放矿动力学方程初探

D0I:10.13374/j.issn1001053x.1989.02.018 北京科技大学学报 第J1卷第2期 Vol.11 No.? 1989年3月 Journal of University of Science and Technology Beijing Mar.1939 放矿动力学方程初探 赖森华童光煦 (采矿系) 摘要：在分折放矿过程中矿岩移动规律的基础上，提出了流动体和图结体断念。迎 立了矿岩块体力学模型和相应的动力学方程，应用变分原理推导出块体运动轨迹和确定流动 体形状，从理论上探讨放矿动力学过程取得了新的进展。 关健词：放旷，动力学，变分，轨迹，流动体 A New Approach to Drawing Dynamics Equation Lai Senhua Tong Guangxi ABSTRACT:Based on the analysis of fragment flowing regularity in the drawing process.a concept of flowing zone as well as consolidating zone has been presented.Ore flagment mechanical model and relevant formulas of dram ing dyramics also has been established.According to variation principles the motion locus of flagment as well as the shape of flowing zone has been determined. A new developement in the drawing dynamics process has been realized thecretically. KEY WORDS:drawing,dynamics,varialion,locus,flowing zone 放矿过程的实质是矿岩块体在放矿过程中运动的动力学过程。放矿运动学方面的研究， 如椭球体理论，放矿随机模拟和数值模拟等，由于不涉及事物变化的本质而具有较大的局限 性和不可靠性：1)。放矿动力学问题的研究，由于极其复杂性和目前的试验手段的不够（如对 放矿物中块体运动轨迹的精确测定等)而进展缓慢。 由此可见，如何对大量的已经掌握的放矿过程中出现的物理现象加以总结和分析，从而 上升到理论，如何在理论上加强放矿本质一动力学过程的研究和探索，是很有必要的，这 是本文研究的日的。 1958-07-19收稿 99

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 手 。 吕 放 矿 动 力 学 方 程 初 探 赖森华 童光煦 采矿 系 摘 要 在分 析放矿过 程 中矿 岩移 动 规 律 的甚础 上 ， 提 出 了流 动 体和 固结体 概 念 。 建 立 了矿 岩块 体 力学模 型 和相 应 的动力学方程 ， 应 用 变分原理 推 导出块体 运 动轨迹 和确定流 动 体 形 状 ， 从 理论 上探 讨放矿动 力学 过程 取得 了新 的 进 展 。 关键 词 放 护 ， 动 力学 ， 变 分 ， 轨 迹 ， 济 动 体 五 矛 月 刀夕 ‘ 夕劣 目如 ， 、 只、 手 一 盆 户 ， 、 、 · 从 飞 、 ， 。 五 们 、 认 · 门 、 ， ， 。 卜 。 。 一 、二 环 ， 一 ， 、 ， 。 ， ， 卜 放矿过 程 的 实质是 矿 岩块 体 在放 矿过 程 中运 动 的动 力学过 程 。 