性质4设A,B为二事件，则 P(AUB)=P (A)+P (B)-P (AB) (13) 推论P(AUB)≤P(A)+P(B) 性质4还可以用数学归纳法推广到任意有限个事件的情形： Pa,Ua2U-Uam)-三P4)-点P44) +AP44A)+（-DP44A) (1-4) 特别地，设A,A2,A3,是三个事件，则有 P(A,UA2UA3)=P(A,)+P(A2)+P(A3)- P (A A2)-P (A A3)-P (A2A3)+P (A A2A3) V小结与提问： 本节课介绍了随机试验、随机事什、样本空间等概念，还介绍了概率的定义： 提问：由事件间的关系与运算，一个复合事件的表示方式是否一定是唯一的？ Ⅵ课外作业： P32.1,2
性质 4 设 A，B 为二事件，则 P（A B）= P（A）+ P（B）- P（AB） （1-3） 推论 P（A B） P（A）+ P（B） 性质 4 还可以用数学归纳法推广到任意有限个事件的情形： P（A 1 A2 . An）= ( ) i 1 i n P A = - ( ) j j 2 P Ai A n i = + ( ) j k k 3 P Ai A A n i j = +.+（-1） n−1 ( . ) P A1A2 An （1-4） 特别地，设 A 1，A 2 ，A 3 ，是三个事件，则有 P（A 1 A 2 A 3 ）= P（A 1 ）+ P（A 2 ）+ P（A 3 ）- P（A 1 A 2 ）- P（A 1 A 3 ）- P（A 2 A 3 ）+ P（A 1 A 2 A 3 ） Ⅴ 小结与提问： 本节课介绍了随机试验、随机事什、样本空间等概念，还介绍了概率的定义； 提问：由事件间的关系与运算，一个复合事件的表示方式是否一定是唯一的？ Ⅵ 课外作业： P32. 1,2
第二讲古典概率 I授课题目 §1.4古典概型 Ⅱ教学目的与要求 了解频率与概率的统计定义 2、 掌握古典概率的计算 3、 了解概率的公理化定义，掌握用概率的性质求概率的方法 Ⅲ教学重点与难点 重点：用有关性质、定理、公式计算概率 难点：概率的计算 V讲授内容： 在概率论的发展历史上，人们曾针对不同的问题，从不同的角度给出里定 义概率和计算概率的各种方法。，本节先介绍概率的古典定义、统计定义，最后将给 出概率的数学定义及其性质。 §1.4古典概型 在古代较早的时候，人们利用研究对象的物理或几何性质所具有的对称性确定 了计算概率的一种方法，称为概率的古典定义。为此，先介绍一个概念。 在有些随机试验中，每次试验可能发生的结果是有限的（样本空间中样本点的个数 有限)，由于某种对称性条件，使得每种试验结果发生的可能性是相等的（基本事件 发生的可能性相等)，则称这些事件是等可能的。 例如，在§1.1例4抛掷硬币试验中，样本空间Q=(0,0,}中有两个样 本点0（正面朝上）和O(反面朝上)，且O,和O,发生的可能性是相等的，因而 可以规定P(0)甲（0)=1/2。又如抽样检查产品时，一批产品中每一个产品 被抽到的可能性在客观上是相同的，因而抽到任一产品是等可能的。 在§1.1例9中，样本空间Q=1,2,.,10},Q中有10个样本点，且 基本事件发生的可能性都相等。因而可以规定P=(1})P({2})=P({10})=1/10。 一般情况下，我们给出古典概型及古典概率定义如下： (一)定义 定义1如果随机试验E满足下述条件： 1.试验结果的个数是有限的，即样本空间的元素（即基本事件）只有有限 个，设0={0’0，.0n 2每个基本事件{0，{0，小”，{0，}的出现（发生）是等可能的
第二讲 古典概率 Ⅰ 授课题目 §1.4 古典概型 Ⅱ 教学目的与要求 1、 了解频率与概率的统计定义 2、 掌握古典概率的计算 3、 了解概率的公理化定义，掌握用概率的性质求概率的方法 Ⅲ 教学重点与难点 重点：用有关性质、定理、公式计算概率 难点：概率的计算 Ⅳ 讲授内容： 在概率论的发展历史上，人们曾针对不同的问题，从不同的角度给出里定 义概率和计算概率的各种方法。，本节先介绍概率的古典定义、统计定义，最后将给 出概率的数学定义及其性质。 §1.4 古典概型 在古代较早的时候，人们利用研究对象的物理或几何性质所具有的对称性确定 了计算概率的一种方法，称为概率的古典定义。为此，先介绍一个概念。 在有些随机试验中 ，每次试验可能发生的结果是有限的（样本空间中样本点的个数 有限），由于某种对称性条件，使得每种试验结果发生的可能性是相等的（基本事件 发生的可能性相等），则称这些事件是等可能的。 