传热薄壁物体存在条件探讨

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.1988.02.023 北京钢铁学院学报 第10卷第2期 Jouraal of Beijing University Vol,10 No.2 1988年4月 of Iron and Steel Technology Apr. 1988 传热薄壁物体存在条件探讨 俞昌铭何评 (工程热物理教研室) 摘 要 本文详细分析了处于对流换热环境下实际物体（厚壁物体，物体内温度是时间 空间的函数)转化为薄壁物体（温度只是时间的函数）的条件。分析了目前各种作为 薄壁物体判据的合理性与局限性，在此基础上，提出了以物体内最大的无量纲温度 梯度小于某一常数作为薄壁物体的判据，并分析了℉0数与B数对这一判据的影 响。 关键词：薄壁物体，厚壁物体，无量钢，温度梯度，判据 Discussion of the Existent Condition for Thermally Thin Wall Body Yu Changming He Ping Abstract This paper discusses the conditions of translation from a thermally wall body into a thermally thin body,the former the temperature is both functions of time and space,the later the temperature is single function of time under convective heat tranfer circumstance.On the bases of analysing the rcasonableness and limitation of all criteria of thin wall body at present,a new criterion of thin wall body has been developted,in which the largest dimensionless temperature gradient is considered less than a certain constant,and the effect of Fo and Bi numbers on the new criterion has also been demonstrated. Key words:thermally thin wall body,dimensionless,temperature gradient 1987一03-13收稿 148

第 卷第 期 年 月 北 京 钢 铁 学 院 学 报 。 。 。 传热薄壁物体存在条件探讨 俞 昌铭 何 评 工程热物理教研室 摘 要 本文详细分析了处于对 流换热环境下实际物 体《厚壁物 体 ， 物体内温度是时 间 空间的函数 转化为薄壁物体 温度只是时间的函数 的条件 分析了 目前各种作为 薄壁物体判据的合理性与局限性 ， 在此基础 上 ，提出了 以物体内最大的无量纲温度 梯度小于某一常数作为薄壁物体的判据 ， 并分析了 数与 数对这一判 据 的 影 响 。 ， 叫扁 关键词 薄璧物体 ， 厚壁物 沐 ， 无量纲 ， 温度梯度 ， 判据 人 ” 夕优 ， ， 以 了 ， 了 ， 、 ， 了 ， ， 、 一 一 次稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1988．02．023

