D0I:10.13374/j.1ssm1001053x.1990.05.014 北京科技大学学报 第12卷第5期 Vol.12 No.5 1990年9月 Journal of University of Science and Technology Beijing Sept.1990 混合对流圆柱形封闭空间 的等效导热系数及其应用 何评·俞昌铭 精要：以从热面向冷面传热址相同为条件，针对封附空间内其有混合对流及导热 问题引进了等效导热系数概念。以圆柱体熔体为背景计算了等效导热系热以及它与熔体空 间形状、R:数和G,数等因素之间的关系，对所得结果进行了物理的解释。这些结果对诸如 金属凝固、品体生长等向题的计算有一定参考价价。非将让算结果与砷化综单品生长过程 中实测数据进行对比，两者相当吻介。 关健词：等效导热系数，热面，冷而 Effective Thermal Conductivity and Its Application in the Combined Convective Cylindrical Enclosure He Ping'Yu Changming° ABSTRACT:On the basis of same heat flow between hot surface and cold surface,the concept of effective thermal conductivity is adapled to solve those problems which have combined convection and conduction in enclosure.The re- lations of effective thermal conductivity with the shape of cylindrical enclosure, Re number and Gr number are calculated,and all the results are explained phy- sically.Those results are available to solving the problems such as metal soli- dification and crystal crystallization ctc.The comparison is made between the calculating results and experimental data of GaAs crystal growth,and it is found that they are agreement. KEY WORDS:effective thermal conduclivily,hot surface,cold surface 1989-01-09收稿 ·热能I系(Department of Energy Engincering) ·484·
第 卷第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 。 。 弓 洲尸 盯 混合对流圆柱形封闭空 间 的等效导热系数及其应用 何 评 俞昌铭 ’ 摘 要 以 从 热面向冷 面传热量相 同为 条 件 ， 针对 封 闭空 间内其 有混 合 对流及导 热 问题 引进了等效导 热系数 概 念 。 以 圆柱 体熔体为 背景 计算 等效导 热系 热以及 它与熔体空 间形状 、 取数 和‘ ， 数 等 因素之 间的 关系 ， 对所得 结果 进行 物理 的解释 。 这 些 结果对诸如 金属 凝 固 、 晶 体生 长等 问题 的 计算 有一定 参 考 价 。 井将 计算结果 与砷 化惊单 晶生 长 过 程 中实侧数据进 行对比 ， 两 者相当吻 合 。 关健饲 等效 导 热系数 ， 热面 ， 冷 而 ” ’ 一 ” 认 · ， 「 手 · 一 ， ， 认 ， ， 。 · ， ， 一 一 收稿 热能 工 程系 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1990．05．014
