如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说AB是一个不可能事件，即 ABΦ，则称二事件A与B是互不相容的（或互斥的）。A,B互不相容等价于它们不 包含相同的试验结果。互不相容事件A与B没有公共的样本点，如图1.1(e)所示。 若用集合表示事件，则A,B互不相容即为A与B是不交的。 如果n个事件A1,A2,.,加中，任意两个事件不可能同时发生，即 AiAj=Φ(1≤i<js) 则称这n个事件A1,A2,An是互不相容的（或互斥的）。在任意一个随 机试验中基本事件都是互不相容的。还容易看出，事件A与B-A是互不相容的。 (六)对立事件 若A是一个事件，令A=Q-A,称A是A的对立事件或逆事件。容易知道， 在一次试验中，若A发生，则A必不发生（反之亦然），即A与A中必然有一个发生， 且仅有一个发生，即事件A与A满足条件 AA=D,AUA=Q。 A由所有不包含在A中的试验结果构成，图1.1(f)中阴影部分表示A。 比如例5中，A={2,4,6},B={1,3,5},则A=B,B=A,所以A,B互 为对立事件。必然事件与不可能事件也是互为对立事件。 若A,B二事件是互为对立事件。则A,B必互不相容，但反之不真。 由事件关系的定义看出，它与集合的关系是一致的，因此集合的运算性质 对事件的运算也都适用。 事件的运算法则： 1.交换律 AUB=BUA,AB=BA. 2.结合律 AUBUC=AU(BUC)=(AUB)UC ABC=(AB)C=A(BC) 3.分配律 A(BUC)=ABUAC AUBC=(AUB)(AUC) 4.对偶性 AUB=AB,AB=AUB 例10掷一颗骰子的试验，观察出现的点数：事件A表示“奇数点”：B 表示“点数小于5”：C表示“小于5的偶数点”。用集合的列举法表示下列事件：Q
如果事件 A 与事件 B 不能同时发生，也就是说 AB 是一个不可能事件，即 AB=Ф，则称二事件 A 与 B 是互不相容的（或互斥的）。A，B 互不相容等价于它们不 包含相同的试验结果。互不相容事件 A 与 B 没有公共的样本点，如图 1.1（e）所示。 若用集合表示事件，则 A，B 互不相容即为 A 与 B 是不交的。 如果 n 个事件 A1，A2，.，An 中，任意两个事件不可能同时发生，即 AiAj=Ф(1≤i＜j≤n) 则称这 n 个事件 A1，A2，.An 是互不相容的（或互斥的）。在任意一个随 机试验中基本事件都是互不相容的。还容易看出，事件 A 与 B-A 是互不相容的。 （六）对立事件 若 A 是一个事件，令 A =Ω-A，称 A 是 A 的对立事件或逆事件。容易知道， 在一次试验中，若 A 发生，则 A 必不发生（反之亦然），即 A 与 A 中必然有一个发生， 且仅有一个发生，即事件 A 与 A 满足条件 A A =Ф，A∪ A =Ω。 A 由所有不包含在 A 中的试验结果构成，图 1.1（f）中阴影部分表示 A 。 比如例 5 中，A={2，4，6}，B={1，3，5}，则 A =B，B =A，所以 A，B 互 为对立事件。必然事件与不可能事件也是互为对立事件。 若 A，B 二事件是互为对立事件。则 A，B 必互不相容，但反之不真。 由事件关系的定义看出，它与集合的关系是一致的，因此集合的运算性质 对事件的运算也都适用。 事件的运算法则： 1. 交换律 A∪B=B∪A，AB=BA。 2. 结合律 A∪B∪C=A∪(B∪C)=(A∪B) ∪C ABC=(AB)C=A(BC) 3. 分配律 A(B∪C)=AB∪AC A∪BC=(A∪B)(A∪C) 4. 对偶性 A B= A B , AB = A B 例 10 掷一颗骰子的试验，观察出现的点数：事件 A 表示“奇数点”；B 表示“点数小于 5”；C 表示“小于 5 的偶数点”。用集合的列举法表示下列事件：Ω
A,B,C,AUB,A-B,AB,AC,C-A,UB. 解9=1,2,3,4,5,6创 A={1,3,5} B={1,2,3,4 C={2,4} AUB={1,2,3,4,5} A-B={5} AB={1,3} AC=Φ B-A={2,4 AUB=1,2,3,4,6) 例11设A,B,C是三事件，用A,B,C的运算关系表示下列事件： (1)B,C都发生，而A不发生。ABC (2)A,B,C中至少有一个发生。AUBUC (3)A,B,C中恰有一个发生。ABCUABCUABC (4)A,B,C中恰有两个发生。ABCUABCU ABC (5)A,B,C中不多于一个发生。ABCU ABCUABCUABC (6)A,B,C中不多于二个发生。AUBUC 例12事件Ai表示某射手第i次(i1,2,3)击中目标试用文字叙述下 列事件： (1)A1U2表示前二次中至少有一次击中目标： (2)A1U2UA3表示三次射击中至少有一次击中目标： (3)43表示第三次射击未击中目标： (4)A2-A3=2A,表示第二次射击目标而第三次射击目标未击中目标： (⑤)A,UA=A,A表示后两次射击均击中目标： (6)AUA,=AA,表示前两次射击中至少有一次未击中目标。 §1.3频率与概率