1问题的提出 某初始温度为常数的均匀物体在对流换热环境下的导热问题通常可表述成如下形式 的偏微分方程问题： 微分方程diu(\gradT)=(pcT) (1a) 初始条件T=T。 (1b) 边界条件A识m=a(T-,) (1c) 这个偏微分方程问题表示物体内温度既是时间的函数又是空间的函数。不少书籍对 该问题的求解过程都有介绍。对于规则形状，可用解析法；而对复杂几何形状，只能用 数值解法。求解的最终结果常表示为无量纲温度(T-T。)/(T:一T。)与无量纲参数 Fo与B的关系。一般说来，上述问题的求解过程比较复杂。 在工程实际中常存在这样一类问题：在物体与环境的传热过程中，人们只关心该物 体温度随时间的变化规律而对物体内的温度分布不感兴趣。例如，用动态热偶法测量气 ! 流温度；以各种流动床为背景的分散颗粒群在气流中的传热行为等。为此，常将上述问 题(1)转化为求解如下常微分方程初值问题： 微分方程pcy=aS(T,-T) (2a) 初始条件x=0T=T。 (2b) 显然，求解问题(2)比求解问题(1)要简便得多，问题是，在什么条件下可将 问题(1)转化为问题(2)呢？ 2 且前关于从问题(1)转化为问题 (2)的几种提法及其局限性 (1)在文献〔1)中提出，当物体的导热系数为无穷大时，问题(1)即可转化为问题 (2)。无疑，这一论述是正确的。因为在导热系数为无穷大的物体内部，热量的传输 可以在无温差条件下进行。这样，在物体与环境的传热过程中，物体内部的温度只是时 间的函数而不再随空间分布。但是，在实际中并不存在导热系数无穷大的物体，文献〔1〕 中提到的判据只有理论价值，至于多大的导热系数值可以近似认为是无穷大以及由此对 问题(1)的分析所带来的误差，文献〔1〕中没有作深人讨论。 (2)不少文献2.3)认为，将问题(1)转化为问题(2)的条件是： Bi=aL/2<0.1 上述文献中将满足此条件把问题(1)转化为问题(2)的方法称之为集总热容法。据B: 149

向题的提出 某初始温度为常数的均匀物体在对流换 热环境下的导 热问题通常可 表述成如下形式 的偏微分方程问题 微分方程 。 六 二 初始条件 。 、 二 ， 。 ，‘ ， 口 ， ， ， 双 介 不什 八 一而「 功 一 认 、 ‘ 一 丈 ’ 一 这 个偏微分方程问题表示物体内温度既 是时 间的函数又 是空 间的函数 。 不 少书籍对 该问题的求解过程都有介绍 。 对于规则形状 ， 可用 解析法 而对复杂几何形状 ， 只能用 数值解法 。 求解的最终结果常表示为 无量纲温 度 一 。 一 。 与无量 纲参数 。 与 ‘的 关系 。 一般说来 ， 上述问题的求解过程 比较复杂 。 在工程实际 中常存在这样一类问题 在物体与环境 的传 热过程 中 ， 人 们 只关心该物 体温度随时 间的变化规律而对物体内的温度分布 不感兴趣 。 例如 ， 用 动态热偶法测 量 气 流温度 以各种流动床为背景的分散颗粒群在 气流 中的传热行为 等 。 为此 ， 常将上述 问 题 转化为求解如下常微分方程 初值问题 微分 方程 初始条件 ， ， 。 ， 。 ， 、 厂 一刁下 “ 。 火 了 ’ 一 了 少 丫 二 。 显然 ， 求解问题 比求解问题 要 简便得 多 ， 问题是 ， 问题 转化为 问题 呢 在什么 条件下可将 目前关于 从问题 转化为问题 的几种提法及其局 限性 在文 献〔 〕 中提 出 ， 当物 体的导热系数为 无 穷大时 ， 问题 即可转化为 问题 。 无疑 ， 这一论述 是正确的 。 因为在导热 系数为无 穷大的物体内部 ， 热量 的传输 可 以在无温差 条件下进 行 。 这样 ， 在物 体与环境的传热过程 中 ， 物 体内 部的温度 只是时 间的函数而 不再随空间分布 。 但是 ， 在实际中并不存在导热系数无 穷大的物 体 ， 文 献 〔 〕 中提到 的判 据只有理论价值 ， 至于多大的导 热系数值可以近似认 为是 无 穷大以及由此对 问题 的分 析所带 来的误 差 ， 文献 〔 〕 中没 有作深人讨论 。 不少文献〔 · 〕 认为 ， 将 问 题 转化为 问 题 的 条件是 只 上述文 献 中将 满足此 条件把问题 转化为 问题 的 方法 称之为 集总热容法 。 据 了

