第16卷第9期 管理科学学报 Vol.16 No.9 2013年9月 JOURNAL OF MANAGEMENT SCIENCES IN CHINA Sep.2013 基于极差的区制转移随机波动率模型及其应用” 郑挺国，左浩苗2 (1.厦门大学王亚南经济研究院，厦门361005；2.中国人寿资产管理有限公司，北京100033) 摘要：关于金融波动率的建模，大量文献都是基于将收益率作为波动率代理变量，而基于极差 这一更有效的代理变量研究波动率的则相对较少.考虑到随机波动率模型的优势，将区制转移 引入到基于极差的随机波动率模型中，从而刻画金融市场中波动率水平可能存在的结构变化， 随后给出此波动率模型的MCMC估计，并利用模拟证明了该方法的有效性.基于以上模型，对 上证综指、深圳成指和沪深300指数的极差波动率进行了实证研究，并利用已实现波动率作为 基准、以稳健的损失函数作为判断准则的比较方法，与文献中常用的GARCH类模型和SV类 模型进行比较，进一步论证了提出模型的优势 关键词：极差；随机波动；区制转移；MCMC 中图分类号：F830.9文献标识码：A文章编号：1007-9807(2013)09-0082-13 0 引言 的已实现方差是真实波动率的一致估计量.非参 数方法中的另一类是无模型隐含波动率方法9)， 波动率建模是金融计量经济学的核心问题之 可以在不依赖于特定的期权定价模型的前提下预 一.它的建模可以分为参数方法和非参数方法两 期风险中性条件下的波动率. 大类，在参数方法中，比较常用的是Engle和 在上述方法中，除了无模型隐含波动率方法 Bollerslev2]提出的GARCH类模型，以及Taylor3) 是利用期权数据得到风险中性测度下波动率的估 提出的随机波动率模型(stochastic volatility mod- 计外，其他方法均利用资产价格历史数据得到现 l,简称SV模型)等.GARCH类模型一般可将条 实测度下波动率的估计.传统的GARCH类模型 件方差表达为残差的自回归形式，通过对滞后的 和SV模型均是基于收益率数据的，即利用收益 历史信息赋予不同的权重得到对波动率的估计， 率的绝对值或者平方作为波动率的代理变量，进 能够刻画波动聚类的特征.与之不同，SV模型将 而得到真实波动率的估计.但是，收益率数据仅仅 波动率视为不可观测的过程，在对条件方差的刻 是利用了某一交易时段的最后的收盘价的信息， 画中也引入随机误差项.由于随机波动率模型可 而忽视了时段内价格变动的信息.例如，在市场剧 视为连续时间的布朗运动或跳跃扩散过程的离散 烈波动和比较平稳的情况下，价格过程均可能具 对应，在资产定价和衍生品定价中得到了广泛的 有相同的收盘价进而得到相同的收益率，但是在 应用4-6].在非参数方法中，随着高频数据的出 这两种情况下市场的波动状况是完全不同的.作 现，已实现波动率(realized volatility,简称RV)方 为更为理想的替代方案，极差（定义为某一时间 法得到了广泛的应用.Andersen等，8]证明在一 段内最高价与最低价之差)也可以作为波动率的 定条件下，通过对日内高频收益率平方求和得到 代理变量.Parkinsono最早对极差作为波动率代 ①收稿日期：2011-11-30；修订日期：2012-05-03. 基金项目：国家自然科学基金资助项目(71001087)；国家留学基金委公派资助项目(201208350111)；教育部人文社会科学研究规划基金 资助项目(11YJA790095):福建省自然科学基金资助项目(2010J01361):厦门大学优秀博士培养计划资助项目. 作者简介：郑挺国(1979一)，男，浙江温岭人，博士，副教授.Email:zhengtg(@gmail.com 万方数据
第16卷第9期 2013年9月 管理科学学报 JOURNAL OF MANAGEMENT SCIENCES IN CHINA V01．16 No．9 Sep．2013 基于极差的区制转移随机波动率模型及其应用① 郑挺国1，左浩苗2 (1．厦门大学王亚南经济研究院，厦门361005；2．中国人寿资产管理有限公司，北京100033) 摘要：关于金融波动率的建模，大量文献都是基于将收益率作为波动率代理变量，而基于极差 这一更有效的代理变量研究波动率的则相对较少．考虑到随机波动率模型的优势，将区制转移 引入到基于极差的随机波动率模型中，从而刻画金融市场中波动率水平可能存在的结构变化． 随后给出此波动率模型的MCMC估计，并利用模拟证明了该方法的有效性．基于以上模型，对 上证综指、深圳成指和沪深300指数的极差波动率进行了实证研究，并利用已实现波动率作为 基准、以稳健的损失函数作为判断准则的比较方法，与文献中常用的GARCH类模型和SV类 模型进行比较，进一步论证了提出模型的优势． 关键词：极差；随机波动；区制转移；MCMC 中图分类号：F830．9 文献标识码：A 文章编号：1007—9807(2013)09—0082—13 0 引 言 波动率建模是金融计量经济学的核心问题之 一．它的建模可以分为参数方法和非参数方法两 大类．在参数方法中，比较常用的是Engle¨o和 Bollerslev【2 o提出的GARCH类模型，以及Taylor一1 提出的随机波动率模型(stochastic volatility mode1，简称sV模型)等．