摩擦系数各向相异时的平衡问题

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1989.02.034 第11卷第2期 北京科技大学学报 Vol.11No.2 1989年3月 Journal of University of Science and Technology Beijing Mar,1989 摩擦系数各向相异时的平衡问题 杨熙冲 (理论力学数研室) 摘要：本文对座擦系数按椭圆分布的情况，进行了理论分析，提出了当量摩擦系数， 研究了其分布规律，建立了滑动区和非滑动区的概念。： 关健词：摩膝，摩擦系数，平衡，各向相异 The Problem of Equilibrium about Nonisotropic of the Friction Coefficient Yang Xichong ABSTRACT:In this paper the distribution of the friction coefficient is described as an ellipse.The equivalent friction coefficient is presented.The distribution curve and expression are found.According to these,there are two kinds of regions in the oxy plane:one is called slide region,the other is called unslide region. KEY WORDS:friction,friction coefficient,equilibrium,nonisotropic 1一般概念 由于接触物体的性质和表面状况的差异，除了经常遇到的摩擦系数各向相同外，有时也 会遇到摩擦系数各向相异的情况。例如，木材顺纹路和垂直纹路方向的摩擦系数是不相同的。 关于这类问题的研究不多，本文着重从平衡的角度，研究这类问题的基本规律，而不涉及到 摩擦本身的机理问题。 设接触平面内沿两个相互正交的方向的摩擦系数，一为最大(41)，一为最小(42)，称 为主摩擦系数，其余方向的摩擦系数介于这两者之间1，。为表征其分布趣律，用平面上 1987-05-24收码 187

第 卷第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 蕊 立 摩擦 系数各向相异时的平衡问题 杨 熙 冲 理论 力学 教 研室 摘 要 本 文对 摩 擦系数 按椭圆分布的情况 ，进行 了理论 分 析 ， 提出了 当量摩擦系数 ， 研究了其分布规律 ， 建立 了滑 动区和非滑 动 区的概念 。 关键词 摩 族 ， 摩擦系数 ， 平衡 ， 各向相异 夕 ， 住 、 ， 夕 ， · ， ， ， 一般概念 由于接 触物体的性质和表面状况 的差异 ， 除 了经 常遇 到 的摩 擦系数各向相 同外 ， 有 时也 会遇到 摩擦系数各向相 异 的情况 。 例 如 ，木 材顺纹 路和垂直纹 路方 向的摩擦 系数是 不 相 同 的 。 关于这类 问题 的研究 不 多 ， 本 文着重 从平 衡 的角度 ， 研究这 类 问题 的基本规 律 ， 而 不涉及到 摩 擦本身的 机 理问题 。 设接 触 平面 内沿 两个 相互 正交 的方 向 的摩擦系数 ， 一 为最 大 拼 少， 一为 最 小 拼 ， 称 为 主 摩擦系 数 ， 其余 方向 的摩 擦 系数 介 于这 两者之 间 〔 ‘ ， 〕 。 为 表征其分 布规 律 ， 用 平面 上 一 一 收 稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1989．02．034