数本身的物理意义，集总热容法的基本思想是：当物体与环境进行热交换时，若物体内部 的热阻相对于物体与环境的热阻相比小一个数量级时，即可将问题(1)转化为问题(2)。 无疑，式(3)的立论是清楚的，它提出了使问题互相转化的一个定量判据，这比笼统地用导 热系数无穷大为判据前进了一步。但是，式(3)所表示的转化条件是不充分的。它认为，只 要B数足够小(<0.1)，就可认为物体内温度均匀，而与传热过程所经历的时间无关。其 实，从严格的意义上说，式(3)所示物体内温度均匀的判据只在稳态传热过程中才显示出它 的正确性，试以图1所示一维稳态导热为例，从温度为T:1的高温流体经过平板向温度为 T:的低温流体进行传热时，若B:<0.1,（T:1-T:2)这个传热过程的总温差只有不足 10%降落在平板内部。作为工程上近似计算，可认为平板的温度均匀一致，其值由环境 条件a与T,确定。 在文献〔4)中对式(3)视为温度均匀的判据条件提出了疑义。 (3)文献〔4)指出，式(3)所示的准则忽略了时间因素。例如，在图2所示， 一侧绝热另一侧受对流换热的平板的非稳态传热过程中，当时间τ很小时，环境对物体传 热所造成的影响只涉及物体表面一薄层区，而整个物体内部还处于原始状态（如同流体 掠过平板所造成的边界层，速度与温度降落均在这一层内)。这种情形在各种瞬态加热 (如激光脉冲加热)是常遇到的，此时，既便是B<0.1,也不能忽略整个平板内的温 度分布而盲目地认为平板内温度为一均匀值。 在上述分析基础上，文献〔4〕提出了判别物体内温度是否达到均匀的准则，并把 这种可视为温度均匀的物体称为薄壁物体。 仍以图2所示问题为例，薄壁物体的条件是：平板内部某种无量纲的温度差等于或 小于某一给定值。具体地说，用如下无量纲的温度差作为判据准则： 〔T(L)-T(0))/〔T(L)-T。)≤某一常数 (4) 文献〔4〕中图示了式(4)中的常数分别为1%，5%，10%6时，以此作为薄壁近似 准则，得到Fo数与Bi数的关系。 Incresse T=T T=T0 X=L X=0 图1稳态工况下平板内温度分布 图2非稳态工况下平板内温度分布 Fig.1 Stead state temperature Fig.2 Unstead state temperature distribution in a plane wall distribution in a plane wall 由图3可清楚地看到，B数与户。数都是判别物体是否可视为薄壁物体的因素。由图 中还可看到，当Fo数很小时，无论B数取何值，都不应把物体视为薄壁，在这时，不 150

数 本身的物理意义 ， 集总 热容法的基本思想是 当物体与环境进行热交换时 ， 若物体内部 的热阻柑对于物体与环境的热阻相 比小 一个数量级时 ， 即 可将 问题 转化为 问题 。 无疑 ， 式 的立论是清楚的 ， 它提 出 了使问题互相转化的一个定量判 据 ， 这 比笼统地用 导 热系数无穷大为判 据前进 了一步 。 但是 ， 式 所表示的转化条件是 不充分的 。 它认为 ， 只 要 数足够小 。 ‘ ， 就可认为物体 内温 度均匀 ， 而与传热过程所经历的时 间无关 。 其 实 ， 从严格的意义上说 ， 式 所示物体内温度 均匀 的判 据只在稳 态传热过程中才 显示出它 的正确性 ， 试 以图 所示一维稳态导热为例 ， 从温度为 的高温流体经过平板 向温度为 的低温流体进行传热时 ， 若 ， 一 这 个传热过程的总温差 只有 不足 降落在平板 内部 。 作 为工程 上 近似计 算 ， 可认 为平板 的温度均匀 一致 ， 其值由环 境 条件 与 确 定 。 