第33卷第4期 系统工程理论与实践 Vol.33,No.4 2013年4月 Systems Engineering-Theory Practice Apr,2013 文章编号：1000-6788(2013)04-0817-12 中图分类号：F830.91 文献标志码：A 随机波动率LIBOR模型及其结构性存款定价：理论估计与蒙特卡 罗模拟 马俊海1，张强2 (1.浙江大学城市学院，杭州310012；2.中国邮政储蓄银行浙江省分行，杭州310003) 摘要LBOR市场利率已经在金融资产定价和风险度量中发挥着越来越重要的作用，而以其为 标的利率的外汇结构性存款也得到了广泛应用.因此，对LIBOR利率动态过程及其结构性存款定 价进行有效理论估计和模拟计算则显得尤为重要.本文首先在标准市场模型中加入Heston随机波 动率过程，建立随机波动率过程驱动的新型LIBOR市场模型；其次，运用Black逆推参数校正方 法和MCMC参数估计方法对该LIBOR利率市场模型中的局部波动率和随机波动率过程中的参 数进行校正和估计；再次，基于最优基本函数改进的LSM方法对可赎回外汇结构性存款定价进行 模拟计算；最后是实证分析.研究结论认为：在单因子LBOR利率市场模型基础上引入随机波动 率过程，则可大大地提高利率模型的解释力；基于最优基本函数改进的LSM定价方法所得结果更 接近于实际利率下所求理论价值 关键词LIBOR市场模型；随机波动率；模型参数校正；MCMC参数估计；结构性存款 Stochastic volatility LIBOR market model and its structured deposits pricing:Theoretic estimation and Monte Carlo simulation MA Jun-hail,ZHANG Qiang? (1.City College,Zhejiang University,Hangzhou 310012,China;2.Zhejiang Branch,Postal Savings Bank of China, Hangzhou 310003,China) Abstract LIBOR market model has played more and more important role in pricing financial assets and managing risk.FX structured deposits driven by LIBOR interest rate also have get more and more application.Therefore,it is very necessary to make theoretic estimation and Monte Carlo simulation for LIBOR interest rate process and its FX structured deposits pricing.In this paper,firstly,on the basic of many existing improved methods for LIBOR market models,combining Heston stochastic volatility into standard market models,we set up a new LIBOR market model.Secondly,by using of Black inverse parameters calibrating methods and Markov chain Monte Carlo simulation,we calibrate and estimate parameters of the new LIBOR market models.Thirdly,we use the improvement LSM to price this FX structured product.Lastly,we make an empirical analysis.The research conclusions are:1)LIBOR market model with the stochastic volatility process can describe the LIBOR rate very well and display a finer accuracy.2)The improvement LSM can get the much more precise result. Keywords LIBOR market models;stochastic volatility;parameter calibration;Markov chain Monte Carlo simulation;FX structured deposits 1引言 LBOR利率作为国际金融市场的一种重要基准利率，已经在金融资产定价和风险度量中发挥着越来越 重要的作用；而以LIBOR利率为标的变量的外汇结构性存款在外汇资产保值增值、银行发展创新中间业务 等方面具有重要的作用，近年来在我国发展速度非常迅猛.因此，对LIBOR利率所服从的随机过程选择的准 收稿日期：2010-12-13 资助项目：国家自然科学基金(71271190)；教育部人文社会科学基金(11YJA790103) 作者简介：马俊海(1964-，男，教授，博士，研究方向：金融工程：张强(1985)，男，硕士，研究方向：金融工程 万方数据