GARCH类模型一般可将条 件方差表达为残差的自回归形式，通过对滞后的 历史信息赋予不同的权重得到对波动率的估计， 能够刻画波动聚类的特征．与之不同，SV模型将 波动率视为不可观测的过程，在对条件方差的刻 画中也引入随机误差项．由于随机波动率模型可 视为连续时间的布朗运动或跳跃扩散过程的离散 对应，在资产定价和衍生品定价中得到了广泛的 应用M“J．在非参数方法中，随着高频数据的出 现，已实现波动率(realized volatility，简称RV)方 法得到了广泛的应用．Andersen等¨一。证明在一 定条件下，通过对日内高频收益率平方求和得到 的已实现方差是真实波动率的一致估计量．非参 数方法中的另一类是无模型隐含波动率方法一j， 可以在不依赖于特定的期权定价模型的前提下预 期风险中性条件下的波动率． 在上述方法中，除了无模型隐含波动率方法 是利用期权数据得到风险中性测度下波动率的估 计外，其他方法均利用资产价格历史数据得到现 实测度下波动率的估计．传统的GARCH类模型 和SV模型均是基于收益率数据的，即利用收益 率的绝对值或者平方作为波动率的代理变量，进 而得到真实波动率的估计．但是，收益率数据仅仅 是利用了某一交易时段的最后的收盘价的信息， 而忽视了时段内价格变动的信息．例如，在市场剧 烈波动和比较平稳的情况下，价格过程均可能具 有相同的收盘价进而得到相同的收益率，但是在 这两种情况下市场的波动状况是完全不同的．作 为更为理想的替代方案，极差(定义为某一时间 段内最高价与最低价之差)也可以作为波动率的 代理变量．Parkinsonl lol最早对极差作为波动率代 ①收稿13期：2011—11—30；修订13期：2012—05—03． 基金项目：国家自然科学基金资助项目(71001087)；国家留学基金委公派资助项目(201208350111)；教育部人文社会科学研究规划基金 资助项目(11YJA790095)；福建省自然科学基金资助项目(2010J01361)；厦门大学优秀博士培养计划资助项目． 作者简介：郑挺国(1979一)，男，浙江温岭人，博士，副教授．Email：zhengtg@gmail．com 万方数据
第9期 郑挺国等：基于极差的区制转移随机波动率模型及其应用 -83- 理变量的性质进行了研究，认为极差利用了时间 和Susmel]及郑挺国35]等将马尔科夫区制转移 段内价格的变动区间信息而不仅仅是收盘时点的 引人到基于收益率的SV模型中.上述研究均表明在 信息，可以明显提高估计波动率的效率.随后Gar- 对金融时间序列研究过程中，波动率存在区制转移 man和Klass、Rogers和Satchell),以及Yang 是普遍现象，同时，上述文献[32-35]均证实，考虑 和Zhang1]等对极差估计量进行了修正和扩展. 波动均值的区制转移特征会得到更优的波动持续性 Parkinson]以及唐勇和张世英[4]证明基于极差 估计和动态拟合效果.鉴于此，本文在Alizadeh等] 的波动率估计量效率要高于基于收益率的波动率 的SV模型基础上提出了基于极差的马尔科夫区 估计量，前者的方差大概是后者的1/5，具有更窄 制转移随机波动率模型(range based Markov switc- 的置信区间.除了估计量精度的优势外，Alizadeh hing stochastic volatility model,简称RMSSV)模型，该 等)还指出，对数极差是近似正态的，避免了收 模型既具有极差波动率方法估计效率高的特点，也 益率尖峰厚尾分布造成的估计困难，也对微观市 同时刻画了金融市场周期性变化的特征 场结构噪音比较稳健.此外，由于金融市场报价信 本文的其他工作还包括：首先，结合RMSSV 息中长期以来通常都包含了日内交易的最高价和 模型设定的特征，给出了基于Gibs抽样的马尔 最低价，具有较长的样本区间，这使得基于极差的 科夫链蒙特卡罗模拟(Markov chain Monte Carlo, 波动率建模方法更具有广泛的适用性. 简称MCMC)估计方法，并通过模拟论证了估计 与基于收益率的波动率建模的诸多方法相 方法的有效性；其次，利用RMSSV模型对大陆市 比，基于极差的波动率建模方法相对较少.Aliza- 场3个代表性指数（上证综指、深圳成指和沪深 deh等[s1以及Brandt和Diebold[i6提出了基于极 300指数)的日度极差数据进行拟合，并进行了不 差的SV模型（range based stochastic volatility 同波动率估计方法的样本内拟合比较.Patton36) model,简称RSV模型)，Chou),Li和Hong8、 在Hansen和Lunde)的基础上提出了以已实现 周杰和刘三阳)、李红权和汪寿阳20]等对基于 波动率作为基准和稳健的损失函数作为准则的比 极差的GARCH类模型进行了研究，蒋祥林等[2] 较方法，解决了传统的波动率估计方法依赖于存 探讨了基于日内价格幅度和收益率的随机波动率 在噪音的波动率代理指标和可能存在偏误的损失 模型，均证明了基于极差的波动率方法的有效性. 函数作为准则的问题，但在实证中仅比较了滚动估 由于随机波动率模型在连续时间金融以及资产定 计和RiskMetrics两种简单的波动率估计方法，而本 价中的广泛应用，本文对Alizadeh等1s1的方法进 文则进一步将其扩展应用到多种常见的波动率估计 行拓展.