在文献〔 〕 中对式 视为温 度均匀 的判据条件提 出了疑 义 。 文献 〔 〕 指 出 ， 式 所 示的准则忽略 了时 间因素 。 例 如 ， 在 图 所 示 ， 一 侧绝热 另一侧受对流换热的平板的非稳 态传热过程 中 ， 当时 间讨良小 时 ， 环境对物体传 热所造成的影响只涉及物体表面一薄层 区 ， 而整个物体内部还处于原始状态 如 同 流体 掠过平板所造成的边界层 ， 速度与温度降 落均在这一层 内 。 这种情形在各种瞬态加热 如激光脉冲加热 是 常遇到 的 ， 此时 ， 既便是 ， 也不 能忽略整个平板 内的 温 度分布而盲 目地认为平板内温度为一均匀 值 。 在上述分析基础上 ， 文 献 〔 〕 提 出 了判别 物 体 内温度 是否达到 均匀 的准则 ， 并把 这 种可视为温度 均匀的物体称为薄壁 物体 。 仍以 图 所 示问题为例 ， 薄壁物体的条件是 平板 内部某种无量纲的温度差等于或 小 于某一给定值 。 具体地 说 ， 用 如下无量纲的温 度差作为判 据准则 〔 一 〔 一 。 〕 某一常数 文献 〔 〕 中图示 了式 中的常 数分别为 ， ， 时 ， 以此作为薄壁近似 谁则 ， 得到 。 数与 数的关系 。 勺一 巳 二 ， 仁 二 。 图 稳态工 况下平板内温度分布 ‘ 。 皿 呜 卜 元 汇 图 非稳态工况下平板内温度分布 由图 可清楚 地 看到 ， 数 与厂。 数都 是 判别 物 体 是否可视 为薄 壁物 体的 因素 。 由图 中还可 看 到 ， 当 。 数很小 时 ， 无论 数 取何 值 ， 都不应把物体视为薄壁 ， 在 这 时 ， 不

能采用集总热容法。在B数很小的情况下， 平板内的温度差固然很小，但在时间τ很小 50 10 时，这个温差相对平板的最大温升T(L)-T。 来说，却不是很小。这时，不仅不能视平板 10 为薄壁，甚至在一定条件下，认为平板是无 限厚的。文献〔4)所提出的准则为我们认 识在什么条件下可把具有温度分布的厚壁物 0.0010.010.1110100 体视为薄壁物体提供了更具体的依据，但是 Bi 仍存在一些缺陷值得进一步改进。 图3文献〔4)判据薄壁条件曲线 Fig,3 Limits of thermally thin wall provided by reference 4 3本文作者的认识 (1)文献〔1)中所说的当导热系数为无穷大时可将问题(1)转化为问题(2)，这是一个 理想的条件。也是一种极限的条件。根据平板内一维导热的付立叶定律，？二一入T/⑦X, 与导热系数入为无穷大的条件相当的是dT/dX为零。也就是，物体内的温度梯度为零可认 为是问题(1)转化为问题(2)的条件。正象实际的物体导热系数不可能是无穷大一样，在传 热物体内部的温度梯度也不可能为零。因此，可用传热物体内最大的无量纲温度梯度 1dT/dX1max不超过某一小量，例如用0.01,0.05或0.001作为判别将问题(1)转化 为问题(2)的条件。即以此作为薄壁物体的衡量条件。无疑，初始温度为某一常数的平板 在与稳态的环境进行传热过程中，物体表面处将是温度梯度最大处，即{dT/dX{m:x= !dT/dX|x.1根据表面处热流密度连续的条件，可得： a〔T:-T(L)〕=dT/dXlx.t 写成无量纲形式为： d T/d x|=BT(L) 其中T=(T-T:)/(T。-T:), T(L)=〔T(L)-T〕/(T。-T) 作者认为，用|护/d下|小于某-一值作为判别薄壁物体的条件比用式(4)更合理 些。因为，包含在式(4)内的最大温差T(L)-T(0)只是平均的概念，而dT7dX表示局 部的概念，应该说，只要保证平板内每个局部处的温度梯度都小于某一常数，就能保证 整个平板内各处温度是均匀的。相反，保证了从平均概念出发的最大温差T(L)-T(0) 值小于某一常数并不能保证在平板内各处温度都均匀。 (2)图3可用来说明Fo数与B数对判别传热物体由厚向薄过渡的条件，从图3中 151