第33卷第4期 2013年4月 系统工程理论与实践 Systems Engineering—Theory&Practice V01．33．NO．4 Apr．．2013 文章编号：1000—6788(2013)04—0817—12 中图分类号：F830．91 文献标志码：A 随机波动率LIBOR模型及其结构性存款定价：理论估计与蒙特卡 罗模拟 马俊海，，张强z (1．浙江大学城市学院，杭州310012；2．中国邮政储蓄银行浙江省分行，杭州310003) 摘要LIBOR市场利率已经在金融资产定价和风险度量中发挥着越来越重要的作用，而以其为 标的利率的外汇结构性存款也得到了广泛应用．因此，对LIBOR利率动态过程及其结构性存款定 价进行有效理论估计和模拟计算则显得尤为重要．本文首先在标准市场模型中加入Heston随机波 动率过程，建立随机波动率过程驱动的新型LIBOR市场模型；其次，运用Black逆推参数校正方 法和MCMC参数估计方法对该LIBOR利率市场模型中的局部波动率和随机波动率过程中的参 数进行校正和估计；再次，基于最优基本函数改进的LSM方法对可赎回外汇结构性存款定价进行 模拟计算；最后是实证分析．研究结论认为：在单因子LIBOR利率市场模型基础上引入随机波动 率过程，则可大大地提高利率模型的解释力；基于最优基本函数改进的LSM定价方法所得结果更 接近于实际利率下所求理论价值． 关键词LIBOR市场模型；随机波动率；模型参数校正；MCMC参数估计；结构性存款 Stochastic volatility LIB OR market model and its structured deposits pricing：Theoretic estimation and Monte Carlo simulation MA Jun—hail，ZHANG Qian92 (1．city College，Zhejiang University，Hangzhou 310012，China；2．Zhejiang Branch，Postal Savings Bank of China， Hangzhou 310003，China) Abstract LIBOR market model has played more and more important role in pricing financial assets and managing risk．FX structured deposits driven by LIBOR interest rate also have get more and more application．Therefore，it is very necessary to make theoretic estimation and Monte Carlo simulation for LIBOR interest rate process and its FX structured deposits pricing．In this paper，firstly，on the basic of many existing improved methods for LIBOR market models，combining Heston stochastic volatility into standard market models，we set up a new LIBOR market model．Secondly，by using of Black inverse parameters calibrating methods and Markov chain Monte Carlo simulation，we calibrate and estimate parameters of the new LIBOR market models．Thirdly，we use the improvement LSM to price this FX structured product．Lastly，we make an empirical analysis．The research conclusions are：1)LIBOR market model with the stochastic volatility process can describe the LIBOR rate very well and display a finer accuracy．2)The improvement LSM can get the much more precise result． Keywords LIBOR market models；stochastic volatility；parameter calibration；Markov chain Monte Carlo simulation；FX structured deposits 1引言 LIBOR利率作为国际金融市场的一种重要基准利率，已经在金融资产定价和风险度量中发挥着越来越 重要的作用；而以LIBOR利率为标的变量的外汇结构性存款在外汇资产保值增值、银行发展创新中间业务 等方面具有重要的作用，近年来在我国发展速度非常迅猛．因此，对LIBOR利率所服从的随机过程选择的准 收稿日期：2010—12—13 资助项目：国家自然科学基金(71271190)；教育部入文社会科学基金(1lYJA790103) 作者简介：马俊海(1964)，男，教授，博士，研究方向：金融工程；张强(1985)，男，硕士，研究方向：金融工程 万方数据