为便于工程计算，对封闭空间自然对流问题引入等效导热系数（或称当量导热系数、表 观导热系数)已为大家所熟悉：1~2)。最先讨论的问题大都限于两块平行竖平板或两块水平 平板之间的自然对流。很多工程问题，特别是伴有固一液相变传热问题也常把液相内既有 导热又有自然对流的问题，通过引入等效导热系数使其简化成统一的导热问题。这类问题中 最为典型的是金属铸造中的凝固问题3]与半导体材料中的晶体生长问题。【4)它们常把液相 中的等效导热系数取成该液体真实导热系数的某一固定倍数，例如3~7倍，而这倍数的获得 依赖于一定的实验或经验。 无疑，对封闭空间内伴有流动的传热问题，引入等效导热系数对于简化计算是十分有益 的，并深为广大工程技术人员所欢迎；此外，为使计算机对生产过程实现在线控制，也迫切 要求传热工作者开发简化的在线数学模型。本文的工作背景正是为实现计算机对砷化镓单晶 生长过程进行控制提供在线数学模型，其中一项基本工作是：应用等效导热系数概念，把伴 有流动（自然对流与受迫对流）的传热问题简化成单纯的导热问题；同时分析有效导热系数 与诸因素（空间形状、Gr数、R数）之间的关系，分析等效导热系数应用条件与局限性， 根据初步的计算结果与己有的生产数据进行科学地对比。 1数学模型 在晶体生长中，Czochralski法是生长大颗粒单晶的一种重要方法。图1所示的是Cz法 生长系统的简单示意图。其基本工作原理是：通过单晶炉向坩埚的辐射传热把坩埚内砷化镓 材料加热到熔融状态，然后提拉籽品杆利用它向环境散热使熔体（籽晶杆周围）逐渐凝固， 依靠籽晶的提拉速度来控制生长晶体的直径，在生长过程中籽晶杆及坩埚是旋转的。 Tm Crystal Ri Crueible 1R2 Ael1 Te 图1Cz法简示图 图2Cz法简化求解城 Fig.1 Schematic diagram of Cz Fig.2 Simple solving zone of method Cz method 为了更好地讨论等效导热系统概念，把这一系统的问题进行适当简化，为此，我们假 ·485·
为便 于工 程 计算 ， 对封闭 空间 自然对流问题 引人等效导热 系数 或称 当 量导热 系数 、 表 观导热 系数 已为 大家所熟 悉 〔 ‘ 一 。 最先 讨论 的问题大都限于两块平行竖平板或两 块 水平 平 板之 间的 自然对流 。 很多工 程问题 ， 特 别是 伴有 固－ 液相 变传热 问题 也常 把液相 内既有 导热又有 自然对流 的向题 ， 通过引入 等效导热 系数使其 简化 成统一 的导热 问题 。 这类 向题 中 最 为典型 的是金属铸造 中的凝 固问题 〔 “ ’ 与 半导 体材料 中的 晶体生长 向题 。 〔 〕 它们常 把液相 中的等效 导热 系数取 成该液 体 真实导热 系数 的某一 固 定倍 数 ， 例如 八、 倍 ， 而这倍数 的获得 依 赖于一定的 实验 或经验 。 无疑 ， 对封闭 空间内伴 有流动 的传热 问题 ， 引 入 等效导热 系数对于简化计算是十分有益 的 ， 并深 为 广大工 程技术 人 员所欢迎 此外 ， 为使计 算机对 生 产过程实现在线 控制 ， 也迫切 要 求传热 工 作者开发 简化 的在线 数学模 型 。 