本文的主要工作是在Alizadeh等15]提出 模型中，更为充分地验证了RMSSV模型的优势 的RSV模型的基础上，引入具有波动均值区制转 移特征的马尔科夫动态过程，从而刻画波动率的 1 模型设定及估计方法 结构变化.大量文献证实了波动率可能具有结构 变化或区制转移的特征.在对波动率长记忆性的 研究中，Lamoureux和Lastrapes2就曾指出，可能 1.1基于收益率的SV模型 存在的结构突变会导致对波动持续性的高估， 根据Taylor]等的研究，基本SV模型设定为 Diebold和noue2s)也指出长记忆现象可能是因 r:06:exp(h/2) (1) 为波动率过程中存在结构突变，Granger和 h=u+p(h-1-u）+0nn (2) Hyung24进一步证实了上述观点，指出结构突变 hy-N( (3) 对长记忆性具有重要的解释效力.鉴于此，一些研 究将Hamilton2s]提出的马尔科夫区制转移方法 其中r:=log(S,/S,-1)表示股票价格S,的对数收益 引入到波动率过程中，从而可以捕捉波动率存在 率；h,≡logσ：表示对数方差，8，和7：是独立的正态 的内生变化过程，如Hamilton和Susmelt2、 分布的随机扰动项；σ是常量，在本文中标准化为1； Cai1、Gary2]、蒋祥林等91、孙金丽和张世 P是对数波动率持续性的度量，其绝对值小于1；参 英30]、赵华和蔡建文[31]等考虑了区制转移的 数u和σ，分别表示对数波动率的均值和波动率 GARCH类模型，而So等32]、Smith[)、Kalimipalli 对式(1)进行对数平方变换，可以得到 万方数据
第9期 郑挺国等：基于极差的区制转移随机波动率模型及其应用 理变量的性质进行了研究，认为极差利用了时间 段内价格的变动区间信息而不仅仅是收盘时点的 信息，可以明显提高估计波动率的效率．随后Gar． man和Klass¨“、Rogers和Satchell¨“，以及Yang 和Zhang¨纠等对极差估计量进行了修正和扩展． Parkinson¨钊以及唐勇和张世英¨41证明基于极差 的波动率估计量效率要高于基于收益率的波动率 估计量，前者的方差大概是后者的1／5，具有更窄 的置信区间．除了估计量精度的优势外，Alizadeh 等¨纠还指出，对数极差是近似正态的，避免了收 益率尖峰厚尾分布造成的估计困难，也对微观市 场结构噪音比较稳健．此外，由于金融市场报价信 息中长期以来通常都包含了日内交易的最高价和 最低价，具有较长的样本区间，这使得基于极差的 波动率建模方法更具有广泛的适用性． 与基于收益率的波动率建模的诸多方法相 比，基于极差的波动率建模方法相对较少．Aliza． deh等¨纠以及Brandt和Diebold-l钊提出了基于极 差的SV模型(range based stochastic volatility model，简称RSV模型)，Choum J、Li和Hong¨8|、 周杰和刘三阳¨9|、李红权和汪寿阳Ⅲ1等对基于 极差的GARCH类模型进行了研究，蒋祥林等旧¨ 探讨了基于日内价格幅度和收益率的随机波动率 模型，均证明了基于极差的波动率方法的有效性． 由于随机波动率模型在连续时间金融以及资产定 价中的广泛应用，本文对Alizadeh等¨副的方法进 行拓展．本文的主要工作是在Alizadeh等¨纠提出 的RSV模型的基础上，引入具有波动均值区制转 移特征的马尔科夫动态过程，从而刻画波动率的 结构变化．大量文献证实了波动率可能具有结构 变化或区制转移的特征．在对波动率长记忆性的 研究中，Lamoureux和Lastrapes旧21就曾指出，可能 存在的结构突变会导致对波动持续性的高估， Diebold和Inoue嵋引也指出长记忆现象可能是因 为波动率过程中存在结构突变，Granger和 HyungⅢ1进一步证实了上述观点，指出结构突变 对长记忆性具有重要的解释效力．鉴于此，一些研 究将HamihonⅢ1提出的马尔科夫区制转移方法 引入到波动率过程中，从而可以捕捉波动率存在 的内生变化过程，如Hamilton和Susmelmo、 Cai[27『、Gary[28『、蒋祥林等‘29f、孙金丽和张世 英∞0|、赵华和蔡建文旧u等考虑了区制转移的 GARCH类模型，而so等∞引、Smith旧3。、Kalimipalli 和SusmelⅢ1及郑挺国∞纠等将马尔科夫区制转移 引入到基于收益率的SV模型中．上述研究均表明在 对金融时间序列研究过程中，波动率存在区制转移 是普遍现象，同时，上述文献[32—35]均证实，考虑 波动均值的区制转移特征会得到更优的波动持续性 估计和动态拟合效果．鉴于此，本文在Alizadeh等¨5J 的RSV模型基础上提出了基于极差的马尔科夫区 制转移随机波动率模型(range based Markov switching stochastic volatility model，简称RMSSV)模型，该 模型既具有极差波动率方法估计效率高的特点，也 同时刻画了金融市场周期性变化的特征． 本文的其他工作还包括：首先，结合RMSSV 模型设定的特征，给出了基于Gibbs抽样的马尔 科夫链蒙特卡罗模拟(Markov chain Monte Carlo， 简称MCMC)估计方法，并通过模拟论证了估计 方法的有效性；其次，利用RMSSV模型对大陆市 场3个代表性指数(上证综指、深圳成指和沪深 300指数)的日度极差数据进行拟合，并进行了不 同波动率估计方法的样本内拟合比较．