818 系统工程理论与实践 第33卷 确与否，也就成为对诸多利率衍生证券准确定价的前提条件和关键因素，而研究外汇结构性存款的内在价值 构成、定价技术对于我国商业银行在结构性产品的开发和风险管理等方面也具有重要的理论与实际意义 关于LIBOR市场模型及其参数估计研究Brace等)]在HJM模型基础上推导出市场上可观察到的 LIBOR利率所服从的随机过程，并且证明该随机过程满足无套利性质和均值恢复性质；但模型假设隐含波 动率为常数，而市场的实际情况是可能呈现波动率微笑或是波动率偏斜，从而使得对数利率分布服从一个尖 蜂厚尾或是左肥尾的情况，所以有必要对该模型进行改进.目前为止，对该模型改进主要包括三个方面：固定 函数形式的波动率、在标准模型的基础上加上跳跃以及在扩散项部分加入随机波动率变量.Andersen等2 采用固定弹性模型(CEV)来扩展对数正态过程，在此基础上产生了单调的递增或是递减的波动率曲线，利用 X2函数来表达其解析解.Andersen等3)利用测度变换公式，推导出了现在文献中普遍用到的标准LIBOR 市场模型.Piternbag4以互换期权为研究对象，提出在随机波动率部分与标准的FL-SV模型保持一致，但是 通过改变局部波动率函数使得波动率曲线的偏斜随着不同的远期利率而变动，从而得到FV-TSS模型.Hu1 分别利用零息债券利率和互换利率对一因子、二因子、三因子Vacicek模型和一因子、二因子CR模型进行 参数估计，通过与传统的估计方法比较，MCMC具有很大优势.Wu和Zhang6)提出了在远期利率和随机波 动率负相关情况下，在CEV LIBOR市场模型基础上将多因子随机波动率加入到所有相关远期利率的波动 率函数中，并利用F℉T来求解.Zhu冈利用跳跃来代替扩散项或是CEV,在随机波动率的基础上来解释非 对称波动率微笑，同时利用Levy逆算公式来进行近似计算.Belomestny等8)在多维随机波动率过程下，利 用FFT方法，推导出利率互换期权元和互换期权的近似解析定价公式，以实现参数校正.Nawalkha9例认为 在选择合适参数的情况下，DD模型和CEV模型几乎完全对应，并且，基于计算的简单性，一般采用DD扩 展模型.但是这两种改进方法局限性在于模型只产生的波动率曲线为单调性质的而不能产生波动率微笑的特 征，并且DD模型可能会出现负利率情形. 基于LIBOR利率的外汇性结构化存款定价研究，近些年来国内外学者开展了一些有益研究工作，取得 了一定的成果.Wilkens等1o选取2001年9月在交易所交易的反向可转债和折扣凭证进行研究，并利用产 品报价与利用Eurex上市并且符合条件的美式期权定价进行复制定价得到的理论结果进行比较.Stoimenov,. Wilkens[1！刂研究了在一级市场和二级市场带有隐含奇异期权如彩虹期权和障碍期权的结构性存款，认为发 行银行在一级市场上向投资者收取大额隐含的费用，结构越复杂所收取的费用会更高.Subandh2从投资 者的角度出发认为在不同组合策略下，提出结构性存款的最终收益与其他投资工具相比并没有绝对的优势 QuiL3)通过对发行方、学者方和独立第三方的参数确定和定价模型分析比较，认为银行在滥用投资者对其 的信任而对其发售一些相对风险损失概率较大的结构性产品.在我国，由于该类产品构成了许多商业银行资 产负债的主体，更是引起了广泛关注.郑振龙等14利用BDT方法对具有可提前赎回或是回售特征的固定 收益外汇结构性存款进行定价研究.张睿)在上述文章基础之上，利用蒙特卡罗模拟方法，以求每条路径盈 亏函数最大值的方法对具有可提前赎回或是回售特征的浮动收益外汇结构性存款进行定价分析.，曾昱璟1) 利用市场报价对标准LBOR市场模型进行参数校正之后，利用最小二乘蒙特卡罗方法对中国大陆地区发行 的利率联动和股权联动的结构性产品进行定价分析. 从上可看出，国外对于结构性存款产品定价研究思路的发展已经向以效用为基础最优结构性产品进行设 计构造的方面发展；但在国内，对结构性存款的研究重点则放在对普遍发行的具有提前执行特征和奇异LI BOR期权的结构性存款进行定价分析，这些研究体现出两方面的局限：一是在对于标的LBOR利率采用的 模型是标准LBOR市场模型，该模型可能在与实际的LBOR利率走势有一定的偏差.二是上文对于具有 提前赎回或是回售的结构性产品使用最小二乘蒙特卡罗方法，但是对于该方法使用过程中解释变量、基本函 数数量类型以及该方法的准确性问题都没有一个完整研究分析.本文基于以上分析，首先分析确定了本文所 选用的在标准市场模型的基础上加入随机波动率过程试图以拟合LIBOR衍生产品市场上出现的波动率微 笑和波动率偏斜特征.其次，分析了Black逆推参数校正方法和MCMC参数估计方法在该LIBOR利率模 型参数确定过程中的运用.再次，基于金融工程分解组合技术，运用改进的最小二乘蒙特卡罗方法和马尔科 夫链蒙特卡罗模拟技术对同时具有可赎回、可回售特征的外汇结构性存款定价问题进行研究探讨，建立外汇 结构性存款的蒙特卡罗模拟定价模型. 万方数据