本文 的工 作 背景正 是为 实 现计 算机 对砷化稼单 晶 生长过 程进 行控制提 供在线 数学模 型 ， 其 中一项基 本工 作是 应 用等效导热 系数概念 ， 把伴 有流动 自然对流与 受迫 对流 的传热 问题简化 成单纯 的导热 问题 同时 分析有效导热 系数 与诸 因素 空间形状 、 ， 数 、 。 数 之 间的关 系 ， 分析 等效导热 系数应 用 条 件与 局限性 根据初步 的计 算结果 与 己有 的生 产数据进行科 学地对 比 。 数 学 模 型 在 晶体生长 中 ， ， 法 是生长大颗粒单 晶的 一种重要方 法 。 图 所示 的是 法 生长系 统 的简单示意 图 。 其基本工 作原 理 是 通过单 晶炉 向柑祸 的辐射传热 把柑塌 内砷化稼 材料加热 到 熔融状态 ， 然后提 拉籽 晶杆利 用它 向环境散热 使熔 体 籽 晶杆周 围 逐渐凝 固 ， 依靠籽 晶的提拉速度来控制生长 晶体 的直径 ， 在生长过程 中籽 晶杆及柑涡是 旋 转的 。 一 口 ‘ 公 ﹀卜了口汀 曰 亡衬丫卜勺， 卫臼 … 匀 入 图 宁 。 ‘ 乞 法简示图 图 法 简化 求解城 五 五。 己 为了更好地讨 论等效导热 系 统概 念 ， 把 这 一 系 统的问题 进 行适 当简 化 ， 乞 为 此 ， 我 们 假
定： (1)自由液面是平面钱速慢、离心力较小)。 (2)流动是稳定的（不考虑相变及籽品提拉）。 (3)轴对称。 ()流体是不可压缩的（除产生体积力项之外）。 此外，文献〔5)中曾指出：晶体的转动使熔体和晶体之间存在者相对运动，如果这种流 动的雷诺数超过某一临界值Rec值时（实验表明、Rec~3×103)流动就由层流转变为湍流。 在品体生长中，Reynolds数定义为Re-Ro(R一排埚半径，④一转速，”一运动粘性系 数)。 在本文中h于考虑问题的Ree、Rcs<3×10,因此在上述假设前提下建立相应的不可 压、粘性层流的Navier-Stokes/Bousinnesq?方程L: 连续方程： A.F=0 (1) 运动方胎：n(P）-p9A(T-T.)=-fp*rF (2) 能方程：pC(DT/Dt)=kPT 为了数学上处理方便，把图1表示的品体生长系统简化为由图2表示的问题的求解域， 对上述基木方程在柱坐标下展开并写成与图2对应的无量纲形式。 设：r=R21`, Z=R2Zt, Vr=vrR2. F。=V/Re (4) V2=V/R:, T-T=(Tc-T.)T. p=pmpp21R员-pngZ、 Re。=⊙.RfP, Res=0sR2T Pr=uc/k, Gr=gB(T。-T.)R3/2 上式(1)中，上标·表示无量纲量、则以(4)代入式(1)，(2)，(3)中可得方程形式为： 1∂ 连续方程：r(F)+Z()=0 (5) 运动方程： (…）2(-)-3+ (6) a2(r…-…0)+(rp82)g (7) (y,-…)+2(r-92)=-2+6(a) 能录方程： 小品(rT-,)+2(-2)-0 (9) "486·
定 自由液 面是 平 而 转速慢 、 离心 力较 小 。 流 动 是 稳定 的 不考虑相 变及 籽 晶提 拉 。 ‘ 轴 对称 。 流 体是 不 可压 缩的 除产 生 体积 力项之 外 。 此外 ， 文献 〔 〕 中 曾指 出 晶体的转 动使熔 体和 晶体之 间存 在 着相 对运 动 ， 如果 这 种流 动 的雷诺 数超 过 某 一临 界值 。 。 值时 实验 表 明 ， 刀。 。 一 “ 流动就 由层 流转变为湍 流 。 在 品体生长 ，卜 ， 、 数定 义为 。 二 刀 。 ‘ 刀一柑 揭半径 ， 。 〕 一 转 速 ， ，一 运动 粘 性 系 数 。 在 本 文 中由于 考虑问题 的 。 · 、 。 、 又 只 ， 因此 在上 述假 设前 提 下建 立相应 的不 可 压 、 丰占性 层流 的 、 一 一 ， ， 方 程 全 连续方程 运 动 方 程 。 