定积分的分部积分法 分部积分公式 定积分也可以象不定积分一样进行分部积分, 设函数u(x)、v(x)在区间[a,b上具有连续导数,则 b b 有 uav vdu 定积分的分部积分公式 推导(a)=l+mn,r( (uv)'dx=p, u'vdx+ uv'dx b ∴u=v
定积分也可以象不定积分一样进行分部积分， 设函数u(x)、v( x)在区间a,b上具有连续导数，则 有 = − b a b a b a udv uv vdu. 定积分的分部积分公式 推导 (uv) = uv + uv , ( ) , b a b a uv dx uv = , = + b a b a b a uv u vdx uv dx . = − b a b a b a udv uv vdu 定积分的分部积分法 一、分部积分公式
例1计算 arcsin xar. 解令W= arcsinx,巾=d 2 d rdx arcsin ra =lxarcsinx 2 0 0 1 (1-x2) 262 3 十 122
解 arcsin . 2 1 0 xdx 令 u = arcsin x, dv = dx, 则 , 1 2 x dx du − = v = x, 2 1 0 arcsin xdx 2 1 = xarcsin x 0 − − 2 1 0 2 1 x xdx 2 6 1 = (1 ) 1 1 2 1 2 0 2 2 1 d x x − − + 12 = 2 1 0 2 + 1− x 1. 2 3 12 = + − 例1 计算
例2计算「 01+c0s2x 解1+c0s2x=2c0s2x, r xix tan 01+cos 2x Jo 2 cosx Kx tanx]o-aJo tan xdx 2 π—8 In sec x πIn2 84
1 cos2 2cos , 2 + x = x + 4 0 1 cos 2x xdx = 4 0 2 2cos x xdx d( x) x tan 2 4 0 = 4 0 tan 2 1 = x x tan xdx 2 1 4 0 − 4 0 lnsec 2 1 8 − = x . 4 ln2 8 − = 例2 计算 . 1 cos 2 4 0 + x xdx 解
例3计算 1 In(1+x) b(2+x)2 解 1 In(1+x) (2+x)2 In(1+ xd 2+x In(1+x) dIn(l+x) 2+x 2+x In 2 dx 1 3 02+x1+x 1+x2+ In 2 +[m(1+x)-ln(2+x)b 3 5 In2-ln 3 3
例3 计算 . (2 ) 1 ln(1 ) 0 2 + + dx x x 解 + 1 + 0 2 (2 ) ln(1 ) dx x x + = − + 1 0 2 1 ln(1 ) x x d 1 2 0 ln(1 ) + + = − x x + + + 1 0 ln(1 ) 2 1 d x x 3 ln2 = − dx x x + + + 1 0 1 1 2 1 x + x − + 2 1 1 1 1 0 ln(1 ) ln(2 ) 3 ln2 = − + + x − + x ln2 ln3. 3 5 = −
例4设f(x)= x2 sint d,求Jx(x)tx sint 解因为没有初等形式的原函数, 无法直接求出f(x),所以采用分部积分法 f(x)dx =lf(x)d(x2) f(x x df(x) 0 f(1) 2Jxf'(x)dx
例 4 设 = 求 2 1 , sin ( ) x dt t t f x ( ) . 1 0 xf x dx 解 因为 t sint没有初等形式的原函数， 无法直接求出 f (x)，所以采用分部积分法 10 xf ( x )dx = 10 2 ( ) ( ) 21 f x d x 10 2 ( ) 21 = x f x − 10 2 ( ) 21 x df x ( 1 ) 21 = f − 10 2 ( ) 21 x f x dx