放 矿运 动学 方面 的研 究 ， 如 椭球体理论 ， 放矿随机 模拟和数值模拟 等 ， 由于 不涉及 事 物变 化的 本质而具有 较大 的 局限 性 和不可 靠性 「’ 〕 。 放矿动 力学 问题 的研究 ， 由于极其复 杂性 和 目前 的试 验 手段 的不够 如 对 放 矿物 中块 体 运动轨迹 的精 确测定 等 而进展 缓慢 。 由此可 见 ， 如 何对大 量 的已经掌握 的放 矿过 程 中出现 的物 理现象 加以总结 和 分析 ， 从而 上 升到 理论 ， 如 何在理 论上 加强放 矿 本质 — 动力学过 程 的 研 究 和探索 ， 是 很 有必 要 的 ， 这 是 本文 研究 的 日的 。 一 一 收稿 气 DOI ：10．13374／j ．issn1001—053x．1989．02．018

1放矿过程中矿岩块体运动规律和力学模型的建立 松散矿岩，一般由爆破或其它开采方法使岩体经突发性崩落后形成。块体表面常保留着 原始破坏面，即棱角锋利，各表面形状和火小差异其人。此外所提供的放出门尺寸和粒径的 比值较普通料仓（如砂仓、谷粒仓等）情况大大 的减小，之放矿斤续设备限制常为间断放矿， 因而矿岩体在放矿场中仪能作缓慢的、运动状态 不断改变的运动。而且运动块体区域与静止块体 区域间保持者间歇的无接触状态，即人们常称的 免压拱的现。为了研究问题的方便，我们将在放 场中处于静止状态的矿岩集合体称为固结体， 而处丁于运动状态的矿岩集介体称为流动体，如图 1所示。 在成刊过程中，矿岩块体的运动是相当复杂 的。就单独某一块体而音，其运动状态和力学作用 过程作在着广泛的随机性和突发性。要对放场 图1流动体形成示匙图 中的每一块体任每一时刻的运动状态和力学作用 1一流动体，2一固盐体 过程进行精确的描述和分析显然是难以实现的。 Fig.I The forming of flowing zone 根据矿旷岩块体自身特点和放矿场的边界条件，结合现有对放矿过程的观条结果，可将 岩块体在放矿场中的力学作用过程门纳为如下两种作用形式。 (1)矿岩块体在其运动轨道上的摩棕作用。尽管放矿时各块体运动轨迹很不规则，们从 宏观发，可以认为每一块体在放过程中均作各自的唯一轨道上运动。 如图2所示，块体作下落过程中山下初始位置不同而作在着速度差。就同一高度而言， 常近放出I心轴的块体下济速度较快，反之较慢。这样，块体在运动过程相接触便会 发生：摩擦作：川。 U. ZZZZ刀 Z255774 22函 图？运动块体学做作用示意图 图3块体羟受卓擦作用的受力图 Fig.2 The friction of flowing fragments Fig.3 Forces of friction action fragments 考总到块体间的摩棕作用是消耗块体运动能，阻碍块体间放出L!运动的·种L尼作门， 所以可将这些具有广泛随机性的复杂的块休间紧密接触的作用纳为作用任块体侧面、方向 与块体运动方向相反的表动滑动摩擦力的介力F和法向力合力N,如图3所示。 100

放矿过程 中矿岩 块体运动规律和 力学模型的 建立 松 散 矿 岩 ， 一 般 由爆 破 或 其它 开 采方 法使 岩体经 突发性崩 落后 形成 。 块 体表 面 常保 留着 原 始破坏 面 ， 即 棱 角锋利 ， 各表 面 形 状 和大 小 差异 共大 。 此 外所提供 的放 出 口 尺 寸 和粒径 的 比值 较 伶通 料 仓 如 砂仓 、 谷粒仓 等 情 况大 大 的减 小 ， 加之 放矿 一 后续 设 备限 制常 为 间断放矿 ， 因而矿岩 体 在放 矿 场 ‘卜仅 能 作缓 慢 的 、 运 动状 态 不 断改变 的 运 动 。 而月 运 动块 体区域 与静止块 体 区域 间保 持着间 歇 的无接 触状 态 ， 即人 们常 称 的 免压 拱 的 出现 。 