A，B，C，A∪B，A-B，AB，AC，C-A， A B. 解 Ω={1，2，3，4，5，6} A={1，3，5} B={1，2，3，4} C={2，4} A∪B={1，2，3，4，5} A- B={5} AB={1，3} AC=Ф B- A={2，4} A B ={1，2，3，4，6} 例11 设 A，B，C 是三事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列事件： （1）B，C 都发生，而 A 不发生。 ABC （2）A，B，C 中至少有一个发生。A∪B∪C （3）A，B，C 中恰有一个发生。 ABC ABC ABC （4）A，B，C 中恰有两个发生。 ABC ABC ABC （5）A，B，C 中不多于一个发生。 ABC ABC ABC ABC （6）A，B，C 中不多于二个发生。 A B C 例 12 事件 Ai 表示某射手第 i 次（i=1,2,3）击中目标试用文字叙述下 列事件： （1）A1∪A2 表示前二次中至少有一次击中目标； （2）A1∪A2∪A3 表示三次射击中至少有一次击中目标； （3） A3 表示第三次射击未击中目标； （4）A2-A3=A2 A3 表示第二次射击目标而第三次射击目标未击中目标； (5） A2 A3 A2A3 = 表示后两次射击均击中目标； （6） A2 A1 A1A2 = 表示前两次射击中至少有一次未击中目标。 §1.3 频率与概率
在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n称为 事件A发生的频数.比值/n称为事件A发生的频率，并记为f.(A). 我们观察一个随机试验的各种事件，就其一次具体的试验而言，其结果带 有很大的偶然性，似乎没有规律可言。但是在大量的重复试验中，频率￡.()就可能 呈现一定的规律性。就会发现某些事件发生的可能性大些，另外一些事件发生的可能 性小些，而有些事件发生的可能性大些，而有些事件发生的可能性大致相同。比如一 个口袋中装有10个球，其中8个红球，2个白球。从中任意摸出一个球，则摸到红 球的可能性就比摸到白球的可能性大。假如这10个球中的红球和白球都是5个，则 默祷红球和摸到白球的可能性就大致相同。所以一个事件发生的可能性大小是它本身 所固有的，不依人们的主观意志而改变的一种客观的度量。很自然，人们希望用一个 数量来刻战划事件发生的可能性大小，而且事件发生可能性大的，这个数就大，事件发 生可能性小，这个数就小。 我们将刻划事件发生的可能性大小的数量指标称作该事件发生的概率，并 用P(A)表示事件A发生的概率。 随机事件的概率，概率的统计定义 (一)频率 概率的古典定义是以等可能性为基础的，但在很多实际问题中等可能性不一定成 立。为了在一般情况下仍可用数量来描述事件发生的可能性大小，我们引进频率的概 念。 定义2设事件A在n次试验中出现n,次，比值 fa(A)-DA n 叫做事件A在这n次试验中出现的频率 试考察下面的例子： 例14在同样条件下，多次抛一硬币，考察“正面朝上”的次数 投掷次数n 出现正面次数n 频率n,m 2048 1061 0.518 4040 2048 0.5068 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.5005 例15 一口袋中有6只乒乓球，其中4白，2红。每次试验任取一球，观察颜色 红作记录，放回袋中搅匀，再重复 取球次数n 出现白球次数n 频率nm 200 139 0.695