能采用集总热容法 。 在 数很小 的情况下 ， 平板内的温 度差 固然 很小 ， 但在时 间 很 小 时 ，这个温差相对平板的最大温升 一 。 来说 ， 却不是 很小 。 这时 ， 不仅不能视平 板 为薄壁 ， 甚至在一定 条件下 ， 认 为平板是 无 限厚的 。 文献 〔 〕 所提 出的准则为我 们 认 识在什么 条件下 可把具有温度分布的厚壁物 体视为薄壁 物体提供 了更 具体的依 据 ， 但是 仍存在一些 缺陷值得进 一步改进 。 倒 、 阅 一 味减 、、 气浪 卜 玫 钟 战瓜 料 、 喊 芡 心虹翻 贱 图 文献〔韵 判据薄壁条件曲线 五 丫 弓 本文作者的认识 文献〔 〕 中所说的当导热系数为无穷大时可将 问题 转化为问题 ，这 是一个 理想 的条件 。 也是一 种极限的 条件 。 根据平板内一维导热的付立叶定律 ， ” 一 又 ， 与导 热系数久为无 穷大的条件相 当 的是 为零 。 也就是 ， 物体内的温 度梯度为零可认 为是 问题 转化为问题 的 条件 。 正象实际 的物体导 热系数不可能是 无 穷大一样 ， 在传 热物体 内部的温度梯度 也不可能为零 。 因 此 ， 可用 传热物体内最大的 无 量 纲 温 度 梯 度 于 万 不超过 某一小 量 ， 例 如用 ， 或。 作为判 别将问题 转 化 为 问题 的 条件 。 即 以此作为薄壁物体的衡量 条件 。 无疑 ， 初始温 度 为某一常数的 平 板 在与稳态的环境进行 传热过程 中 ， 物体表面处将是温 度 梯度最大处 ， 即 二 二 二 二 二 根据表面处热流密度连续的 条件 ， 可得 〔 一 〕 久 二 二 写成无量纲形式 为 其 中 二 一 ， 八 。 一 ， 二 〔 一 〕 八 。 一 ， 作者认 为 ， 用 小 于某一值作为判别 薄壁物体的 条件 比用 式 更 合理 些 。 因为 ， 包含在式 内的最大温 差 一 只是平 均的概念 ， 而 表 示 局 部的概念 ， 应该说 ， 只 要保证平板 内每个局部处的温 度梯度都小于某一常数 ， 就能保证 整个平板内各处温度是 均匀 的 。 相反 ， 保证 了从平 均概念 出 发的最大温差 一 值小于某一常数并不能保证在平板内各处温度 都 均匀 。 图 可 用来说明 数与 数对判别传 热物体由厚向薄过渡 的 条件 ， 从图 中

看到，对于一定B数，随Fo数由小到大，物体将由厚向薄过渡。这一事实说明了，在环 境条件稳定的前提下，不同初始状态的物体在经过很长一段时间与环境传热后，物体内 部的温度趋于均匀，这一点无疑是正确的。但从图3中同样看到，对一定的Fo数，随B值 的增加，物体将由薄向厚过渡。这就与式(3)所示的认为只要B数足够小就构成薄壁物 体的条件不相一致了。从图3所示曲线给人的印象是、似乎B值越大反而越可近似地认 为物体是薄的。为了统一认识上的这一矛盾，我们绘制了以dT/X值，也即以B:〔T(L) -T:/(T。一T:)值，分别为0.1%、1%、5%作为物体由厚向薄过渡的判据，以B数 与(Fo·B:)数作为影响的因素，将这一想法绘制成图线，如图4所示。 应当指出，Fo数与B数的乘积其含义也是无量纲时间： FoBi=(ar/L2)·（aL/)=t/tc 特征时间rc=pCV/αS,表示物体的热容pcV与物体对环境的换热热阻1/aS的乘 积。 由图4可知，对一定B数，随Fo数增大仍保持由厚向薄过渡的特征，而对一定的 (F0·B:)数，即一定的无量纲时间，随B数的增加，物体将由薄向厚转化，这里， B值越小越可近似地把实际物体视为薄壁物体，这就与式(3)所示的近似条件相衔接 了。 0. 