Patton旧钊 在Hansen和Lunde日刊的基础上提出了以已实现 波动率作为基准和稳健的损失函数作为准则的比 较方法，解决了传统的波动率估计方法依赖于存 在噪音的波动率代理指标和可能存在偏误的损失 函数作为准则的问题，但在实证中仅比较了滚动估 计和RiskMetrics两种简单的波动率估计方法，而本 文则进一步将其扩展应用到多种常见的波动率估计 模型中，更为充分地验证了RMSSV模型的优势． 模型设定及估计方法 1．1基于收益率的SV模型 根据Taylor㈨等的研究，基本SV模型设定为 r。=盯s。exp(ht／2) (1) h。=p+妒(^，1一肛)+盯。叼。 (2) h，。Ⅳ(p，#、) (3) 1一(p 其中‘=log(S。／S川)表示股票价格Is。的对数收益 率；危。兰log吼2表示对数方差，B和％是独立的正态 分布的随机扰动项；盯是常量，在本文中标准化为1； p是对数波动率持续性的度量，其绝对值小于1；参 数p和％分别表示对数波动率的均值和波动率 对式(1)进行对数平方变换，可以得到 万方数据
-84 管理科学学报 2013年9月 logr子=h,+点 (4) 有考虑波动率过程本身可能存在结构突变.特别 其中：=1ge.式(2)和式(4)构成了状态空间 是对于股市的波动率而言，随着股市自身周期的 模型，式(4)为观测方程，式(2)为转移方程.在 变化，可能会呈现剧烈波动与相对平稳的市场状 假设6，服从标准正态分布的前提下，5：服从自由 况交替出现的情形.特别地，在市场处于剧烈波动 度为1的对数卡方分布，而这个分布的标准差、偏 的时候，波动率平均水平会处在高波动区制，而市 度、峰度分别为1.11、-1.53、6.93，与正态分布 场相对平稳时，波动率水平会在低波动区制，即波 的差别是比较大的.在正态假设下，Harvey等] 动率的水平可能存在结构变化.剧烈波动和相对 使用了拟极大似然估计的方法，但Kim等9]指出 平稳的市场状况的轮替次数以及持续时间是无法 该方法的有限样本性质较差，提出了采用7个正 实现预知的，这将不再适用以虚拟变量方式的结构 态分布组成的混合分布对：的分布进行逼近的 突变刻画方法.本文引人马尔科夫区制转移的方法 MCMC方法，随后Chib等[o]以及Omori等[41)提 对随机波动率模型进行扩展，式(6)可扩展为 出了其他的MCMC算法. h,=s,（1-p)+ph-l+0nn (7) 1.2基于极差的随机波动率模型 令".=3，(1-p),式(7)可以表示为 采用收益率的平方作为波动率代理变量时， h:=vs +phi-1 +onn (8) :的分布的非正态性给模型的估计造成困难.当 其中，状态变量S,有M个不同的取值，代表波动 采用极差作为波动率代理变量时，Feller'2】证明 率的长期水平处在不同的状态.假设S,服从一阶 给出在无漂移项标准几何布朗运动假设下，对数 马氏过程，转移概率矩阵如下 极差的标准差、偏度和峰度分别为0.29,0.17和 [P1 P12 PIM 2.80,与标准正态是较为接近的. P=[Py] p21p22 P2M (9 利用这一性质，Alizadeh等s]提出了基于极 差的随机波动率模型 PMM y,=h,+e, (5) 其中p:=Pr[S,=j引S1=]表示从状态S-1= h:=u+(h1-u)+om (6) 其中y,=log(1ogH-logL)表示对数极差；h,= :转移到3，=)的概率，并满足之，=L这祥， logo:表示对数波动率；H,和L,代表某一时段内 4s,=S:+…+uwSM,其中S.为哑变量，表示当 的最高价和最低价.此外，令v=(1-p)μ，式(6) 且仅当S,=j时S。=1.与Sun)等类似，本文中 可以等价地写为h=v+ph-1+on其中，由于 进一步假定M=2,则S.=1和，=2分别表示 &,是近似正态的，Alizadeh等1s)利用拟极大似然 市场处于高波动状态和低波动状态.此时，转移概 方法得到模型参数的估计值，并且通过蒙特卡罗 率矩阵简化为 模拟，通过日内高频数据得到极差，发现对参数的 P=P 1-P1 估计的效率高于利用收益率的绝对值作为波动率 (10) 1-g9 代理变量的随机波动率方法.同时，他们的模拟研 其中p和q分别表示波动率保持在高或低水平的 究也发现基于极差的波动率估计对微观市场结构 概率.这里的设定与RSV的区别在于将波动率的 噪音不敏感，比基于收益率的模型得到的对波动 水平设置为状态依赖的，在不同的波动率区制下 率的估计也更为准确.该模型充分利用了极差的 取不同的值，来反映波动水平本身的结构变化.在 近似对数正态、估计效率高和对微观市场结构噪 基于收益率的随机波动率模型中，这一做法是将 音稳健的特征，将通常采用的作为波动率的代理 SV模型扩展到MSSV模型时最常见的做法，例如 变量的对数收益率的绝对值替换为对数极差，改 So等[2]和Sun]的工作，而本文将这种做法延 进了对参数的估计和波动率的提取 伸到了基于极差的随机波动率模型中.这样，本文 1.3基于极差的马尔科夫区制转移随机波动率 提出的RMSSV模型既利用极差的信息优势，得到 模型 参数和波动率更为准确的估计，也能够将波动率 正如引言中所指出的，上述方法的不足是没 水平的结构变化考虑在内，不依赖于先验信息的 万方数据