从·点出发的矢量代表该方向上的摩擦系数，将其端点连成一曲线，称为摩擦系数分布曲 线。在以下讨论中，假定此分布曲线为一椭圆（图）「·1，这是一种近似的假定，在4，和 “2相差不是很大时，是比较接近实际情况的。且当4：=42=“时，它能退化到通常的各向 相同的情况，即分布曲线为一半径等于μ的圆（图2）。这样，各向相同的情况就可以成 是按椭圆分布的各向相异情况的一个特例。 y T(a) 4(a) 图1廉镶系数分布曲线 图2卓族系数分布曲线 Fig.1 The distribution curve of friction Fig.2 The distribution curve of friction coefficients,1 2 cocfficients,m1=M2= 为叙述简便，设两物体间的正压力为1个单位压力，由此得到的结论并不失去一般性。 设若摩擦系数各向相同，则各向的最大静滑动摩擦力大小均为4×1=4。作用于物体上的在 接触处的公切面（图中的oxy平面）内的上动力F(a),只要满足F(a)4,物体就能保 持平衡，一旦F(a)超过“，则物体将沿F(a)的作用方向失去平衡而滑动。 设若摩擦系数各向相ポ，最大值为41，最小值为42，按椭圆分布，椭圆方程为 x2y2 a+=1 (1) b 则任一方向上摩擦系数μ（α）应满足椭圆方程，即 u2(a)cos'a+usina=1 42 图3F(0)=#1的正交分量4和 Fig.3 The rectangular components r. 由此可得 of)of force F(0)=u H142 μ(a）=V-C2cosa (2) 式中 C2=4i-42 (3) 当F(B)沿41方向（取B=0)作用时，即使作F(0)=4:时，亦可能出现F(0)在其它 方向上的投影值（或沿该方向的F(0)的正交分量的模）超过该方向的最大静摩控力。只 要以oa(=“,)为直径作一圆，它与椭圆相父于c,d两点，将F(0)分解为两正交分量 oe和of,其中e在ca上。显然，oe大-于该方向上的最大静摩你力。由此可见，当F0)= 4:时，它在oc至od花I内的任意方向的正交分其的悦（即！F(0)作oc至od范内的仁 念方向上的投影值)世大该方问上的最人静摩棕力。从约来的角度，这些方向上的摩继 力已不足以阻止物体滑动，放物体将失去半衡，且其滑动方向并不是F(0)的方向。这种情 188

从 。 点出发 的 矢 量代 表该方向 上的 摩擦 系数 ， 将其端 点连 成 一 曲线 ， 称 为摩擦 系数 分 布 曲 线 。 在以 下 讨 论 中 ， 假定 此分 布曲线 为一 椭 圆 图 〔 ‘ ’ 〕 ， 达是 一 种近 似的假定 ， 在拼 和 拼 相 差不是 很 大时 ， 是 比较接 近实际情 况 的 。 且 当 户 拼 解 时 ， 它 能退 化到 通常 的 各 向 相 同 的情况 ， 即分 布曲线 为一 半径等于 拼的圆 图 。 这 样 ， 各 向 相 同 的情 况就 可以 石成 是 按 椭 圆分 布的各 向 相 异情 况 的一 个特 例 。 图 康镇 系数分 布曲线 ， ， 一‘ 尸 图 康擦 系 数 分布 曲线 一 又 、 ， ， ， 二 ， 为叙述 简便 ， 设 两物 体间 的正压 力 为 个单 位压 力 ， 由此得 到 的结 论 并 不失 去 一般性 。 设 若 摩擦 系数 各 向相 同 ， 则各 向的最 大 静滑 动 摩擦 力大 小 均 为 拜 二 拼 。 作 用于物 体上 的在 接 触 处 的公 切面 图 中的 平面 内的 仁动 力 ， 只 要满 足 一 拼 ， 物 体 就 能 保 持 平衡 ， 一 旦 动 超 过 解 ， 则物 体将 沿 的 作 用方 向失 去 平衡而滑 动 。 设若 摩擦 系 数各 向相 异 ， 最 大值 为 拼， ， 最 小 值 为 “ ， 按 椭 圆分 布 ， 椭 圆方 程 为 一护川 尹一此 则 任一 方 向 上 摩擦 系数 川 应满 足椭 圆 方程 ， 即 拜 拌 拜 拼受 图 《 ， 的 正 交 分 里 “ ‘ 和 ‘ 急 由此 ，得 艺泛 ， ‘ 拼 了、了 自八 、 工、 ‘、 拜 拼 科 侧 拼卜 “ 。 。 ‘ 。 式 朴 “ 拜宝 一 “ 且 它只 方向 要 以 当 刀 沿 拜 方 取 口 作 月时 ， 即使 在 拼 时 ， 亦 可能 出现 三其 几的 投 影流 或沿 该方向的 的 正 交分 量 的模 超过 该方向 卜的最 大静 摩擦 力 。 竺 ‘ 二 “ ’ 为 直毖作一 圆 ， ‘ 已与椭 圆 相 交 于 “ ， “ 两 点 ， 若 将 ‘ ，分 解 为 两 正 交 分 坡 和 ， 共 中 。 在 卜 。 显然 ， 大 于 该方 八 的最 大静 摩擦 力 。 白此可 见 ， 、 ， 、 拜， 寸 ， 它 在 至 范 习内的 任意 厂的正 交 分 隧 ，， 莫 即 三 吸 范 围 内的 任 意 方 句上的投 影值 恒 大 该方 向 卜的址 大 静摩 擦 力 。 从 约 未的 角度 石 ， 这 些 方 向 卜的 摩擦 力已 不足 以阻 止物 体滑 动 ， 钦物 体将 失 去 平衡 ， 且 其滑 动 方 向 不是 的方 向 。 这 种 情