为了研究 问题的方便 ， 我们 将 在放 矿 场 ，卜处 于静 卜状 态 的矿岩 集合 体称 为 固结 体 ， 而 处 于运 动状 态 的 矿岩 集 合 体称 为 流 动体 ， 如 图 所示 。 在放 矿过 程 「 ，， 矿岩 块 体的运 动是 相 当复 杂 的 。 就 单独 某一 块 体 而言 ， 其运 动状 态 和力学 作 用 过 程 存在着广泛 的随 机 性 和突 发性 。 要 对 放矿 场 ，卜的每一块 体 在每 一 时 刻 的运 动状 态 和 力 学作 用 过 程 进 行 精 确 的描 述和 分 析显然 是难 以 实现 的 。 图 流 动沐 形成 后 夕 愈图 一 流 功体 ， 一 一 结 体 根 据 矿岩 块 体 自身特 点和放矿 场 的边 界条件 ， 结 合现有 对放矿过 程 的观察 结 果 ， 可 将 矿 岩块 体在放 矿 ‘ 场 中 的 力学 作 用过 程归 纳 为如 下 两 种作 用 形 式 。 矿 岩 块 体 在其 运 动轨道 卜的摩擦 作用 。 尽 管放矿时 各块 体 运 动轨 迹很 不 规 则 ， 但 从 宏观 出发 ， 一 可以 认 为侮 一 块 体在放 矿过 程 ‘卜均 在 各 自的唯一 轨道 卜运 动 。 如 图 所 ， 七 ， 块 体 在 下落过 程 ‘ ，山 初始 位置 不同而 存 在着速度 荃 。 就 同 一 高度 而 ‘ ’ ， 靠近放 出 日 ，卜心 轴 钩块 体 卜落速 度 较快 ， 反 之 较慢 。 这样 ， 块 体 在 运 动过 程 中 相 互接 触 便 会 发 ， 几摩擦 作 川 。 少厂 、 图 运 动 块 体魔 擦 作川 示意 图 丁 图 块 体经 受康擦 作川 的受 力 划 「 ， 考 虑到 块 体 间 的摩 擦 作川是 消 耗块 体运 动能 ， 阻 碍块 体 向放 出 「运 动的 。 种同 尼 作 用 ， 所以 可 将 这些具有 广 泛随 机性 的 复杂 的块 体间紧密接 触 的作 用归 纳 为作 用 在块 体 侧 而 ， 方向 与块 体运 动 方向相 反 的表 而 动滑 动摩擦 力的 合 力 和法 向 力合 力 ， 如 图 所示

(2)矿岩块体运动时的碰撞作用 1,H.POTORLAKOHOB等人采用压力传感器测定流动散体中水平动推力的变化，间接测 定了散体的间歇性运动，并称为脉动【2)许多研究者所进行的放矿模拟试验和现场观察也获 得了相类似的结果。其实，就块体间的相互作用而言，脉动只不过是块体间碰撞作用的综合 效应。而且，脉动和碰撞是放矿的固有条件所确 定的，其中包括放出口尺寸的限制和块体大小不 一、表面形状复杂等。同时碰撞常受周周块体的 @ 约束而往往表现为塑性碰撞。 @ 同理，块体间的碰撞作用亦存在着广泛的随 机性。但从其对块体向放出口运动起阻碍作用的 Z225775 0 王2X 效应考虑，可简化为块体在其轨迹方向上运动时 发生的正面对心碰撞，如图4所示。 图1碰演作用的简化模型示意图 依碰撞定理，结合适当的简化[3可得到 Fig.1 Impact action model D=Kmv (1) 式巾D一碰撞平均作用力；m一块体质量；一块体运动速度； K一碰撞准阻尼系数。 2放矿动力学方程的建立与求解 经过上面的分析，矿岩块体在其轨迹上的运动·时刻的受力状态可用图5表示，其中 (a,)为块体放矿前初始坐标，(x,y)为t时刻坐标。 mg ZZZ2427557 图方块体受力分析图 Fig.s The force analysis of fragments 根据能最定理进行一系列运算后得到 ∫ √1+y'2dx -Ks+√K2s2+2g〔(h-y)-f(a-x) (2) 式中t一块体从点(a,h)运动到点(x,y)所花时间： s一点(a,h)到点(x,y)的轨迹曲线长； 手—一动滑动摩擦系数；9一重力加速度。 按照最小势能原理，放矿场中各块体在放矿过程中将朝势能最小的放出口位置运动或具 有该运动的趋势，而且运动轨迹也必将是总时间T最小的最速降线。这样，求解块体运动轨 101