在相同的条件下,进行了 n 次试验,在这 n 次试验中,事件 A 发生的次数nA称为 事件 A 发生的频数.比值 nA/n 称为事件 A 发生的频率,并记为 fn(A). 我们观察一个随机试验的各种事件，就其一次具体的试验而言，其结果带 有很大的偶然性，似乎没有规律可言。但是在大量的重复试验中，频率 fn(A)就可能 呈现一定的规律性。就会发现某些事件发生的可能性大些，另外一些事件发生的可能 性小些，而有些事件发生的可能性大些，而有些事件发生的可能性大致相同。比如一 个口袋中装有 10 个球，其中 8 个红球，2 个白球。从中任意摸出一个球，则摸到红 球的可能性就比摸到白球的可能性大。假如这 10 个球中的红球和白球都是 5 个，则 默祷红球和摸到白球的可能性就大致相同。所以一个事件发生的可能性大小是它本身 所固有的，不依人们的主观意志而改变的一种客观的度量。很自然，人们希望用一个 数量来刻划事件发生的可能性大小，而且事件发生可能性大的，这个数就大，事件发 生可能性小，这个数就小。 我们将刻划事件发生的可能性大小的数量指标称作该事件发生的概率，并 用 P（A）表示事件 A 发生的概率。 二 随机事件的概率，概率的统计定义 （一） 频率 概率的古典定义是以等可能性为基础的，但在很多实际问题中等可能性不一定成 立。为了在一般情况下仍可用数量来描述事件发生的可能性大小，我们引进频率的概 念。 定义 2 设事件 A 在 n 次试验中出现 n A 次，比值 f n (A)= n n A 叫做事件 A 在这 n 次试验中出现的频率。 试考察下面的例子： 例 14 在同样条件下，多次抛一硬币，考察“正面朝上”的次数。 例 15 一口袋中有 6 只乒乓球，其中 4 白，2 红。每次试验任取一球，观察颜色 红作记录，放回袋中搅匀，再重复. 取球次数 n 出现白球次数 n A 频率 n A /n 200 139 0.695 投掷次数 n 出现正面次数 n A 频率 n A /n 2048 1061 0.518 4040 2048 0.5068 12000 6019 0. 5016 24000 12012 0.5005
400 201 0.653 600 401 0.668 对例14例15进行分析： 例14中，频率在0.5附近摆动，当n增大时，逐渐稳定于1/2：例15中，频 率在0.66附近摆动，当n增大时，逐渐稳定于2/3. 经验表明，虽然在n次试验中，事件A出现的次数n,不确定，因而事件A的 频率，m也不确定，但是当试验重复多次时，事件A出现的频率具有一定的稳定性， 这就是说，当试验次数充分多时，事件A出现的频率常在一个确定的数字附近摆动： 这种频率的稳定性，说明随机事件发生的可能性大小是事件本身固有的。不依人们意 志而改变的一种客观属性，那么用这个数字（常数）来刻划事件A发生的可能性大 或小，这是比较恰当，这是我们下面将给出概率统计定义的客观基础。 易知频率具有下列性质： 性质一 0≤fn(A)≤1 性质二 fn(Q)=1 性质三 若A,B不相容，则 fn(AUB)=fn(A)+fn(B) (二)概率的统计定义 定义3在不变的一组条件下，重复作n次试验，事件A发生的频率n,h稳定 地在某一常数P附近摆动，且一般说来，越大，摆动幅度越小，则称常数P为事件 A发生的概率，记作P(A)。 数值P即(P(A)就是在一次试验中对事件A发生的可能性大小的数量描述。 例如，在例14中用0.5来描述掷一枚匀称硬币“正面朝上”出现的可能性，在例15 中用23来描述摸出的一个乒乓球是白球出现的可能性。 注意两点： (1) 事件的频率与概率有本质区别，频率有随机波动性是变数，而概率是 个常数 (2) 概率的统计定义只是一种描述，它指出了事件的概率是客观存在的。 但并不能用这个定义计算P(A)。实际上，随着试验次数的增加， 频率向概率靠近，因此当试验的次数很大时，频率可以作为概率 的近似值。 (三)性质 由频率的性质，可得概率的性质 性质1对任一事件A,有0≤P(A)≤1 性质2设2为必然事件，则P(2)=1 性质3设A1,A2,An互不相容，则
400 201 0.653 600 401 0.668 对例 14 例 15 进行分析： 例 14 中，频率在 0.5 附近摆动，当 n 增大时，逐渐稳定于 1/2；例 15 中，频 率在 0.66 附近摆动，当 n 增大时，逐渐稳定于 2/3。 经验表明，虽然在 n 次试验中，事件 A 出现的次数 n A 不确定，因而事件 A 的 频率 n A /n 也不确定，但是当试验重复多次时，事件 A 出现的频率具有一定的稳定性。 这就是说，当试验次数充分多时，事件 A 出现的频率常在一个确定的数字附近摆动。 这种频率的稳定性，说明随机事件发生的可能性大小是事件本身固有的。不依人们意 志而改变的一种客观属性，那么用这个数字（常数）来刻划事件 A 发生的可能性大 或小，这是比较恰当，这是我们下面将给出概率统计定义的客观基础。 