况在摩擦系数各向相同的条件下是不可能出现的。 当F(B)沿42方向（即B=x2)作用时，以ob为半径作一圆，则它仅与椭圆在b点 相切，由此可知F(π2)=42沿任意方向的正交分量的模都不会等于或大于该方向上的最人 静摩擦力。 当F(B)沿任意方向(0<B<x2)作用时，也会出现沿41方向作用时的类似情形。 由此可见，必须F(B)的任意正交分量的模均小于或等于该方向上的最大静摩擦力，物 体才能保持平衡。从几何关系上看，就是作一直径在·B上，过原点O,且与椭圆相切的 圆，此圆与oB相交于点f,切点为d。只要满足F(B)<of,则F(B)的任意正交分量的 模恒小于该方向的最大静摩擦力，且当F(B)=of时，F(B)沿od方向的正交分量的模（即！ F()在od方向的投影值)正好等于该方向上的最大静摩擦力。故F(B)≤o于就是物体保 持平衡的条件，一旦F(B)稍大于of,物体将会失去平衡而沿od方向滑动。 综上所述，可知摩擦系数各向相异时的平衡问题具有以下两个重要特点：①除最小摩按 系数42的方向外，在其它方向上，一般不能用F(B)≤4()作为判断物体是否平衡的条 件；②物体相对滑动（刚失去平衡时）的方向不一定是作用力F(B)的方向，而与它成一定 的夹角8。 图生作用力F(B)=时和滑动方向d 图5当最摩擦系数“p()=」 Fig.4 Force F(s)=of and slip direction od Fig.5 Equivalent friction coefficient Le(s)=of 2当量摩擦系数 根据以上分析，可知对于任意方向oB,必定存在唯一的值4(B),当F(B)≤(B) 时，物体保持平衡。下面用解析法求出此值。 网 u.(1=cos2 (4) 根据以上讨论，可知当α变化时，4。（B)也将随之变化，而所要求的4(B)就是4a(B) 的最小值。以a为自变量，令 dμ(f)=u'(a） da cos(aB)+u(a)sec(a-B)18(a-B)=0 189

况在摩擦系数各向相同的条件 下是 不可能出现 的 。 当 刀 沿 拼。 方 向 即 刀 川 作用 时 ， 以 。 为半径作一 圆 ， 则它仅 与椭 圆在 点 相 切 ， 由此可 知 川 二 鲜 沿 任 意方 向 的 正交分 量 的模 都 不 会等于 或大于 该 方 向上 的最 大 静 摩擦 力 。 当 刀 沿 任意方 向 刀 川 作 用 时 ， 也 会 出现沿 拼， 方 向作用 时 的类 似情 形 。 由此可 见 ， 必须 自 的 任意 正交分 量的 模均小 于 或等于 该 方 向上 的最 大 静 摩擦 力 ， 物 体才 能 保 持 平 衡 。 从 几 何关 系 上看 ， 就是 作一直径 在 。 刀上 ， 过 原点 。 ， 且 与 椭 圆 相 切 的 圆 ， 此 圆与 。 刀相 交 于点 ， 切 点 为 。 只要 满 足 户 。 ， 则 户 的 任 意 正 交 分 量 的 模恒 小 于该 方 向 的最 大 静摩擦 力 ， 且 当 户 。 时 ， 脚 沿 。 方向 的 正交分 量的模 即 户 在 。 方向 的投 影值 正好 等于该方 向上 的最 大静摩擦 力 。 故 户 簇。 就是物 体 保 持平 衡的 条件 ， 一旦 口 稍 大于 。 ， 物 体将 会失去平衡而沿 。 方 向滑动 。 综 上 所述 ， 可知 摩擦 系 数各向相异时 的平衡 问题具有 以 下 两 个重要 特点 ①除最 小 摩擦 系数 产 的 方向外 ， 在其 它 方向上 ， 一般不 能 用 刀 镇 拼 户 作为判 断物 体是 否 平 衡 的 条 件 ②物 体相 对滑 动 刚失 去 平衡 时 的 方 向不一 定是 作 用 力 尽 的 方向 ， 而 与它 成 一 定 的夹角 占 。 入、 图 作 用 力厂 助 二 。 和 滑 动 方 向 。 ‘ 弓 厂 ， 图 当量 摩擦系 数 。 助 二 。 拼 ， 口 当量摩擦系数 根据以 上分析 ， 时 ， 物 体保持平 衡 。 令 可知对于 任意方向 。 刀 ， 必 定 存在 唯 一 的 值 群 刀 ， 当 户 镇 拼 户 下 面 用解析法 求出 此值 。 尹 。 刀 拜 一 刀 根 据以 上讨论 ， 可知 当 变化 时 ， 拼 。 月 也 将随 之 变 化 ， 而 所要 求 的 脚 刀 就是 拼 。 刀 的最 小 值 。 以 为 白变 量 ， 令 户 一刀 。 刀 祥 ‘ 刃 一 拜 ， 一 刀 一 刀