犷 、 一 ‘ 。 、 。 才 刀 砚 一 不 一 刀 卢 一 。 一 厂 十 厂 ‘ 厂 ‘ ， 能 一 耽方程 二 厂 为 了数学上 处 理 方便 ， 把 图 表示 的 品体生长 系统简化 为 由图 表示 的问题 的求解 域 ， 对上 述 基 本方 程 在柱坐 标 下展 开 并 写 成 与图 对应 的 无 量纲 形式 。 设 二 护、 ， 奄 ， 犷 ，， 尸 ， 不厂 。 ，， 愁 厂 二 ， 犷曹 刀 ， 一 ， 一 。 一 刀 ， 。 “ 厂刀 一 ， 。 二 。 。 呈 ，，， 刀。 、 二 。 刀若 「 ‘ ， 二 八 友 ， 刀 。 一 。 通 ， 式 中 ， 标 · 表示 无 补纲 一 ，七 ， 则以 代 入式 ， 中可得方 程形式 为 连续方 程 二动 方 程 详 一 。了 二 卜 。男 一 〔厂 ， 。 少 。 、口功刁口之护了‘ 厂一 ， 户月 、， 衅 刁 · 厂份 一 厂 佗 刁 卜 一 。 层 黔 。 犷，卜厂 甲 尤 二 扫 刁 ‘、、 刁 · 厂 ，厂 ，一 。 刁 ‘ 、 厂份 ， 护 艺 ， ， 犷兮犷 “ 刁不 尹 刁 厂 份厂 ， ，· 。 八 一卜 示 一 叮 一 乡三 二 一 ‘ ‘ 十 口 能 一 最方 程 厂 ， 一 乃 尸 刀 一 洽 ‘ 。 ” 一 声 一 默 二 。 ‘
求解域的无量纲边界条件为： 0r*s1,Z*=0,V=V:=0,Vg=Recr,T“=1; r°=1,0Z°.<D/R2,V=P:=0,V=Rec,T=1 (10) R,'R2<r1,Z*=D(P2t=0aV;/∂Z=aF倍faZ心=0，aT*aZ◆=0： 0rR1/R2,Z=D/R2,V2=V:=0,V=Resr,T =0; r=0,0<Z*<D/R2,V=8=0,aar=0,aTf8r=0 本文采用SIMPLE算法以砷化镓材料为研究熔体（只体热物性参数在附录中列出）对上 述连续方程、动量方程和能量方程进行原型变最求解，求得熔体内的速度场和温度场。应用 有效异热系数的概念，把流动、传热方程简化成式(9)所示的单纯导热方程，式中k”就是等 效导热系数。 等效传导方程： 品（职）+2(2）=0 (11) 相应的边界条件： r=0,0<Z<D1R2,8T0jar>0; r*=1,0<ZD/R2,T◆=1； (12) 0r1,Z0=0,T◆=1： R/Rr1,Z*=D/R2,aTaZ=0: 0≤rRi/R2,Z°=D/R,T=0; 两类方程式(5)~(10)与式(11)~(12)的等效性表现在：有相同的求解几何域与边界条 件，有相同的热流量、也就是，根据通过温度为T、的面（简称为冷面）的热流量相同来求 得等效导热系数k*。仍然用SIMPLE算法求解上述等效传导方程。 2计算结果及讨论 2.1等效导热系数k与空间形状的关系 图3所示为k°/与长宽比D/R:的关系曲线，由图可知，随长宽比的增加·/k值递增，这 2.0G=109 2.0 Gr=18 Pr=0.1 Pr=0.1 ,5B/2-U5 1.5 R/R2=0.5 Res=510 Pc5=500 心1.0 Ree=303 合 1,0-Rec=300j- 0.5 0.5 0.0 OL 0 81012 40 80 120160200 1 9, 图8相对等效导热系数与空间位置的关系曲线 图4热面传向冷面的总热流与空间位置的关系曲线 Fig.3 Variation of D/Re with/ Fig.4 Variation of D/R2 with g ·487