易知频率具有下列性质： 性质一 0 f n (A) 1 性质二 f n ( )=1 性质三 若 A，B 不相容，则 f n (A B )= f n (A)+ f n (B) （二） 概率的统计定义 定义 3 在不变的一组条件下，重复作 n 次试验，事件 A 发生的频率 n A /n 稳定 地在某一常数 P 附近摆动，且一般说来，n 越大，摆动幅度越小，则称常数 P 为事件 A 发生的概率，记作 P（A）。 数值 P 即（P（A））就是在一次试验中对事件 A 发生的可能性大小的数量描述。 例如，在例 14 中用 0.5 来描述掷一枚匀称硬币“正面朝上”出现的可能性，在例 15 中用 2/3 来描述摸出的一个乒乓球是白球出现的可能性。 注意两点： （1） 事件的频率与概率有本质区别，频率有随机波动性是变数，而概率是 个常数。 （2） 概率的统计定义只是一种描述，它指出了事件的概率是客观存在的。 但并不能用这个定义计算 P（A）。实际上，随着试验次数的增加， 频率向概率靠近，因此当试验的次数 n 很大时，频率可以作为概率 的近似值。 （三）性质 由频率的性质，可得概率的性质 性质 1 对任一事件 A，有 0 P（A） 1 性质 2 设 为必然事件，则 P（ ）=1 性质 3 设 A 1，A2 ，.，An 互不相容，则
P(UA)=ΣP(A) 三概率的数学定义及其性质 前面讲了怎样针对不同的问题，分别用概率的古典定义，概率的统计定义来 计算概率的方法。在当时解决了不少问题，但它们在理论上有缺陷，应用上有 局限性。如古典概率型要求基本事件是等可能的，但在实际问题中往往不知道 是否满足。而统计概率要求试验次数充分大，但究竞次数应该大到什么程度没 有明确规定，因此都不能作为数学定义。但我们看到它们从各自的定义出发都 是共同的属性（性质1,2,3），这些从客观事实总结出来的共同属性，可以作 为建立概率的数学理论的基础。 (C)定义 定义4设E是随机试验，Q是样本空间，若对于E的每一随机事件A,有确 定的实数P(A)与之对应，如果它满足下列条件： 1° 对于每一事件A,有0≤P(A)≤1 2°p(Q)=1 3对于两两互不相容的可列无穷多个事件A,A2,A,有 P(U4)=∑P(4) 称为概率的有限可加性。 p(0A)-2P4 称为概率的可列可加性。 则实数P(A)称为事件A的概率。 对以前将过的古典定义，统计定义都满足这定义中的要求，因此它们都是 这个一般定义范围内的特殊情形。 (二)性质 性质1设A是A的对立事件，则 P(A)=1-P(A) (1-2) 注意若P(A)不易算但可计算P(A),故P(A)=1-P(A) 性质2P(中)0 性质3设A,B为二事件，若ACB,则 P (B-A)=P (B)-P (A) 推论若AcB,则P(A)≤P(B)
P（ Ai i=1 ）= ( ) i 1 P Ai = 三 概率的数学定义及其性质 前面讲了怎样针对不同的问题 ，分别用概率的古典定义，概率的统计定义来 计算概率的方法。在当时解决了不少问题，但它们在理论上有缺陷，应用上有 局限性。如古典概率型要求基本事件是等可能的，但在实际问题中往往不知道 是否满足。而统计概率要求试验次数充分大，但究竟次数应该大到什么程度没 有明确规定，因此都不能作为数学定义。但我们看到它们从各自的定义出发都 是共同的属性（性质 1，2，3），这些从客观事实总结出来的共同属性，可以作 为建立概率的数学理论的基础。 （C）定义 定义 4 设 E 是随机试验， 是样本空间，若对于 E 的每一随机事件 A，有确 定的实数 P（A）与之对应，如果它满足下列条件： 1 对于每一事件 A，有 0 P（A） 1 2 P（ ）=1 3 对于两两互不相容的可列无穷多个事件 A 1，A2 ，.，An，有 P（ Ai n i=1 ）= ( ) i 1 i n P A = 称为概率的有限可加性。 P（ Ai i=1 ）= ( ) i 1 P Ai = 称为概率的可列可加性。 则实数 P（A）称为事件 A 的概率。 对以前将过的古典定义，统计定义都满足这定义中的要求，因此它们都是 这个一般定义范围内的特殊情形。 （二） 性质 性质 1 设 - A 是 A 的对立事件，则 P（A）=1-P（ - A ） （1-2） 注意 若 P（A）不易算但可计算 P（ - A ），故 P（A）=1- P（ - A ） 性质 2 P（ ）=0 性质 3 设 A，B 为二事件，若 A B，则 P（B-A）= P（B）- P（A） 推论 若 A B，则 P（A） P（B）