矿岩块 体运 动时 的碰撞作 用 。 、 ， 。 等人 采用压 力传感器 测定流 动散 体 中水 平 动推 力的 变 化 ， 间接 测 定 了散 体 的间歇性运 动 ， 并称 为脉 动 〔 “ ’ 。 许 多研究 者 所进行 的放 矿 模拟试 验和现场观 察也 获 得 了相 类 似的结 果 。 其 实 ， 就块体间的相 互作用 而言 ， 脉 动只 不过是 块体间碰撞 作 用 的综 合 卜嗽义 卜吵、 ‘ 效应 。 而且 ， 脉动和碰撞是 放 矿的 固有条件所确 定 的 ， 其 中包括放 出 口 尺寸 的限 制和 块 体大小不 一 、 表 面 形状复 杂 等 。 同 时碰撞 常受周 围块体 的 约 束而往 往表 现为 塑性碰撞 。 同理 ， 块体 间的碰撞 作 用亦存 在 着广 泛 的随 机 性 。 但从其 对块 体 向放 出 口 运 动起 阻 碍作 用的 效应考虑 ， 可 简化 为块 体 在其轨迹方 向上运 动时 发生 的正面 对心碰撞 ， 如 图 所示 。 依碰 撞 定 理 ， 结 合适 当的 简化 「“ 〕 可 得到 式 中 —碰憧 平均 作 用 力 川 —块 体质 量 —碰 撞准 阻 尼系数 。 图 牛 碰 撞 作 用的 简 化模 型 示意 图 一 玉 。 — 块体 运 动速 度 放矿动 力学方程 的 建 立与求解 经过 上面 的分析 ， 矿岩块 体在其轨 迹 上 的运 动 时 刻 的受 力状 态可 用图 表 示 ， 其 中 。 ， 幻 为块 体放 矿前初 始坐标 ， 二 ， 为 时刻 坐标 。 ’于了 胜一十犷一，护‘ 一 图 汽 块 体受 力分 析 图 异 根 据能 量定理进行一系列运算后得到 了 一 了 护 厄 以 一 一 一 二 〕 月 大 式 中 —块 体从点 ， 运 动到 点 ， 所 花时间 —点 。 ， 到 点 二 ， 夕 的轨迹 曲线长 — 动滑 动摩 擦系数 — 重 力加速度 。 按 照最 小 势能 原理 ， 放矿场 中各块体 在放矿过程 中将 朝 势能最小 的放 出 口 位 置 运 动或 具 有该 运 动 的趋势 ， 而且 运 动轨迹也必 将是 总时间 最 小的最 速降线 。 这 样 ， 求解块 体运动轨

迹的问题便转化为泛函求极值的问题。利用变分法预备定理，求解获得欧拉方程，然后求解 该方程便可获得运动轨迹曲线方程，进而求解其它动力学方程。 综上分析结果，可获得如下儿组放矿动力学基本方程： (1)块体运动轨迹边值问题，提法为 P(x,)';Q(x,y)(1上y)y-g(1+y'2)(1+fy)=0 1(0)=0 (3) (a)=h (2)央体运动方程 V1+y'& 1=-。-KiVK0话-a-归dx (4) y=(x) (3)块体运动速度方程 v=-Ks+F: (y=(x) (5) (1)流动体形状方程 T=- viy Ja-Ks+F v=y(x) 以各式中 P(x.y)=F:(Fa-Ks) Q(xY)=Ks'(F-Ks) F,=VK”s?+2g〔(h-y)-f(a-x)门 y=3(x)一表h式(3)求解的轨迹方程：T一-块体由(a,h)运动到(0,0)所花 的时间：其余同。 式(3)为阶非线性微分方程的边值问题、“当K=0、了=0时为最速降线问题，可求得 精确解析解.轨迹曲线为摆线。对于一般情况、求北精确解较为附雅，为此可应用有限分 法求解。对于式()和式(6)可采用数值积！分。此，代(3)~代(6)均可通过数值方法获 得求解。 3计算示例与结果分析 3.1参数K与f的确定 碰撞准阻尼系数K具有明确的物理意义，可用放矿试验测定。我们设想、“放I轴爱 上：矿岩块体放出时，于其受周围的对称性载荷的作用，将作垂忙下降运.则轨迹方程为 x=0,1s=h-,a=0将它们代入动力学方程计算后可得 Ta=2gkthK:+KghKk:-2g lnv2g+Kih-Kh (7) v2g 式中Ta一高为h的放出门轴线【：块体到达放出门时间。 102