818 系统工程理论与实践 第33卷 确与否，也就成为对诸多利率衍生证券准确定价的前提条件和关键因素，而研究外汇结构性存款的内在价值 构成、定价技术对于我国商业银行在结构性产品的开发和风险管理等方面也具有重要的理论与实际意义． 关于LIBOR市场模型及其参数估计研究Brace等【11在HJM模型基础上推导出市场上可观察到的 LIBOR利率所服从的随机过程，并且证明该随机过程满足无套利性质和均值恢复性质；但模型假设隐含波 动率为常数，而市场的实际情况是可能呈现波动率微笑或是波动率偏斜，从而使得对数利率分布服从一个尖 峰厚尾或是左肥尾的情况，所以有必要对该模型进行改进．目前为止，对该模型改进主要包括三个方面：固定 函数形式的波动率、在标准模型的基础上加上跳跃以及在扩散项部分加入随机波动率变量．Andersen等[2] 采用固定弹性模型(CEV)来扩展对数正态过程，在此基础上产生了单调的递增或是递减的波动率曲线，利用 )(2函数来表达其解析解．Andersen等[3]利用测度变换公式，推导出了现在文献中普遍用到的标准LIBOR 市场模型．Piternbag[4]以互换期权为研究对象，提出在随机波动率部分与标准的FL—SV模型保持一致，但是 通过改变局部波动率函数使得波动率曲线的偏斜随着不同的远期利率而变动，从而得到FV—TSS模型．Hu[5】 分别利用零息债券利率和互换利率对一因子、二因子、三因子Vacicek模型和一因子、二因子CIR模型进行 参数估计，通过与传统的估计方法比较，MCMC具有很大优势．Wu和Zhang[6】提出了在远期利率和随机波 动率负相关情况下，在CEV LIBOR市场模型基础上将多因子随机波动率加入到所有相关远期利率的波动 率函数中，并利用FFT来求解．Zhu[7]利用跳跃来代替扩散项或是CEV，在随机波动率的基础上来解释非 对称波动率微笑，同时利用Levy逆算公式来进行近似计算．Belomestny等[8]在多维随机波动率过程下，利 用FFT方法，推导出利率互换期权元和互换期权的近似解析定价公式，以实现参数校正．Nawalkha[9】认为 在选择合适参数的情况下，DD模型和CEV模型几乎完全对应，并且，基于计算的简单性，一般采用DD扩 展模型．但是这两种改进方法局限性在于模型只产生的波动率曲线为单调性质的而不能产生波动率微笑的特 征，并且DD模型可能会出现负利率情形． 基于LIBOR利率的外汇性结构化存款定价研究，近些年来国内外学者开展了一些有益研究工作，取得 了一定的成果．Wilkens等【10】选取2001年9月在交易所交易的反向可转债和折扣凭证进行研究，并利用产 品报价与利用Eurex上市并且符合条件的美式期权定价进行复制定价得到的理论结果进行比较．Stoimenov， Wilkens[11]研究了在一级市场和二级市场带有隐含奇异期权如彩虹期权和障碍期权的结构性存款，认为发 行银行在一级市场上向投资者收取大额隐含的费用，结构越复杂所收取的费用会更高．Subandh[12]从投资 者的角度出发认为在不同组合策略下，提出结构性存款的最终收益与其他投资工具相比并没有绝对的优势． Quin[13】通过对发行方、学者方和独立第三方的参数确定和定价模型分析比较，认为银行在滥用投资者对其 的信任而对其发售一些相对风险损失概率较大的结构性产品．在我国，由于该类产品构成了许多商业银行资 产负债的主体，更是引起了广泛关注．郑振龙等[141利用BDT方法对具有可提前赎回或是回售特征的固定 收益外汇结构性存款进行定价研究．张睿【15I在上述文章基础之上，利用蒙特卡罗模拟方法，以求每条路径盈 亏函数最大值的方法对具有可提前赎回或是回售特征的浮动收益外汇结构性存款进行定价分析．曾昱绿【16] 利用市场报价对标准LIBOR市场模型进行参数校正之后，利用最小二乘蒙特卡罗方法对中国大陆地区发行 的利率联动和股权联动的结构性产品进行定价分析． 从上可看出，国外对于结构性存款产品定价研究思路的发展已经向以效用为基础最优结构性产品进行设 计构造的方面发展；但在国内，对结构性存款的研究重点则放在对普遍发行的具有提前执行特征和奇异LIBOR期权的结构性存款进行定价分析，这些研究体现出两方面的局限：一是在对于标的LIBOR利率采用的 模型是标准LIBOR市场模型，该模型可能在与实际的LIBOR利率走势有一定的偏差．二是上文对于具有 提前赎回或是回售的结构性产品使用最小二乘蒙特卡罗方法，但是对于该方法使用过程中解释变量、基本函 数数量类型以及该方法的准确性问题都没有一个完整研究分析．本文基于以上分析，首先分析确定了本文所 选用的在标准市场模型的基础上加入随机波动率过程试图以拟合LIBOR衍生产品市场上出现的波动率微 笑和波动率偏斜特征．其次，分析了Black逆推参数校正方法和MCMC参数估计方法在该LIBOR利率模 型参数确定过程中的运用．再次，基于金融工程分解组合技术，运用改进的最小二乘蒙特卡罗方法和马尔科 夫链蒙特卡罗模拟技术对同时具有可赎回、可回售特征的外汇结构性存款定价问题进行研究探讨，建立外汇 结构性存款的蒙特卡罗模拟定价模型． 万方数据