求 解 域 的无 量纲边 界条 件为 惬 ， ‘ 二 ， 全二 厂 二 。 ， 育二 。 。 · 厂 ， 了 、 二 广 ， 一 丫 ‘ 。 二 厂犷 。 ， 厂才二 刀 。 。 ， ‘ 刀 尸 ‘ 声 一 认 厂尸 厂萝二 犷 “ 二 环誉 牵 。 ， “ 二 叭 一 二 芬 一 刀 ， ， ， 公 二 广 ， 犷萝 厂份 ， 忿二 、 · 奋 ， 如 二 ， 。 “ ， 砚 ‘ 二 言二 。 ， 多 厂 萝泊 奋 。 ， ” 一 。 本文采 用 算 法 以 砷化稼 材料 为研究 熔体 又具 体热 物性 参数在附录 中列 出 对上 述连 续方 程 、 动 量方 程和 能 量方 程进 行原 型 变量求解 ， 求得 熔 体 内的速 度场和温度场 。 应 用 有 效 异热 系 数 的概念 ， 把 流 动 、 传热 方 程简化 成式 所示 的单 纯导热 方程 ， 式 中犷 就是等 效 导热 系数 。 等效传导 方程 告熟 ，朴 笋 杀 · 黔 一 。 相 应 的边界条 件 ‘ ， 奋 刀 ， 尹 分 ， 、 扮 。 岭 ， 。 斗丁 。 ， 一 砚 ” 一 江 ， 奋 二 ， 母 二 。 百犷 ‘ ， ‘ 屯 。 ， 打 ‘ 命 既 “ 决 ， 二 二 ， 公 二 叭 两类方程式 一 与式 一 的等效性表 现 在 有相 同的求解几 何域与边 界条 件 ， 有相 同 的热 流量 ， 也就是 ， 根据通 过温 度 为 二 的 面 简称 为冷面 的热 流量相 同来 求 得 等效导热 系数 争 。 仍然 用 算法求解上 述等效 传导方 程 。 计算结果及讨论 门 等效 导 热 系数 无 ‘ 与空 间形 状 的关 系 图 所 示 为 “ ’ 与 长宽 比 的关 系 曲线 ， 由 图可知 ， 随 长宽 比 的增加 ’ 值 递增 ， 这 ‘ 二 一 尺 尺 尸 叮 刀‘ 二 亡 。 · 于 乒。 一 洲 尸 尸仑 二 尸 一少 尸尸 ，口矫产尸 二 一 ‘ 尸 二 。 一 一 加尸 ‘ ，尺二 二 匕 一六 。 二 、 洲 巨洲声 一一芍… 夕 ， 别涛，山 ， 日八尸︶︸工 青叱 图 相对等效导 热系数 与空 间位 置 的关 系曲线 双 五 盛 ’ 无 图 热面传 向 冷面的 总 热流 与空 间位 置的关系曲 线 丑 住
说明空问形状对等效热系数影响很大，像文献〔3、4)中那样不顾空间形状，把·/取为某 一常数的做法显然是不可取的。 图4所示的是与图2相对应的熔体传到冷面的热流量g与空间形状的关系。比较图3、4二 条曲线可以发现，二者是一致的，即较大的等效导热系数意味着热面向冷面有更大的热流。 对照品体生长过程中的实际情况，随着籽品杆向上提拉，熔体的形状发生着变化，即DP2 是-一个递减的过程，图3、4所示·/k值与q值也都递减。从这-一事实出发，即可预测在籽 晶杆提拉过程中，为了释放出相同的凝固潜热，对应熔体D/R2较小的位置需要较多的时 间，也就是在籽晶的提拉过程中其速度是递减的。为了验证这一思想，我们从真实晶体生长 14 12 200 10- -c'aleulaung result ≥160 。ita11 ment 100 =11',1wI6Pa4 50l 012 14 18 0 0 3 1,h 1,h 图5实际生产中品体位置与附问的关系曲线 图6热面传向冷面的总热流与时间的关系曲线 Fig.5 Variatioe of tic practical Fig,6 Variation of the total heat crystal height with time flow betwcen hot and cold surfaces with time 过程中记录一组数据并绘制成图5。此图表示不同时刻下晶体的长度即品体位置随时间的关 系，由此不难得到相应熔体的形状随时间变化的关系，也即可得到热面向冷面热流量随时闻 的关系。 图6巾的曲线是计算结果，表示熔体形状不同时熔体传向品体的热流。把图5中的实际记 录数据经计算斤闻到图6中，可以看到，实际数据与计算的结果相”一致。