迹 的问题 便转 化 为泛 函 求极值 的问题 。 利用变 分法 预 备定 理 ， 段解 获 得欧 拉 方程 ， 然 后求 解 该方程 便可 获 得运 动轨 迹 曲线 方程 ， 进 而 求解 其它 动力华 方程 。 综 卜分 析结 果 ， 可 获 得如 下儿 组放 矿 动 力 ” 》 华本方 程 块 体运 动轨 迹 边值 问题 ， 提法 为 ‘ ， 介 ， 户 ， ‘ ， ， ， ， 上 ， ‘ ， 夕 ‘ 一 夕 〕 ， ‘ 夕 ‘ 二 少 · 少 ’ 二 块 体运 动方 程 、门 ‘ 一 了 竺 丰 刀〔 一 一 口 一 戈 〕 丫 ︺ 戈 块 体运 动速 度 方程 二 一 干 。 ， 。 ， 流 动体 形状 方 程 弓 二 “ 夕 、 ’ 之 一 以 卜各式 ， 尸 ， 一 幼 戈 ， ， ， ‘ 、 一 厂 二 、 〔 内一 夕 。 一 〕 一 川 — 表 示 山式 求 解 的 轨 迹 方 程 — 体 由 。 ， 运 动 到 。 ， 所 花 ’ 时 ’ 七余 ，司 。 式 为 」介 三线 性微 分 方程 的边 浪问题 ， ’场 。 ， 寸为最 速 降线问题 ， 可 求 得 精 确解 析解 ， 轨 如 线 为摆 线 。 对 干一 般情 祝 求 其精 确解 较 为困 难 ， 为此 可应 用有 限 外 分 乙求解 。 又于 一 几式 不日大 可 采用 数俏 积 分 。 至 此 ， 式 一 式 均 ，， 通过 数 〔’ 法 获 幸赓求解 。 弓 计算 示例与结果分析 参数 与 的 确 定 碰撞 准 阻 尼 系 数 典有 明 确的物 理 意 义 ， 可 用 放矿试 验 测 定 。 我 们 设 想 ’ 放 出 日 轴 线 矿岩块 体 放 出时 ， 由 共受 周围 的对 称性 载 荷 的 作用 ， 将 作 垂 改 降 运 动 则轨 迹 ，’ 释 为 二 ， 二 儿一 夕 ， 口 二 将 它们 代入 动 力学 方 程 计算后可 得 丁 二 、 〔 “ 、 万孤干“ 瓜“ 一 。 式 中 。 一 一 高 为 人 的 放出 轴 线 卜块 体到 达 放出 ， 、 “ “ 七翌七 、 了 门 时 ’ 一

可见，只要测定h与Ta,便可由式(7)获得K。 动滑动摩擦系数于是块体滑动时所受周围块体的表面摩擦作用的综合效应，可通过3轴 剪切试验确定，且有 f=ctad (8) 式中—松散体内摩棕角；c一系数，c<1。 3,2计算示例与结果分折 50 鉴于本文采用的放矿动力学问题的分析方 40 法是首先由作者提出的，而且完全不同于传统 的放矿试验的各种研究方法，其方法的可靠性 30 和可应用性还有待更多的考察和探讨，所以以 下所进行的计算示例将更多地着重于块体运动 20 轨迹和流动体形状的讨论，因为它们是放矿动 1U+ 力学问题研究的核心。经计算可获得如下几方 -:4.0 面的结果。 10 2030 40.50 (])K与∫对块体运动轨迹的影响 x,m 图6中的虚线为∫=0和K=0时块体运动 图6碰挤作用对块体运动轨迹的影响 轨迹曲线，该曲线为最速降线问题求解获得的 Fig.6 The effect of impact action on the 摆线，尽管在放矿过程中的块体不可能存在这 motion locus of fragments 种条件，列出的目的是与后面结果相对比，而且由此可称后者为准摆线。 了K值改变对块体运动轨迹不产生显著的影响 如图6所示，当K=4.0时，其轨迹曲线仍与虚线（这是在∫=0条件下计算的结果）很 接近。 