．--——84．--—— 管理科学学报 2013年9月 log r；=h。+亭。 (4) 其中￡=log B2．式(2)和式(4)构成了状态空间 模型，式(4)为观测方程，式(2)为转移方程．在 假设8。服从标准正态分布的前提下，￡服从自由 度为1的对数卡方分布，而这个分布的标准差、偏 度、峰度分别为1．11、一1．53、6．93，与正态分布 的差别是比较大的．在正态假设下，Harvey等[38] 使用了拟极大似然估计的方法，但Kim等∞引指出 该方法的有限样本性质较差，提出了采用7个正 态分布组成的混合分布对孝。的分布进行逼近的 MCMC方法，随后Chib等㈤1以及Omori等H¨提 出了其他的MCMC算法． 1．2 基于极差的随机波动率模型 采用收益率的平方作为波动率代理变量时， ￡的分布的非正态性给模型的估计造成困难．当 采用极差作为波动率代理变量时，FellerM21证明 给出在无漂移项标准几何布朗运动假设下，对数 极差的标准差、偏度和峰度分别为0．29，0．17和 2．80，与标准正态是较为接近的． 利用这一性质，Alizadeh等¨纠提出了基于极 差的随机波动率模型 Y。=h；+占。 (5) h。=／．t+妒(h，l一肛)+or。叼。 (6) 其中Y。=log(109H,一logL。)表示对数极差；^。= log盯。表示对数波动率；皿和￡。代表某一时段内 的最高价和最低价．此外，令秽=(1一妒)肛，式(6) 可以等价地写为h。=秽+础¨+盯。7／。．其中，由于 s。是近似正态的，Alizadeh等u副利用拟极大似然 方法得到模型参数的估计值，并且通过蒙特卡罗 模拟，通过日内高频数据得到极差，发现对参数的 估计的效率高于利用收益率的绝对值作为波动率 代理变量的随机波动率方法．同时，他们的模拟研 究也发现基于极差的波动率估计对微观市场结构 噪音不敏感，比基于收益率的模型得到的对波动 率的估计也更为准确．该模型充分利用了极差的 近似对数正态、估计效率高和对微观市场结构噪 音稳健的特征，将通常采用的作为波动率的代理 变量的对数收益率的绝对值替换为对数极差，改 进了对参数的估计和波动率的提取． 1．3 基于极差的马尔科夫区制转移随机波动率 模型 正如引言中所指出的，上述方法的不足是没 有考虑波动率过程本身可能存在结构突变．特别 是对于股市的波动率而言，随着股市自身周期的 变化，可能会呈现剧烈波动与相对平稳的市场状 况交替出现的情形．特别地，在市场处于剧烈波动 的时候，波动率平均水平会处在高波动区制，而市 场相对平稳时，波动率水平会在低波动区制，即波 动率的水平可能存在结构变化．剧烈波动和相对 平稳的市场状况的轮替次数以及持续时间是无法 实现预知的，这将不再适用以虚拟变量方式的结构 突变刻画方法本文引入马尔科夫区制转移的方法 对随机波动率模型进行扩展，式(6)可扩展为 h。=／xs。(1一妒)十妒^卜1+盯田叼。 (7) 令秽。．=p。．(1—9)，式(7)可以表示为 h‘=秽s；+9^t一1+盯叼叼l (8) 其中，状态变量|s。有M个不同的取值，代表波动 率的长期水平处在不同的状态。假设s。服从一阶 马氏过程，转移概率矩阵如下 P=[P“]= P11 P12 p21 p22 pMt pm (9) 其中p。=Pr[S。=_『l S¨=i]表示从状态SH= 村 i转移到S。=歹的概率，并满足∑P#=1．这样， ps=肛1S1。+…+肛_】lf．s胁，其中JsA为哑变量，表示当 且仅当S。=J时．s。=1．与Sun【4纠等类似，本文中 进一步假定M=2，则S。=1和S，=2分别表示 市场处于高波动状态和低波动状态．此时，转移概 率矩阵简化为 P：『 p 1一p1 (10) o 1一q q 1 其中P和g分别表示波动率保持在高或低水平的 概率．这里的设定与RSV的区别在于将波动率的 水平设置为状态依赖的，在不同的波动率区制下 取不同的值，来反映波动水平本身的结构变化．在 基于收益率的随机波动率模型中，这一做法是将 sV模型扩展到MSSV模型时最常见的做法，例如 So等旧2 o和SunM列的工作，而本文将这种做法延 伸到了基于极差的随机波动率模型中．这样，本文 提出的RMSSV模型既利用极差的信息优势，得到 参数和波动率更为准确的估计，也能够将波动率 水平的结构变化考虑在内，不依赖于先验信息的 村 村 胁胁；‰咐 ● ● ● ● 万方数据
第9期 郑挺国等：基于极差的区制转移随机波动率模型及其应用 一 85- 前提下确定波动的不同区制和持续时间. 3)从f八P,9S+)中抽取p8+),gg+) 1.4估计方法 由式(5)和式(7)构成的系统可以表示为马 4)运用多步移动的方法，从f(,|y,S+), 尔科夫区制转移的状态空间模型，可以在Kim和 p,4,,o0,o）中抽取的w Nelson']提出的基于吉布斯抽样(Gibbs sampling)方法的基础上加以改进进行估计.吉布 5)从fo,4|$w,”,p,o)中抽 斯抽样是通过对条件分布序贯抽样来近似联合分 取+，+. 布的抽样方法，最早由文献[45]提出.吉布斯抽 6)从f代p|4+,2,39*),的+”，o) 样实际是对Metropolis抽样方法[6]的改进，并在 中抽取p+) 时间序列模型的估计中得到了广泛的应用，例如 Carlin等4)、Carter和Kohn],而Jacquier等9] 7）从fo,0,|+,41,3+),), 最早将其应用到了随机波动率模型的估计上. p+)中抽取σ+》，og+. 