第4期 马俊海，等：随机波动率LIBOR模型及其结构性存款定价：理论估计与蒙特卡罗模拟 819 2LBOR市场利率的模型选择和波动率参数校正 2.1随机波动率IBOR市场利率模型选择 本文基本思想是在标准模型基础上加入随机波动率，同时假设随机波动率与LBOR利率相关，因此随 机波动率动态过程选择尤为关键.Hestor随机波动率模型最为常用，但该模型在产品期限比较长的情况下无 法体现波动率微笑特征；SABR模型对该特征进行了改进，但也存在缺陷，比如无法体现均值回复特征，无法 使波动率在一定时期内保持平稳.本文所研究的国内发行外汇结构性存款期限普遍较短，波动率徽笑特征不 很明显，因此仍然采用Heston模型来表示随机波动率过程.基于以上分析，本文所选用的随机微分方程为即 期测度下的基于随机波动率过程的标准LBOR市场模型.即： aR用=Ve,l0r×∑，05©业+Vma,eR0a2Z,k<it≤T k+11+E0 (1) dv(t)=K(v-V(t))d(t)+TVV(t)dw dz (t)dw pdt 其中，F()表示为未来时刻T:-1到T:之间的远期利率，V(t)为随机波动率矩阵，本文所需要估计的参数为 远期利率瞬间相关系数和局部波动率矩阵p、σ以及由于加入随机波动率过程所产生的各参数K,y,T和两 个随机过程相关系数p 2.2局部波动率参数校正 对于局部波动率的校正，主要思路是利用市场上提供的Cap隐含波动率报价，求出其组成部分Caplet 市场波动率，再利用Caplet定价公式逆推局部波动率参数，主要步骤包括： 1)确定远期利率波动率结构 远期利率波动率期限结构在LBOR市场模型假设参数化形态和分段固定形态1).参数化形态是指瞬 间波动率服从一个关于时间t的函数，主要使用以下函数来拟合的瞬间远期波动率期限结构： oi(t)=kiv(Ti-1-t;a,b,c,d)=mif[a(Ti-1-t)+dle-(T-1-t)+ch (2) 这种假设是以一个以远期利率距各自到期日T:-1一t的时间函数，其波动率期限结构呈现驼峰形状和市 场波动率现象一致，并且瞬间波动率的极限值会收敛到有限数值d.分段固定形态是指将瞬间波动率的参数 在一段固定的区间内假设为固定值，从而避免了上述参数化形态假设下，由于每个时间点都有相应的波动率 而导致模型所需要确定的参数过多的问题，这对于简化LBOR利率的模拟过程以及衍生产品的定价都是非 常重要的.同时，Glasserman提出，当假设波动率只取决于T:一Tag-1时，其结构是平稳的.本文在此采取 以下公式： 0i(t)=0,8U)=7-Be)-1,t∈LT8e)-1,T 2)远期利率波动率与Caplet波动率之间的关系 在标准LIBOR市场模型基础之上，利用BS定价模型，可推出下面Caplet定价公式（③）.其中，候，a: 是以T:-1为收益确定日，T:为支付日的Caplet年度波动率，其数值上等于在T-1-t区间内远期利率波 动率的平均值.通过上述式子，只要知道各期Caplet的市场波动率报价，运用bootstraping方法即可得到 LIBOR市场模型中以t为远期利率初始时刻的整个波动率期限结构呢)-1，…，房1，i∈[1，M- CpEM(t,T,-,T,K)=Pt,T)rE(t)o(d1(K,F(t),贴）-K(d2(K,F(t,w)月 d(K,F(t),v)= (婴+到，K,R.)=(2)-呈 (3) 2=(T-1-t)呢i1-copiet 1 vf-1-caplet=Ti-1-te 1 a(oPds=万-1-gu-1A+…+呢，A） 3)Cap市场报价原则 虽然校正远期利率瞬间波动率是利用其和Caplet之间的关系式，然而市场上所提供的报价只有Cap波 动率.在此利用Cap的波动率报价来推导出Caplet的波动率报价.首先需要理解Cap市场报价规则，Cap 的报价以公式(3)Black形式的Cap价格隐含波动率表示，并且全部采用平值报价1： K=KATM So.a(0)=P(O,Ta)-P(0,Tg) (4) ∑ga+1P0,T)A 万方数据
第4期 马俊海，等：随机波动率LIBOR模型及其结构性存款定价：理论估计与蒙特卡罗模拟81 9 2 L1BOR市场利率的模型选择和波动率参数校正 本文基本思想是在标准模型基础上加入随机波动率，同时假设随机波动率与LIBOR利率相关，因此随 机波动率动态过程选择尤为关键．Heston随机波动率模型最为常用，但该模型在产品期限比较长的情况下无 法体现波动率微笑特征；SABR模型对该特征进行了改进，但也存在缺陷，比如无法体现均值回复特征，无法 f dR(t)=y(￡)吼(￡)只(￡)×∑—p；丁,j干j盯ij≯(t)万Fj(t)出+厕叼(t)R(t)d露(￡)，后<i，t s T { ，…。。、．卢2黑，～r州 (1) l dV(t)=K(∥一y(t))d(￡)+7-∥两du 卜’ 【az?