例2求方程x-y4=0的通解 解设y=P(x) (5) P(x 代入原方程xP-P=0,(P≠0) 解线性方程,得P=Cx即y=C1x, 两端积分得y"=C1x2+C2, 2 x+-2x+°x+CAx+ 120 5 原方程通解为y=l1x3+2x3+d3x2+dx+d
例 2 0 . 求方程 xy(5) − y (4) = 的通解 解 ( ), (4) 设 y = P x ( ) (5) y = P x 代入原方程 xP − P = 0, （P 0） 解线性方程, 得 P = C1 x , 1 (4) 即 y = C x 两端积分,得 , 2 1 2 2 y = C1 x + C , 120 6 2 4 5 1 5 2 3 3 2 x C x C C x C x C y = + + + + 原方程通解为 4 5 2 3 3 2 5 1 y = d x + d x + d x + d x + d
y"=f(x,y)型 特点:右端不含y 解法:降阶 令y=p→y”=p代入原方程得 ds∫(x,p)若已求得其通解为 =(x,c1)回代y=P得 dt9(x,c1)变量可分离的一阶方程 积分得y=」(x,c)+c2
二、 y = f (x, y) 型 特点： 右端不含 y 解法： 降阶 令 y = p y = p 代入原方程得 f (x, p) dx dp = 若已求得其通解为 ( , ) 1 p = x c 回代 y = p 得 ( , ) 1 x c dx dy = 变量可分离的一阶方程 积分得 = 1 + 2 y (x,c )dx c
例3解方程1+x2)y”=2xy,yk=0=1,yk0=3 解令 →(+x)p=2xp 分离变量得42x 1+x →Inp=In(1+x2)+lnc1 P=c1(1+x2 )→y=c1(1+x2) 由yx=0=3得c1=3 →y=3(+x2)→y=x+3x+ 由 故y=x+3x+1
例3 解方程 (1 ) 2 , 0 1, 0 3 2 + x y = xy y x= = y x= = 解 令 y = p (1 x ) p 2xp 2 + = 分离变量得 2 1 2 x x p dp + = 1 2 ln p = ln(1+ x ) + lnc 即 (1 ) 2 1 p = c + x (1 ) 2 1 y = c + x 由 y x=0= 3得 c1 = 3 3(1 ) 2 y = + x 2 3 y = x + 3x + c 由 y x=0= 1 c2 = 1 故 3 1 3 y = x + x +
例4解方程y=1+(y)2 解 少y=p→y=p→ l=1+p → arctan p=x+C 即p=tan(x+c1) →y=tan(x+c1)x =-ln cos(x+Cu+C2
解方程 2 y = 1+ ( y) 解 令y = p y = p 2 1 p dx dp = + dx p dp = + 2 1 1 arctan p = x + c 即 tan( ) 1 p = x + c y = tan(x + c1 )dx1 2 = −lncos( x + c ) + c 例4