与传统极大似然估计方法不同，贝叶斯方法 上述抽样过程共进行M+W次，其中M次为 中将状态变量h,S,均视为待估的参数.记= 预烧(burn in sample),确保抽样过程收敛，而参 数的分布则利用随后的N次抽样计算得到. (y1,…y)',=(h,…,h)',S=(S1,…, S)',0=(p,9,P山1山，0。，0n)'为模型原有参数 2 模拟结果 这样，新的参数空间变为w=(,S,)'.根据贝叶 斯法则，参数向量的联合后验分布可以表示为 为了验证上述吉布斯抽样方法的估计性质， f(h,S,01y) 进行了如下的模拟.由于极差的计算需要利用日 内最高和最低的价格数据，采用离散化的几何布 f(yl h,S,0)f(hI s,0)f(SI 0)f(0) 朗运动来生成日内的价格序列 (11) 5,ia=5,(-1)a+06uV△ (14) 其中 logo,=(1-p),+plog(o-1）+Bee√历 (15) 0,l,3,0)=fGli,0)=Πxlh,) 其中T表示天数；N表示日内价格观测数，tW< i≤(t+1)W,t=1,…,T:H=1/257是年度化时间区 2a2 间；A=H/N是日内价格变动的时间区间；8和e (12) 是标准正态的扰动项.在模拟中，假设中=0.9， 山1=-12=-1.5，对应波动率的高状态和低状 fir|3r,0)=Πxlh,S,0) 态同时，p=0.99,9=0.97,N=1000,B=0.75, h-,-ph)2 T=1000.根据上述设定，可以计算得到o,= 22 0.0468,0。=0.29.根据对数极差的分布，其均值为 0.43+0.5logH+logg,因此为与log,对应，极差 (13) 应减去0.43+0.5logH得到调整后极差.本文均进 由此，模型的MCMC估计算法概述如下： 行这一调整，类似的做法也可在文献[50]中找到 1)给出初始值.？={h9}I1和0的初始值 设定完成后，采用MCMC估计方法每进行一 0P=(po,g,p,40,o0,0)',其中 次模拟，得到每个参数的分布.为了近似反映多次 S,的初始抽样是根据状态转移概率矩阵的初值 模拟的整体效果，采用一次模拟的后验均值作为 生成的马尔科夫过程得到的，令g=0 该次模拟的代表，并重复模拟500次，对500个后 2)运用多步移动的方法，从f(Sn|,p，, 验均值求均值，标准差及95%的区间.从表1的结 果可以看到，这样得到的均值与模拟时采用的真 q0,p,,,σ)中成块抽取S+). 实值非常接近，均值的标准差普遍较小.同时，真 万方数据
第9期 郑挺国等：基于极差的区制转移随机波动率模型及其应用 一85一 前提下确定波动的不同区制和持续时间． 1．4 估计方法 由式(5)和式(7)构成的系统可以表示为马 尔科夫区制转移的状态空间模型，可以在Kim和 Nelson惮1提出的基于吉布斯抽样(Gibbs sampling)方法的基础上加以改进进行估计．吉布 斯抽样是通过对条件分布序贯抽样来近似联合分 布的抽样方法，最早由文献[45]提出．吉布斯抽 样实际是对Metropolis抽样方法Ⅲ1的改进，并在 时间序列模型的估计中得到了广泛的应用，例如 Carlin等‘471、Carter和Kohn‘删，而Jacquier等‘491 最早将其应用到了随机波动率模型的估计上． 与传统极大似然估计方法不同，贝叶斯方法 中将状态变量h。，S。均视为待估的参数．记觅= (Y1’．．．，Y。)’，I。t,=(h，，…，h。)’，墨=(S1，．一， S。)7，秒II-(P,q，qo,it，牝，盯。，盯。)7为模型原有参数 这样，新的参数空间变为∞=(群，霹，口，’．根据贝叶 斯法则，参数向量的联合后验分布可以表示为 以薪，薪，p I薪)oc 以薪I薪，霹，p状薪I霹，p状薪I口狄p) (11) 其中 八薪I薪，薪，p)钒薪I薪，口)=I-If(y,I h。，口) =鱼瓦1t =l^／Zffi'O"唧(一譬) 、 坷． ， (12) r 以薪I薪，口)=Hf(y。I h。，S。，口) I=1 =珥T去唧(_ 2盯： (13) 由此，模型的MCMC估计算法概述如下： 1)给出初始值．群={h?}乙。和口的初始值 oo=(P‘0’，q∞’，妒∞’，pf们，正∞，盯：们，盯?’)’，其中 薪的初始抽样是根据状态转移概率矩阵的初值 生成的马尔科夫过程得到的，令g=0． 2)运用多步移动的方法，从以薪I砰’，P咕’， q‘引，妒‘引，肛：引，p{引，盯，’)中成块抽取鼯“’． 3)从以p，q l鼢+1’)中抽取p‘纠’，q‘州’． 4)运用多步移动的方法，从火薪I薪，砰“’， 9‘引，肛}引，肛i引，盯≯’，盯≯’)中抽取砰“’． 5)从f(vo，tJ，I鼯“’，砰“’，9瞻’，盯≯’)中抽 取肛}g+l’，p{g+1’． 6)从以9 p：s“’，从s+2’，砰“’，砰+1’，盯≯’) 中抽取妒‘8“’． 7)从八盯。，or。l肛：s“’，肛i8“’，鼯“’，砰“’， 妒幢“’)中抽取盯≯+1’，盯≯“’． 上述抽样过程共进行M+Ⅳ次，其中肘次为 预烧(burn in sample)，确保抽样过程收敛，而参 数的分布则利用随后的Ⅳ次抽样计算得到． 2 模拟结果 为了验证上述吉布斯抽样方法的估计性质， 进行了如下的模拟．