(t)dw=pdt 而导致模型所需要确定的参数过多的问题，这对于简化LIBOR利率的模拟过程以及衍生产品的定价都是非 盯t(￡)=O"i，卢(t)=叼i一卢(t)一l，t∈【巧(t)一1，正J． LIBOR市场模型中以t为远期利率初始时刻的整个波动率期限结构叼；…一1)．．．，叩刍一，，i∈【1，M一1】． CplLEM(￡，正一1，正，K)=P(t，Ti)Ti[Fi(t)≯(dl(K，只(￡)，忱))一K咖(d2(K，R(￡)，仇))】 d：cK，R ct，，ui，i掣，dz cK，只ct，，ut，=半 。3， u；=(乃一，一t)u巍一。一p2e。 ～ ％2一州扩再1／m1№汗ds-击(‰_l△+．．嘲象_1△) 3)Cap市场报价原则 虽然校正远期利率瞬间波动率是利用其和Caplet之间的关系式，然而市场上所提供的报价只有Cap波 动率．在此利用Cap的波动率报价来推导出Caplet的波动率报价．首先需要理解Cap市场报价规则，Cap 的报价以公式(3)Black形式的Cap价格隐含波动率表示，并且全部采用平值报价【17]： 肚玩TM=Sa,13㈤=篷斋裂 ㈥ 万方数据
820 系统工程理论与实践 第33卷 其中，KArM为平值时的Cap执行价值，Sa,g(O)为相应互换利率.a为初始时刻，B为到期日，由于Cap价 值为Caplet价值之和，根据公式(3)可以得到Cap的市场价格为： Cap(t)= >P(t,T:)BI(K,F(0),VTivT)=> Pt,TBK,0,V=i吹-1aa） (5) =1 2=1 4)Caplet波动率和Cap波动率之间的关系 虽然每个到期日Cap包含了数个Caplet,但在报价时每个Cap中所有的Caplet都共享同一个波动率 报价，即？.-cap,因此不同到期日的Cap有不同平均波动率.但从Caplet定价公式讲是不合理的，因为对不 同到期日Cap中所含相同利率参考日、交割日以及执行价值的Caplet,应该有不同Caplet波动率.所以公 式(5)Caplet市场价格可表示为以下公式： Cap(t)=>P(t,T)BI(K,F(0),VTivT)=>TP(t,T:)BI(K,Fi(0),VT-ivT) (6) i-l =1 因此，我们可利用(6)，根据(3)中Cap和Caplet的Black价格封闭解，在已知Cap市场报价情况下， 反推Caplet隐含波动率，进而利用(2)，推导各期远期利率瞬间波动率.此外，考虑到校正远期利率相关系数 较为复杂，并且单因子LIBOR市场模型已经能够很好地拟合未来LIBOR走势.为此假设远期利率瞬间相 关系数为零 3随机波动率LIBOR市场模型的MCMC参数估计 最近几年对于SV模型的估计，研究人员提出了许多可行的估计方法.其中，MCMC方法是一种完全模 拟方法，采用了动态的抽样方法，克服了传统Monte Carlo模拟的高维、静态的缺陷，提高了估算精度.基于 以上分析，本文在上述分段固定的局部波动率假设下，利用历史的每段时间下(3个月)的远期利率对数收益 率，通过MCMC方法来对当前时刻开始相对应的时间段内随机波动率过程的参数进行估计 3.1MCMC参数估计过程 马尔科夫链蒙特卡罗方法（此文后记为MCMC),即是在蒙特卡罗方法的框架下，加入马尔科夫过程，从 而计算马尔科夫链的蒙特卡罗积分抽样同，根据马尔科夫原理，在已知市场历史数据的情况下，运用模拟技 术，随着随机链的不断延伸，所得随机数必将收敛于一个平稳分布π(x),最终使得所求参数的分布与平稳分 布接近.在达到平稳的情况下，利用此分布求出相应的参数估计值即期望，同时其他参数也可以在此基础之 上求得.MCMC主要有两个主要的抽样方法，Gibbs方法和Metropolis-Hastlngs方法.两者的区别在于后 验分布是否可以直接确定，如果可以直接确定，那么我们就可以在共轭原理得到已知后验分布的情况下直接 利用Gibs方法进行抽样，而如果后验分布很难确定，则需要利用在构造转移核的基础上利用接受拒绝方法 实现抽样过程的Metropolis-Hast1ngs方法.本文在此主要利用Gibbs方法，基本过程如下： 1)确定初始点xo)=(c,0,…,0),设i=0 从条件分布（红9，，…，）中，抽取+；从条件分布2r件，，…，)中，抽取 21) 按上述步骤依次从条件分布π（红n女+），+”，，)中，抽取+： 3)设i=i+1,转到第2)步.记x国=（甲，，…，x9,则四，x2,…,x国是马尔科夫链的实现 值，其由x到x的转移概率为：p(x,x)=r(x12,x3,…,xn)π(x2lz,c3,…,xn)…π(xnz1,2,,n-1) 3.2 Heston随机波动率LIBOR市场模型的MCMC估计过程 我们在标准LBOR市场模型的基础之上加入随机波动率过程，并且利用历史相对区间上数据对该随机 波动率过程参数进行估计.根据公式(1)，设xt=l1og(F(),可得以下公式： Td4=v0a.u×立20E8a-ro0u+VWaz,+-12,e,k<it≤T k+,1+© dv(t)=k(v-V(t))d(t)+TvV(t)dz dzidz2 =0 (7) 万方数据