例如，在§1.1 例 4 抛掷硬币试验中，样本空间Ω={ 0 1 , }中有两个样 本点 1 (正面朝上)和 （反面朝上），且 0 和 1 发生的可能性是相等的，因而 可以规定 P（ 0 ）=P（ 1 ）=1/2。又如抽样检查产品时，一批产品中每一个产品 被抽到的可能性在客观上是相同的，因而抽到任一产品是等可能的。 在§1.1 例 9 中，样本空间Ω={1，2，.，10}，Ω中有 10 个样本点，且 基本事件发生的可能性都相等。因而可以规定 P=（{1}）=P（{2}）=.=P（{10}）=1/10。 一般情况下，我们给出古典概型及古典概率定义如下： （一）定义 定义 1 如果随机试验 E 满足下述条件： 1.试验结果的个数是有限的，即样本空间的元素（即基本事件）只有有限 个，设Ω={ 0，1 ，.， n } 2.每个基本事件{ 0 }，{ 1 }，.，{ n }的出现（发生）是等可能的
则称这个问题为古典概型（或称这种数学模型为古典概型）。则任一随机事件A所包 含的基本事件数K与基本事件总数n的比值，叫做随机事件A的概率，记作P(A), P(A)=一事件A包含的基本事件数Q一一1D 基本事件总数 我们称由(1一一1)给出的概率为古典概率，概率的这种定义，称为概率 的古典定义。 对于古典概型应注意如下几点： (1)古典概型是学习概率统计的基础，因此它是非常重要的概率模型。 (2)判断是否古典概型的关键是等可能性，而有限性较容易看出。但等可 能性较难判定，一般在包含有个元素的样本空间中，如果没有理由认为某些基本事 件发生的可能性比另一些基本事件发生的可能性大时，我们就可以认为每个基本事件 出现的可能性相等，即都等于1/n。还有重要一点，是把事件A包含的基本事件数， 数准、数够。对于较简单情况，可以把试验E的所有基本事件全列出，这样就容易应 用公式(1一1)式求之。当n较大时，不可能全列出，这就要求读者具有分析想象能 力，还应熟悉关于排列与组合的基本知识，事件间的关系及运算亦要熟，才能去计算古 典概率. (③)计算古典概率时，首先要判断有限性和等可能性是否满足：其次要弄清 楚样本空间是怎样构成的.对于复杂问题只要求基本事件的总数，同时求出所讨论 事件A包含的基本事件数h,再利用公式(1一I)计算出P(A). 下面举一些如何应用公式(1一一1)计算概率的例子 例1从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有 1件次品的概率。 解设所论事件为A,基本事件的总数为C0 事件A包含的基本事件数为h=CCs 所以PW=C3C0.252 C5o 例2一百个产品中有三个废品，任取五个，求其废品数分别为0,1,2,3 的概率。 解基本事件总数FC0 设事件A(0,1,2,3)表示取出的五个产品中有1个废品，A所包含的 基本事件数k=CgC7(0=1,2,3)
则称这个问题为古典概型（或称这种数学模型为古典概型）。则任一随机事件 A 所包 含的基本事件数 K 与基本事件总数 n 的比值，叫做随机事件 A 的概率，记作 P（A）， 即 P（A）= （ — — ） 基本事件总数 事件 包含的基本事件数 1 1 A N K = 我们称由（1——1）给出的概率为古典概率，概率的这种定义，称为概率 的古典定义。 对于古典概型应注意如下几点： （1）古典概型是学习概率统计的基础，因此它是非常重要的概率模型。 （2）判断是否古典概型的关键是等可能性，而有限性较容易看出。但等可 能性较难判定，一般在包含有 n 个元素的样本空间中，如果没有理由认为某些基本事 件发生的可能性比另一些基本事件发生的可能性大时，我们就可以认为每个基本事件 出现的可能性相等，即都等于 1/n。还有重要一点，是把事件 A 包含的基本事件数， 数准、数够。对于较简单情况，可以把试验 E 的所有基本事件全列出，这样就容易应 用公式（1——1）式求之。当 n 较大时,不可能全列出,这就要求读者具有分析想象能 力,还应熟悉关于排列与组合的基本知识,事件间的关系及运算亦要熟,才能去计算古 典概率. (3)计算古典概率时,首先要判断有限性和等可能性是否满足:其次要弄清 楚样本空间是怎样构成的.对于复杂问题只要求基本事件的总数 n,同时求出所讨论 事件 A 包含的基本事件数 h,再利用公式(1——1)计算出 P(A). 下面举一些如何应用公式(1——1)计算概率的例子. 例 1 从一批由 45 件正品、5 件次品组成的产品中任取 3 件,求其中恰有 1 件次品的概率. 解 设所论事件为 A,基本事件的总数为 n= 3 C50 事件 A 包含的基本事件数为 h= 2 45 1 C5C 所以 P(A)= 0.252 3 50 2 45 1 5 C C C 例 2 一百个产品中有三个废品,任取五个,求其废品数分别为 0,1,2,3 的概率. 解 基本事件总数 n= 5 C100 设事件 Ai (i=0,1,2,3)表示取出的五个产品中有i 个废品, Ai 所包含的 基本事件数 ( 1,2,3) 5 1 = 3 97 = − C C i i i k