由于极差的计算需要利用日 内最高和最低的价格数据，采用离散化的几何布 朗运动来生成日内的价格序列 s叫A=sI，(H)△+盯l占“仫 (14) log吼=(1-‘o)its．+自olog(tr。一1)恤。√日(15) 其中r表示天数；Ⅳ表示日内价格观测数，tN< i≤(t+1)Ⅳ，t=1，…，T；H=1／257是年度化时间区 间；△=H／N是日内价格变动的时间区间；8。和气 是标准正态的扰动项．在模拟中，假设9=0．9， p，=一1，心=一1．5，对应波动率的高状态和低状 态同时，P=0．99，q=0．97，N=1 000，卢=0．75， T=1 00．根据上述设定，可以计算得到％= 0．046 8，盯。=0．29．根据对数极差的分布，其均值为 0．43+0．5 log日+logO"t，因此为与log吼对应，极差 应减去o．43+0．5 log H得到调整后极差．本文均进 行这一调整，类似的做法也可在文献[50]中找到． 设定完成后，采用MCMC估计方法每进行一 次模拟，得到每个参数的分布．为了近似反映多次 模拟的整体效果，采用一次模拟的后验均值作为 该次模拟的代表，并重复模拟500次，对500个后 验均值求均值，标准差及95％的区间．从表1的结 果可以看到，这样得到的均值与模拟时采用的真 实值非常接近，均值的标准差普遍较小．同时，真 万方数据
—86 管理科学学报 2013年9月 实值也落在95%的均值分布区间中，同时与区间 拟研究表明，至少对于长度为1000的样本而言， 的端，点也比较接近，这表明500次模拟和估计得 上述估计方法能够得到参数的准确估计，而由于 到的后验均值均较为接近真实值.上述模拟表明， 极差估计量的效率优势，与同等长度的收益率数 采用的MCMC方法能够得到参数的有效估计.模 据而言对参数的估计精度更高. 表1500次模拟结果 Table 1 Result of 500 times of simulation 参数 真实值 均值 标准差 95%区间 p 0.9900 0.9833 0.0071 [0.9674,0.9933] 9 0.9700 0.9611 0.0101 [0.9457,0.9814] 0.9000 0.8821 0.0482 [0.7680,0.9487] On 0.0468 0.0471 0.0112 [0.0292,0.0715] O& 0.2900 0.2945 0.0073 [0.2795,0.3100] -1.0000 -1.0344 0.0607 [-1.1668,-0.9266] 2 -1.5000 -1.5389 0.0281 [-1.6021,-1.4885】 注：表中均值、标准差和95%区间表示对500次模拟得到的后验均值计算得到， Zhou's1]的做法，删除了隔夜收益率.先验分布的 3实证结果 设定中，借鉴Kim等9，S0等]的做法，设定p, g的先验分布为贝塔分布，fp)cp(1-p)-, 3.1模型估计结果 0<p<1,其中a。=10,a1=1;p,41,h2的先验 这里分别估计上证综合指数、深证成分指数 分布为正态分布N(0.95,1),W(-3,1), 和沪深300指数的波动状况.由于本文采用作为 N(1,1);o,o,的先验分布为逆伽马分布 比较基准的已实现波动率需要利用日内高频数 1G(0.5o,0.56),=2,6=0.02vo.在估计过 据，考虑到数据可得性，上证综指和深圳成指的样 程中，预烧抽样次数为50000，总抽样次数为 本区间为2003-01-02~2011-09-26，共 100000.经尝试更多的抽样次数，结果基本不变. 2121个观测，沪深300指数的样本区间从该指数 表2报告了参数的均值及其后验分布的90% 的发布日起，为2005-04-08~2011-09-26， 区间，从中可以注意到，主要参数的后验区间均比 共1576个观测.上述样本均超过了模拟的样本程 较窄，表明估计效率较高.对3个市场而言，其中 度，对于实证分析而言样本长度是充分的.数据来 高、低波动区制的概率均达到较高水平，这表明高 源为CSMAR数据库.已实现波动率计算方法与 波动或者低波动区制均具有很强的持续性.而且， Andersen等7，si和Patton36]的一致，为日内5min 高、低波动均值在90%置信区间都明显不相交， 收益率平方求和计算得到，并根据Tauchen和 这说明模型可以捕捉显著的高低波动水平变化 表2 RMSSV模型估计结果 Table 2 Estimation results of RMSSV models 上证综指 深证成指 沪深300 参数 均值 90%区间 均值 90%区间 均值 90%区间 0.9952 [0.9858,0.9993] 0.9955 [0.9870,0.9993] 0.9961 [0.9905,0.9994] 9 0.9976 「0.9937,0.9996 0.9976 [0.9943,0.9996] 0.9968 [0.9920,0.9995] 华 -4.0181 [-4.1332,-3.8911] -3.9151 [-4.0045,-3.8103] -3.9914 [-4.0915,-3.8883] % -4.6318 [-4.7212,-4.5566] -4.5266 [-4.5983,-4.46501 -4.5358 [-4.6153,-4.44781 p 0.9311 [0.9014,0.9537] 0.9195 [0.8872,0.9480] 0.9286 [0.8972.0.9576] 0看 0.0977 [0.0841,0.1163] 0.1089 [0.0935,0.1251] 0.1036 [0.0875,0.1229] 0.3646 [0.3530.0.3757] 0.3606 [0.3493,0.3718 0.3658 [0.3534,0.3783] 万方数据