820 系统工程理论与实践 第33卷 其中，KATM为平值时的Cap执行价值，＆，p(o)为相应互换利率．Q为初始时刻，p为到期日．由于Cap价 值为Caplet价值之和，根据公式(3)可以得到Cap的市场价格为： 几 n Cap(t)=∑TiP(t，Ti)BI(K，Fi(o)，讧五‰…，)=∑死P(t，互)Bf(K R(o)，以i‰一。㈨) (5) i=1 i=1 4)Caplet波动率和Cap波动率之间的关系 虽然每个到期日Cap包含了数个Caplet，但在报价时每个Cap中所有的Caplet都共享同一个波动率 报价，即％。…。，因此不同到期日的Cap有不同平均波动率．但从Caplet定价公式讲是不合理的，因为对不 同到期日Cap中所含相同利率参考日、交割日以及执行价值的Caplet，应该有不同Caplet波动率．所以公 式(5)Caplet市场价格可表示为以下公式： 礼 扎 Cap(t)=∑7tP(t，Tt)Bl(K，Fi(O)，以i‰…，)=∑死P(t，Ti)BI(K，R(o)，以5％一…Ⅲ) (6) t=1 i=l 因此，我们可利用(6)，根据(3)中Cap和Caplet的Black价格封闭解，在已知Cap市场报价情况下， 反推Caplet隐含波动率，进而利用(2)，推导各期远期利率瞬间波动率．此外，考虑到校正远期利率相关系数 较为复杂，并且单因子LIBOR市场模型已经能够很好地拟合未来LIBOR走势．为此假设远期利率瞬间相 关系数为零． 3随机波动率LIBOR市场模型的MCMC参数估计 最近几年对于SV模型的估计，研究人员提出了许多可行的估计方法．其中，MCMC方法是一种完全模 拟方法，采用了动态的抽样方法，克服了传统Monte Carlo模拟的高维、静态的缺陷，提高了估算精度．基于 以上分析，本文在上述分段固定的局部波动率假设下，利用历史的每段时间下(3个月)的远期利率对数收益 率，通过MCMC方法来对当前时刻开始相对应的时间段内随机波动率过程的参数进行估计． 3．1 MCMC参数估计过程 马尔科夫链蒙特卡罗方法(此文后记为MCMC)，即是在蒙特卡罗方法的框架下，加入马尔科夫过程，从 而计算马尔科夫链的蒙特卡罗积分抽样[5】．根据马尔科夫原理，在已知市场历史数据的情况下，运用模拟技 术，随着随机链的不断延伸，所得随机数必将收敛于一个平稳分布丌(。)，最终使得所求参数的分布与平稳分 布接近．在达到平稳的情况下，利用此分布求出相应的参数估计值即期望，同时其他参数也可以在此基础之 上求得．MCMC主要有两个主要的抽样方法，Gibbs方法和Metropolis—Hastlngs方法．两者的区别在于后 验分布是否可以直接确定，如果可以直接确定，那么我们就可以在共轭原理得到已知后验分布的情况下直接 利用Gibbs方法进行抽样，而如果后验分布很难确定，则需要利用在构造转移核的基础上利用接受拒绝方法 实现抽样过程的Metropolis—Hastlngs方法．本文在此主要利用Gibbs方法，基本过程如下： 1)确定初始点。(o)=(zP，z笋’，…，z鬻’)，设i=o； 2)从条件分布丌(z，Iz箩’，z￡’，…，。g’)中，抽取zrl)；从条件分布丌(z。Iz，+¨，。￡’，…，zg’)中，抽取 ，(冲1)． 山2 ， 按上述步骤依次从条件分布丌(z。瞄件¨，。￡“)，…，z齄：’)中，抽取zg“)； 3)设i=i+1，转到第2)步．记z(‘)=(z∽zg’，…，z￡’)，则z(¨，z(21，…，z(‘)是马尔科夫链的实现 值，其由z到z7的转移概率为：p(x，X7)=r(xllX2，53，…，Xn)-(x2lxl，X3，…，X。)…7r(z。Ixl，z：，…，z乞一1)． 3．2 Heston随机波动率LIBOR市场模型的MCMC估计过程 我们在标准LIBOR市场模型的基础之上加入随机波动率过程，并且利用历史相对区间上数据对该随机 波动率过程参数进行估计．根据公式(1)，设耽=log(Fi(￡))，可得以下公式： I d轨=y(矧t)×∑篝群等d￡一昙y(￡)盯㈤¨俑吼(t)(pdZl+V／i-p2dZ2(t))，七<印≤T J J=k+l‘’。7‘’、。7 “ 、 l dV(t)=K(∥一y(￡))d(￡)+Tx／V(t)dZ 一 【dzld历：o (7) 万方数据
第4期 马俊海，等：随机波动率LIBOR棋型及其结构性存款定价：理论估计与蒙特卡罗模拟 821 利用欧拉离散化方法，对上式进行离散化处理，可以得到： h=a-4=Vt+△a0×∑，498a-号e+aa+ vW(t+△)(t)(pV△n+V1-p2(t) (8) (V(t+△)-V(t)=k(v-V(t)△+TVW(t)V△n 根据测算在三个月区间内方差非常小，所以假设其为常数，记为A,得到以下式子： ht =log(V(t)) t=tt+△一Tt =ep)A+a.ar+a-Meph:）-1-o0e-ephe》+2r2a +a;(t)exp () he-h+exp(-he)(1--exp(-exp(-h)r+exp-)rv5m =he+ep(-haL-b-a-9epa-克ep(-dra+ep(-）nm (9) 上式中，中=1-k△.本文假设Heston随机波动率模型参数集日={a,中，Tk,p以，在经过离散化处理 后，得到离散时间随机波动率模型中参数集的各对参数有相同的共轭先验分布.p(Θ，川)的统计特征可以由 p(@,r2,h,y),p(r21a,中，h,)和(ha,中，2，y)完全决定.