得 cos(a-B)Cu'(a)+H(a)tg(a-B)=0 1 解得 tg(a-B)=-“'(a) (5) u(a) 将u(a)和μ'(a)代入式(5)，得 Cisin2a lg(a-p)=2(u-Cicos2a) (6) 由此解出之a值用am&之，代人式(4)，可求得 C.(B门n=n(B)=。gaa） (7) cos(a。-f) 火角δ=am-B (8) 以上结果，也可以按前面的几何分析4()=of,根据几何条件直接求出。不再赞述。 这里求得的作(B),具有明显的物理意义，即oB方向上的作用力F(B)的最大值不 超过此值，物体才能保持平衡。我们称4(B)为oB方向上的当量摩擦系数，它等于或小于 该方向的实际摩擦系数4(B)。 了当量摩擦系数的分布规律 当量摩擦系数4(B)的分布规律，即求出点∫（图5）的轨迹方程。 由图5已知 o时=4n(B)=-4(gm) cos(am-B) 4142 =cos(am-B)vuisiniam+uicosiam (9) 已知1 C2sin2am （μ1-43)sin2am tga。-B）2-Ccosa2(4sin2aa+cos2ae) (10) 由此求得 sin(um-B) （ui-4i)sin2um_ 2Vμisin2am+μgcos2am cos(am-B)= μsin2a+4 cos'am uisinum+uicos'um 利川三角图数变换关系，可求得 sinf=-μcus2 msinant经sin2 AaCOsam Vμ4sin2am+μ2c0s2am cosp=isin2ansinan+uicos2amcosum Vμfsin2am+μicos'am 190

一 刀 〔 拜 ‘ 拜 一 刀 〕 解 得 一 刀 拼 ‘ 拼 将月 和拼 ‘ 代入 式 ， 得 ‘ 一 刀 一 “ 圣一 “ 由此 解 出之 值 用 衣之 ， 代 入 式 ， 可 求 得 印 口 〕 二 。 科 刀 月 ‘ 。 一 刀 夹 角 一 刀 以 上结 果 ， 也可 以 按 前面 的几 何分 析拌 口 二 。 ， 根 据几 何 条件 直接 求 出 。 不再 赞述 。 这 里求 得 的 仇拼 口 ， 具 有 明 显 的物 理 意 义 ， 即 。 夕方 向 的作 用 力 刀 的最 大 值 不 超过 此值 ， 物 体 才能 保 持 乎衡 。 我们 称 拜 刀 为 。 刀方 向 上 的 当量摩擦系 数 ， ‘ 已等于 或 小 于 该 方 向 的实际摩 擦系 数 川 刀 。 当量摩擦系 数的分布规律 当量摩擦系 数 尸 刀 的分 布规 律 ， 即 求 出点 八 图 的轨迹 方程 。 由图 已知 口声 拜。 刀 拼 。 。 盂一 刀 祥一拜 一 口 训 卜 ‘ 不协夏毛石护反盂 已知 ， 一 刀 之 “ 釜一 拼盖 拼莹一 “ 口 拼 ’ 二 “ 笠 “ 二 由此 可求 弄 ，， 一 刀 声 了 孙全 一 拜兰 拼盆 〔， 一 刀 二 月子 ， “ 祥墓 利 川 三 角函数 变换 关系 ， 、 仔士 ，，艺 。 。 户委 、 ，丁求 得 口 一 拼 ， 月兰 、 ， 拼今 。 拼全 。 、 刀 户 。 拼盖 。 训 拼 。 户盆 二