然，这样的对 比只有相对的意义，不是很严格的。 2.2等效导热系数与Re数及Gr数的关系 Gr=310的 图7表明，等效导热系数在高G”数情 17 况下，对Re数的变化反应不大。Gr数越 低则雷诺数对影响越大。分析其原因、 E要是由于在Gr数较高时，流体的白然 Gr=319 对流较强，因此加强强迫对流对于总的传 Pr=0.1 热效应影响不大。而在低Gr数时，则由 1m2=0.5 Ree÷300 于自然对流较弱使得当强强边对流流 50110001500 20002500 3000 体的流动对传热有较大的影响。 Res 图T机对等效导热系数与R、G,间的火系曲线 2.3等效导热系数的局限性 Fig.T Variation of 'with Re, Gr number 图8是不同品体直径下熔体内的温度 ·488
说明 空间形状对 等效 热 系数影 响很大 ， 像 文献 〔 、 〕 中那 样不顾 空间形状 ， 把 取 为某 一常 数 的做 法 显然是 不 可 取 的 。 图 所示 的是 与 图 相 对应 的熔 体传到冷 面的热 流 量 与 空 间形状 的 关 系 。 比较 图 、 二 条 曲线可 以发 现 ， 二 者是 一致 的 ， 即较 大 的等效导热 系数意味 着热 面向冷 面有更大的热 流 。 对 照 晶体生长过程 中的实际情况 ， 随 着 籽 品杆 向上提 拉 ， 熔 体的形状发 生着变化 ， 即 是 一 个递减 的过 程 ， 图 、 峨所示 掩值 与 值 也都 递减 。 从 这 一事实 出发 ， 即 可 预测在籽 品杆提拉过 程 中 ， 为 了释 放 出 相 同的凝 固潜热 ， 对应 熔 体 较 小 的位置需 要 较 多的时 间 ， 也就是 在籽 晶的提拉 过 程 中其速度是 递减 的 。 为 了验 证 这 一思 想 ， 我 们从 真实 晶体生长 〔 泛 屯 人 卜 川 ， 户 川 自 俩 比 尹 以 、 ‘ 一 日飞 飞 ， 欲 冈 卜、 卜一 ，、 心从州 卜 刁巴们“工 ︶ 杯琴 …牙开 亏 之 毛 汤 仁 、 ‘ ， 图 弓 实际生 产 中晶体位置 与时 间的关系曲 线 图 热而传向冷 面的总 热流与时 问的关系曲线 ‘ 笙 过 程 中记录 一 组数据并绘制成 图 。 此 图表示 不 同时 刻 下 晶 体 的长度即 品体位置随时 间的关 系 ， 由此不难 得到相应熔 体 的形状随 时 间变化 的关 系 ， 也即 可得 到热 面 向冷 面热 流量随时 间 的 关 系 。 图 中的曲线是计 算结果 ， 表示 熔 体形状不 同时 熔体传向 晶体的热 流 。 把 图 中的实际 记 录 数据经 计 算后 画 到 图 ， 一 卜 ， 可以否 到 ， 实际 数据与 计 算的结果相 当一致 。 当然 ， 这 样 的对 比只有相 对 的意义 ， 不 是 很 严格 的 。 － 尹 ， 」 一 ’ 旧 ， 产 匕 一 ， 口 二 只， ， 一一 尸 ，‘ ‘ ‘ 舀竺 ’子 尸 二 ，尸李 二 尺 二 … 等效 导 热 系 数 与 数 及‘ 数 的关系 图 表 明 ， 等效 导热 系数 在高‘ 数情 况 下 ， 对 “ 数 的变化 反应 不 大 。 犷 数越 、 低 则雷诺 数对 影 响越 大 。 分析 其原 因 ， 七 一 要 是 由 于在 数较 高时 ， 流 体 的 自 然 对流较 强 ， 因此 加强强 迫 对 流对 于总 的传 热 效应影响 不 大 。 而 在低 ‘ 数时 ， 则 由 于 自然对流较 弱使得 当加 强 强 迫对 流时 流 体的流动对传热 有较 大 的影 响 。 弓 等效导 热系效 的局 限性 图 是 不 同 品体直径 下熔 体 内的温 度 图 和 对等效导 热系数 与小 、 ‘ ， 间 的关 系曲线 了 「庵 ’ ‘ 双，， ‘ ， 们 魂 ·