个方面研究所诱发出来的群论是近世代数（抽象代