令点f的座标为(x1,y1),则有 =of.cosp=u:(uisin2assinam+uicos2amcosam) (uisin2am+ucos2am)372 (11) y:=of.sing=i(-uicos2amsinan+uisin2amcosas) (uisin2am+uicosiam)372 这就是当量摩擦系数分布曲线的参数方程。 4滑动区和非滑动区 由以上结果，不难求得4：方向（β=0）的当量摩擦系数4p(0)和相应的角度α’。将B =0代入式(6)，得 tgato)= Cesin2a(0) 2(41-Ccos2a0) 解得 a=0,ag=are cos(2c） 因co5a1,故（μ1/√V2C)≤1，即4：≥√2u2, 又当41=√22时，a:》=a9=0。 h 由此可知，当 41≤24，时，a)-0,4(0)=41 当41>√24：时， a=are cos(2c） (12) 4(0)=2C42 (13) ur 这时(0)恒小于41，当沿长轴方向的作用力F(0)稍大于4(0)，物体将失去平 衡，且其滑动方向是沿与长轴成央角±a”的方向。 又当作用力F(B)沿oB方向作用时，其相应的滑动方向与长轴的夹角a”恒大于a”, 由此可知，无论F(B)的作用方向如何，物体失去平衡时的滑动方向，必在图6所示的阴影 区域内，称此区域为滑动区，它对称于短轴，顶角为 9=t-2a0 (14) 对称于长轴的顶角为2α《’的非阴影区称为非滑动区。 191

令点 的座标为 二 ， 夕 ， 则有 。 介 。 刀 。 ， 。 ，圣 二 二 盖 。 吐 、 环资 “ 二 十 井置 。 “ 二 ” 解一心 ‘ 夕 ， 。 · 。 刀二 卫、 拼 一 拼 专 二 拼鑫 。 “ 二 拌孟 二 “ ‘ “ 这就是 当量摩擦系数分 布曲线 的参数方程 。 滑动区和非滑动区 由以 上结果 ， 不难求得拼，方 向 口 的 当量摩擦系数 拌 和相 应的角度 留’ 。 将刀 “ 代入式 ， 得 工 一 。 一 刃 兰“ 一百〔刃二万 百瓦万乏舀三丁万 解 得 尹 “ ‘ 二 ， “ ” “ · 一气于甘万 夕 从 因 ， ， 故 并， 了 ， 即 拜 、 环 ， 又 当拼， 二 训 一了。 时 ， 武 ’ 二 二 ， 。 。 由 此可知 ， 当 。 ， 了 了 。 时 ， 。 二 。 ’ 二 ， 。 。 ， 当一‘ 侧 拼 时 ， 。 二 。 ’ 二 · 一 万箭 月 拼 拼 这 时 脚 。 恒小于召， ， 当沿长 轴方向 的作 用力 稍大于 脚 ， 物 体 将 失 去平 衡 ， 且 其滑动方 向是 沿 与长 轴成夹角 士 。 二 。 ’ 的方 向 。 又 当作用 力认刀 沿 。 防向作 用 时 ， 其相应 的滑 动方向 与长轴的夹角 。 护恒大于 。 犷 ’ ， 由此可知 ， 无论 声 的作用 方向如 何 ， 物体失去 平 衡 时 的滑 动方 向 ， 必 在图 所示 的 阴影 区域 内 ， 称此 区域 为滑动 区 ， 它 对称于 短轴 ， 顶角为 “ 一 二 ， ’ 对称于 长 轴 的顶 角为 。 犷 ’ 的非阴影区称为非滑动 区