由于K描述的是因放矿场边界，特别是放出口尺寸与位置的限制，而使运动块体间产生 50m 碰撞作用，并简化为正面的对心碰撞作用，因 此它对块体运动方向的改变将不会产生主要的 40 显著作用 ②∫值对块体运动轨迹产生重要的影响 图T为K=0时（即单纯考虑摩擦作用 时)，块体运动轨迹随摩擦阻尼系数f的改变 而改变。其规律为：随∫的增大，轨迹曲线偏 离原摆线距离越大；随着块体初始位置距放出 1=1.0 口中心线的距离增大，前述效应加强， --∫=0 这是因为∫描述的是块体轨迹线切向载 0 20 30 40 50 x,m 荷，即块体间相互摩擦作用的效应，其大小的 变化必然引起块体运动方向的偏离，以实在到 图？摩擦作用对块体运动轨迹的影响 达放出口最速路径的运动。同时∫的增大使运 Fig.7 The effect of friction action on 人 the motion locus of fragments 动轨迹往下偏离，其运动路径由陡变缓，这便 103

可 见 ， 只要 测定 人 与 ， 便可 由式 获 得 尤 。 动滑动摩 擦系数 是块 体滑 动时 所受 周围块 体 的表 面 摩擦作用 的综 合效 应 ， 可 通过 轴 剪切 试 验 确定 ， 日有 。 十只功 日 式 中诱— 松散 体 内摩 擦角 。 — 系数 ， 口 。 计算示 例 与结果 分 析 鉴 于 本文 采用 的放 矿 动力学 问题 的分析 方 法是首先 由作者提 出的 ， 而且完全 不 同于 传统 的放矿试验 的各种研究 方 法 ， 其方法 的可靠性 不可 应 用性还有 待更 多 的考察和探讨 ， 所以 以 下所进 行 的计算示例 将 更 多地 着重 于块 体运 动 轨迹和流 动体形状 的讨 论 ， 因为 它们是放矿 动 力学 问题研究 的核心 。 经 计算可 获 得如 下 几方 面 的结 果 。 川 与 对 块 休运 动轨迹 的影响 图 中的虚线 为 和 时块 体运 动 轨 迹 曲线 ， 该 曲线 为最 速 降线 向题 求解 获 得 的 摆 线 ， 尽管 在放 矿过 程 中的块 体不可能 存 在 这 … 厂 、 广夕 聆夕 夕 芬了 班 。 一 一磷。 一 ， 图 碰掩 作用 对 块 体 运 动轨 迹 的 彩响 二 ， 种 条件 ， 列 出 的 目的是 与后面 结 果相 对 比 ， 而且 由此可 称 后 者 为准 摆线 。 子 值改变 对 块 体运 动轨 迹 不 产生 显著的影响 如 图 所示 ， 当 二 时 ， 其轨 迹 曲线仍 与 虚线 这是 在 了 。 条件 下 计算 的结果 很 接 近 。 由于 描述 的是 因放矿场 边 界 ， 特别是 放 出 口 尺寸 与 位 置 的限 制 ， 而使 运 动块 体间 产生 毛、 … ， 。 ， 了 ‘ ’ 卜 仍 ’ · 了… 矛夕代卜 杯 会户江 ， 爪 图 摩擦 作 用对 块 体运 动 轨 迹 的 影响 丁 乍 万 于 几 吸 巴 碰撞 作用 ， 并 简化 为 正面 的对心 碰撞作用 ， 因 此它对块体运 动方 向 的改变 将不会产生主要 的 显著 作 用 ② 值 对块 体运 动轨迹 产生重要 的影响 图 为 时 即单 纯考 虑 摩 擦 作 用 时 ， 块 体 运 动轨迹 随 摩擦 阻 尼系 数 了的改变 而 改变 。 其规 律 为 随 的增大 ， 轨迹 曲线偏 离 原摆 线距离越大 随 着块体 初始位置距放 出 口 中心线 的 距 离增大 ， 前述效应加 强 。 这是 因 为 描述 的是 块体轨 迹 线 切 向 载 荷 ， 即块 体 间相 互摩擦作 用 的效 应 ， 其大 小 的 变 化必 然引 起 块 体运 动 方向 的偏离 ， 以 实在到 达 放 出 自最 速 路径 的运 动 。 同 时 的增大使运 动轨迹 往下偏离 ， 其运 动路径 由陡 变 缓 ， 这 便