所以P(A)=C3/Ci=0.856 P(A)=C3Cg/Ci0=0.13806 P(A)=C3C,/Ci0=0.00588 P(A)=CCg,1Co=0.0000618 例3甲乙丙三人去住三间房子.求： (1)每间恰有一人的概率是多少？ (2)空一间的概率是多少？ 解相当顾客去选房间，每人豆油三间房可取，故基本事件总数（选法）有 n=33=27 (1)每房一人，甲有三间可选.甲选定后，乙只有二间可选.丙无选择余地， 故k=3*2*1=6,设A表示每房一人事件，所以有P(A)=k/=6/27=-2/9 (2)设空一间事件记为B. 方法一 空一间房，必有一间住了二人.若甲先选有三种可取，乙丙只能 合住余下两间之一，故k=3*2=6·也可乙先选或丙先选，于是 K=K,+K2+K3=6+6+6=C3*3*2=18,故P(B)=k/m=18/27=2/3. 方法二 三人中任二人结合，有C种结合法，分两组去选房 K=C*3*2=18,所以P(B)=k/=C*3*2/27=2/3 例4设有n个不同的球，每一球以等可能落入N(N≥)个盒子中的每 一个盒子里（设每个盒子能容纳的球数是没有限制的）设A-{指定的个盒子中各有一 球，B={任何n个盒子中恰有一球)，C{某指定的一个盒子中恰有m(血≤)个球} 求：P(A),PB),P(C). 解每一个球都可以放进这N个盒子中的任一个盒子，故有N种放法， 个球放进N个盒子就有N”种放法，所以基本事件总数为N”, (1)今固定n个盒，第一个球有n中放法，第二个球有n-1种放法，.第 n个球有1种放法，因此A包含的基本事件数为n!,所以P(A)=n!/W”. (2)因为任何n个盒可以从N个盒中任意选取，共有CN种选法，选出这 n个盒后，再按(1)知事件B包含的基本事件数为
所以 P ( ) / 0.856 5 100 5 A0 = C97 C = P ( ) / 0.13806 5 100 4 97 1 A1 = C3C C = P ( ) / 0.00588 5 100 3 97 2 A2 = C3C C = P ( ) / 0.0000618 5 100 2 97 3 A3 = C3C C = 例3 甲乙丙三人去住三间房子.求: (1) 每间恰有一人的概率是多少? (2) 空一间的概率是多少? 解 相当顾客去选房间,每人豆油三间房可取,故基本事件总数(选法)有 n= 3 27 3 = (1)每房一人,甲有三间可选.甲选定后,乙只有二间可选.丙无选择余地, 故 k=3*2*1=6,设 A 表示每房一人事件,所以有 P(A)=k/n=6/27=2/9 (2)设空一间事件记为 B. 方法一 空一间房,必有一间住了二人.若甲先选有三种可取,乙丙只能 合 住 余 下 两 间 之 一 , 故 3*2 6 1 k = = . 也 可 乙 先 选 或 丙 先 选 , 于 是 6 6 6 *3*2 18 1 K = K1 +K2 +K3 = + + = C3 = ,故 P(B)=k/n=18/27=2/3. 方法二 三人中任二人结合 , 有 2 C3 种结合法 , 分两组去选房 *3* 2 18 2 K = C3 = ,所以 P(B)=k/n= *3* 2 / 27 2 / 3 2 C3 = 例 4 设有 n 个不同的球,每一球以等可能落入 N(N≥n)个盒子中的每 一个盒子里(设每个盒子能容纳的球数是没有限制的)设A={指定的n 个盒子中各有一 球},B={任何 n 个盒子中恰有一球},C={某指定的一个盒子中恰有 m(m≤n)个球}. 求:P(A),P(B),P(C). 解 每一个球都可以放进这 N 个盒子中的任一个盒子,故有N 种放法,n 个球放进 N 个盒子就有 N n 种放法,所以基本事件总数为 N n . (1)今固定 n 个盒,第一个球有 n中放法,第二个球有n-1 种放法,.,第 n 个球有 1 种放法,因此 A 包含的基本事件数为 n!,所以 P(A)=n!/ N n . (2)因为任何 n 个盒可以从 N 个盒中任意选取,共有 n CN 种选法,选出这 n 个盒后 , 再 按 (1) 知 事 件 B 包 含 的 基 本 事 件 数 为