一86～ 管理科学学报 2013年9月 实值也落在95％的均值分布区间中，同时与区间 的端点也比较接近，这表明500次模拟和估计得 到的后验均值均较为接近真实值．上述模拟表明， 拟研究表明，至少对于长度为1 000的样本而言， 上述估计方法能够得到参数的准确估计，而由于 极差估计量的效率优势，与同等长度的收益率数 采用的MCMC方法能够得到参数的有效估计．模 据而言对参数的估计精度更高． 表1 500次模拟结果 Table l Result of 500 times of simulation 参数 真实值 均值 标准差 95％区间 p 0．990 0 0．983 3 O．007 1 [0．967 4，0．993 3] g 0．970 0 0．961 1 0．010 1 [0．945 7，0．981 4] ∞ 0．900 O 0．882 l 0．048 2 [0．768 0，0．948 7] 盯" 0．046 8 0．047 1 0．011 2 [0．029 2，0．071 5] 盯s 0．290 O 0．294 5 O．007 3 [0．279 5，0．310 0] p1 一1．000 0 —1．034 4 0．060 7 [一1．166 8，一0．926 6] № 一1．500 O 一1．538 9 0．028 l [一1．602 1，一1．488 5] 注：表中均值、标准差和95％区间表示对500次模拟得到的后验均值计算得到 3 实证结果 3．1 模型估计结果 这里分别估计上证综合指数、深证成分指数 和沪深300指数的波动状况．由于本文采用作为 比较基准的已实现波动率需要利用日内高频数 据，考虑到数据可得性，上证综指和深圳成指的样 本区间为2003—01—02—2011—09—26，共 2 121个观测，沪深300指数的样本区间从该指数 的发布日起，为2005—04—08～2011—09—26， 共1 576个观测．上述样本均超过了模拟的样本程 度，对于实证分析而言样本长度是充分的．数据来 源为CSMAR数据库．已实现波动率计算方法与 Zhou∞川的做法，删除了隔夜收益率．先验分布的 设定中，借鉴Kim等口9|、so等口23的做法，设定P， q的先验分布为贝塔分布以P)OC P咖(1一P)1-aI， 0<P<1，其中ao=10，O／1=1；妒，肛l，肛2的先验 分布为正态分布N(0．95，1)，N(一3，1)， N(1，1)；盯：，盯i的先验分布为逆伽马分布 IG(O．5v。，0．5氏)，秽。=2，氏=0．02vo．在估计过 程中，预烧抽样次数为50 000，总抽样次数为 100 000．经尝试更多的抽样次数，结果基本不变． 表2报告了参数的均值及其后验分布的90％ 区间．从中可以注意到，主要参数的后验区间均比 较窄，表明估计效率较高．对3个市场而言，其中 高、低波动区制的概率均达到较高水平，这表明高 波动或者低波动区制均具有很强的持续性．而且， Andersen等‘7’81 Patton‘36 3的一致，为Et内5 min 高、低波动均值在90％置信区间都明显不相交， 收益率平方求和计算得到，并根据Tauchen和 这说明模型可以捕捉显著的高低波动水平变化． 表2 RMSSV模型估计结果 Table 2 Estimation results of RMSSV models 上证综指 深证成指 沪深300 参数 均值 90％区间 均值 90％区间 均值 90％区间 p 0．995 2 [0．985 8，0．999 3] 0．995 5 [0．987 0，0．999 3] 0．996 1 [0．990 5，0．999 4] g 0．997 6 [0．993 7，0．999 6] 0．997 6 [0．994 3，0．999 6] 0．996 8 [0．992 0，0．999 5] “1 —4．018 1 [一4．133 2，一3．891 1] 一3．915 l [一4．004 5，一3．810 3] 一3．991 4 [一4．091 5，一3．888 3] P-2 —4．63l 8 [一4．721 2，一4．556 6] 一4．526 6 [一4．598 3，一4．465 0] 一4．535 8 [一4．615 3，一4．447 8] ∞ O．93l 1 [0．901 4，0．953 7] 0．919 5 [0．887 2，0．948 0] 0．928 6 [0．897 2，0．957 6] 盯" 0．097 7 [0．084 1，0．116 3] 0．108 9 [0．093 5，0．125 1] O．103 6 [0．087 5，0．122 9] 矿￡ 0．364 6 [0．353 0，0．375 7] 0．360 6 [0．349 3，0．371 8] 0．365 8 [0．353 4，0．378 3] 万方数据