2 24 秀 0.020.040.u6U.080.10 .20.10.60.81.0 0 Bi Ei 图4本文中薄壁物体判据曲线 Fig.4 Limits of thermally thin wall provided by this paper 4结 论 (1)本文对温度随时间与空间坐标变化的偏微分方程导热问题转化成温度只随时 间变化的常微分方程的导热问题的各种条件进行了分析。认为以物体导热系数无穷大为 判据条件只具有理论价值，在处理实际问题时无法应用。以B<0.1作为判据条件，虽是 目前普遍采用的判定薄壁的条件，有一定实用价值，但是这个条件未曾考虑时间的影 响。用每个瞬时物体内实际最大温差与最大温升之比的无量纲最大温差值小于某值作为 判别薄壁的条件，揭示了Fo数与B数都是影啊是否能将物体视为薄壁的因素。本文在 分析上述各判据条件的合理性与局限性之后，提出了以物体内最大的无量纲温度梯度作 为判别薄壁物体的条件，并用(F。·B)与B作为影响这个条件的参数。在此基础上绘 制的图4中所提供的结果既揭示了Fo数与B的共同影响，也揭示了目前普遍采用的以 152

看到 ， 对于一定 数 ， 随 。 数由小到 大 ， 物体将由厚 向薄 过渡 。 这 一事 实说 明 了 ， 在环 境条件稳定的前提下 ， 不 同初始状态的物体在经 过很长一段时 间与环境传热后 ， 物体 内 部的温度趋于 均匀 ， 这 一 点无疑是正确的 。 但从 图 中同 样看到 ， 对一定 的 数 ， 随 值 的增加 ， 物体将由薄 向厚过渡 。 这就与式 所示的认为 只要 数足 够 小就构成薄壁物 体的 条件不根一致 了 。 从 图 所 示 曲线 给人 的印象是 、 似乎 值越大反而越可近似地认 为物体是薄的 。 为 了统一认识上的这 一矛盾 ， 我们 绘 制 了以行 疥值 ， 也即以 · 〔 一 〕 。 一 ， 值 ， 分别 为。 、 、 作为物体 由厚 向薄过渡的 判据 ， 以 数 与 ‘ 数作为影响 的因素 ， 将这 一想 法绘制成图线 ， 如图 所 示 。 应 当指出 ， 。 数 与 数的 乘积其含义也是 无量纲时 间 · 久 二 下 八 。 特征时 间 。 州 ， 表 示物体的 热容 犷与物体对环 境的换热热阻 的 乘 积 。 由图 可知 ， 对一定 数 ， 随 。 数增大仍保持由厚 向薄过渡 的 特征 ， 而对 一 定 的 。 · ’ 数 ， 即 一定 的无量纲时 间 ， 随’ 数 的增加 ， 物体将由薄向厚转 化 ， 这 里 ， 值越小越可近似地把实际物体视为 薄壁物体 ， 这 就与式 所示的近似条件相 街 接 了 。 沁一井一粤之 口 户子 了少 匕 产 一 止斗一 护 处 拟洁︺八︹ 工一‘ 匕曰卜 禹 … 一 二下 茸二 一 选 幻 「 介 尹 卜叫一 尸 夕夕飞 沪沪 一一一了一一一 弃 厂 本文中薄壁物 体判据 曲线 了 五 ， 一 论 曰︸‘ 图 ‘ 本文对温度随时 间与空间坐标变化的偏微分 方程导 热 问题转化成温度 只随时 间变化的常微分 方程的导 热 问题的各种 条件进行 了分析 。 认 为 以物体导 热系数 无穷大为 判 据 条件 只具有理论价值 ， 在处理实 际 问题时无法应用 。 以 作为 判据 条件 ， 虽 是 目前 普遍采用 的判定薄壁 的 条件 ， 有 一定实用 价值 ， 但是这 个 条件未 曾考虑 时 间 的 影 响 。 用 每 个瞬时物体 内实 际最大温差 与最大温 升之 比的 无量纲最大温差值小于某值作为 判别 薄壁 的条件 ， 揭示 了 。 数 与 ‘数都 是影响是 否能将物体视为薄壁 的因 素 。 本 文 在 分析上述 各判据 条件的合理性 与局 限性之后 ， 提 出 了以物体内最大的无量纲温度梯度作 为 判别 薄壁物体的 条 件 ， 并 用 。 · ’ 与 作为影响这 个 条件的参数 。 在此 基础 上绘 制 的图 中所提供的 结果既揭 示 了 。 数与 的共同影响 ， 也揭 示了 目前普遍采用 的 以