假设a,0的联合先验分布为正态分布，设2先 验分布为逆伽玛分布，则有： p(a,lr,h,)xΠn(0.l0:-l,a,中，rp(a,)xN. t=1 对于T,我们有：p(r21a,中，h,)xΠ1p(0:0-1,a,中，r)加(r2)xIG 波动率状态变量的完全联合后验分布为： p(h,y)p(y,h)p(h)p(hh-1,h+1.) t=1 p(hilhe-l,ht+1,日，y）=p(l0e,日)p(0e0t-△，0t+△，日，y） 所以，我们可以推导出： h-元m(-号）m()m(-） 最后，我们可以把此处的MCMC算法分解为以下几步： 第一步：从p(a,lT,h,)oxN中对a,p进行抽样； 第二步：从p(r2a,中，h,)xIG中对r2进行抽样； 第三步：从p(pla,中，h,2,k,)xU(-1,+1)中对p进行抽样： 第四步：利用Metropolis抽样方法从p(hihi--△，ht+△，B,y)对h进行抽样 重复以上步骤直至各参数和波动率潜在变量的模拟轨迹收敛为止，然后把收敛时的模拟值作为对各参数 和潜在变量的估计值 4结构性存款定价的蒙特卡罗模拟过程 在此主要讨论与赎回权的外汇结构性存款，由于其价值构成包括浮动收益和赎回期权价值两个部分，为 此主要针对赎回期权价值的计算模拟问题进行分析.根据产品结构特征，其中可提前赎回权为百慕大式衍生 证券.基于计算方便，选用基于回归的逆向推导方法来计算该百幕大式衍生证券价格.而基于定价效果比较， 该方法可以分为上偏价值函数逆向迭代方法和下偏最小二乘蒙特卡罗方法，考虑单独使用的局限而进行必要 改进. 4.1最小二乘蒙特卡罗方法定价步骤 首先，前面部分所得出的随机波动率LIBOR市场利率过程，模拟出N条独立的资产价格变动路径{F, F2,·,Fm},j=1,2,·,N,表示路径条数，而m表示该百慕大式衍生证券在相应路径所能够执行的时间 点 万方数据
第4期 马俊海，等：随机波动率LIBOR模型及其结构性存款定价：理论估计与蒙特卡罗模拟821 卜阱一一忡“h㈤×i妻，簪鬻n拶1蚪蝴舭+ 2—— 一旦1一川…“ (8) 1以丽吼(￡)(p伛叩+卿已) _7 【y(￡+△)一y(￡)：K(∥一y(t))△+丁俑~／一叩 =exp(危t)A+ai(t)PP-r[(ht+A-ht)exp(^t)一(1一≯)(z，-exp(危t))+互1丁2△]+盯t(￡)exp(等)～啼t ‰△=也+eXp(也)(1一删代∥△一K△exm圳一互1 exp(-^t)T2A+exp(一扣)丁伛吼 =‰+exp(_㈦(1一删。一(1一班xm圳一丢eXp(也)丁2△+exp(一扛)亿仇 上式中，西=1一忌△．本文假设Heston随机波动率模型参数集O={o，西，亿，p)，在经过离散化处理 后，得到离散时间随机波动率模型中参数集的各对参数有相同的共轭先验分布．p(o，^ly)的统计特征可以由 p(a，≯J丁2，h，可)，p(丁2h≯，h，Y)和p(hlcz，咖，丁2，Y)完全决定．假设Q，0的联合先验分布为正态分布，设丁2先 验分布为逆伽玛分布，则有： T p(n，咖l 7-，h，Y)。(1 I p(OtlOt一1，Q，≯，7_)p(a，咖)o(N． t=1 对于7．，我们有：p(7-2IQ，咖，h，Y)。(兀：1p(巩快一1，Ol，≯，丁)p(7_2)。(IG． 波动率状态变量的完全联合后验分布为： T p(hlO，Y)。(p(ylO，h)p(h]O)Of．Il p(ht]ht_l，^Ⅲ，e，可)， p(htIht一1，ht+l，0，Y)=P(YtlOt，e)p(ptIOt一△，Or+I,，0，可)． 所以，我们可以推导出： p(htlht-A,ht+A,O,y，。c去唧(一孚)唧(一孚)唧(一孥)． 最后，我们可以把此处的MCMC算法分解为以下几步： 第一步：从p(a，≯I 7-，h，Y)Of．N中对Ol，咖进行抽样； 第二步：从p(丁2la，咖，h，可)。(IG中对丁2进行抽样； 第三步：从p(pla，咖，h，丁2，k，可)。(u(一1，+1)中对P进行抽样； 第四步：利用Metropolis抽样方法从p(htIht一△，ht+△，0，Y)对h进行抽样． 重复以上步骤直至各参数和波动率潜在变量的模拟轨迹收敛为止，然后把收敛时的模拟值作为对各参数 和潜在变量的估计值． 4结构性存款定价的蒙特卡罗模拟过程 在此主要讨论与赎回权的外汇结构性存款，由于其价值构成包括浮动收益和赎回期权价值两个部分，为 此主要针对赎回期权价值的计算模拟问题进行分析．根据产品结构特征，其中可提前赎回权为百慕大式衍生 证券．基于计算方便，选用基于回归的逆向推导方法来计算该百慕大式衍生证券价格．而基于定价效果比较， 该方法可以分为上偏价值函数逆向迭代方法和下偏最小二乘蒙特卡罗方法，考虑单独使用的局限而进行必要 改进． 4．1最小二乘蒙特卡罗方法定价步骤 首先，前面部分所得出的随机波动率LIBOR市场利率过程，模拟出Ⅳ条独立的资产价格变动路径fFlj， F2j，…，R讲，J=1，2，…，Ⅳ，表示路径条数，而m表示该百慕大式衍生证券在相应路径所能够执行的时间 点． 万方数据