2 - -y dxd d)ert=r(1-e“) D 例3求广义积分e 解D1={(x,y)|x2+y2sR2} D2={(x,y)|x2+y2≤2R S={(x,y)|0≤x≤R,0≤y≤R} {x≥0,y≥0}显然有D1cScD2 e ∫ ydxdy se x-ds小eao D
e dxdy D x y − − 2 2 − = a r d e rdr 0 2 0 2 (1 ). 2 a e − = − 例 3 求广义积分 − 0 2 e dx x . 解 {( , )| } 2 2 2 D1 = x y x + y R S D1 D2 {( , )| 2 } 2 2 2 D2 = x y x + y R S = {(x, y)| 0 x R,0 y R} {x 0, y 0} 显然有 D1 S D2 0, 2 2 − x − y e − − 1 2 2 D x y e dxdy − − S x y e dxdy 2 2 . 2 2 2 − − D x y e dxdy
又∵∴I dxdy R R R x e = 0 R T I=llexydxdy=2 dee-rdr =(1 R ); 0 0 ∫eady=n( 2R 同理129D2 ); 11<I< 29 T R (1 R 2R < e 当R→时,1→424 T
又 − − = S x y I e dxdy 2 2 − − = R y R x e dx e dy 0 0 2 2 ( ) ; 2 0 2 − = R x e dx I1 = − − 1 2 2 D x y e dxdy − = R r d e rdr 0 0 2 2 (1 ); 4 2 R e − − = 同理I2 = − − 2 2 2 D x y e dxdy (1 ); 4 2 2R e − − = , 1 2 I I I (1 ); 4 (1 ) ( ) 4 2 2 2 2 2 0 R R R x e e dx e − − − − − 当R → 时, , 4 1 I → , 4 2 I →