曲率 前面讲了单调性、极值、最值、凹凸性。 我们知道凹凸性反映的是曲线的弯曲方向,但 是朝同一方向弯曲的两条曲线,其弯曲的程度 也不尽相同。曲率就是表征弯曲程度的量,它 等于单位路程上方向(角度—切线的倾斜角) 的改变量
曲 率 前面讲了单调性、极值、最值、凹凸性。 我们知道凹凸性反映的是曲线的弯曲方向，但 是朝同一方向弯曲的两条曲线，其弯曲的程度 也不尽相同。曲率就是表征弯曲程度的量，它 等于单位路程上方向（角度——切线的倾斜角） 的改变量
、弧微分 设函数f(x)在区间(a,b) 内具有连续导数 R 基点:A(x0,y), M(x,y)为任意一点 0 +△ 规定:(1)曲线的正向与x增大的方向一致; (2)AM=s,当AM的方向与曲线正向 致时,s取正号,相反时,s取负号
一 、弧微分 N R T A x0 M x x x . ( ) ( , ) 内具有连续导数 设函数f x 在区间 a b x y o : ( , ), 0 0 基点 A x y M(x, y)为任意一点, 规定：(1)曲线的正向与x增大的方向一致; (2) AM s, 一致时, 取正号,相反时, 取负号. 当 的方向与曲线正向 s s AM
单调增函数s=s(x) R 设N(x+△x,y+△y),如图, x+△vx MN<<M+NT当Ax→0时 MN=(△r2+(△p)2=1+()△x→1+y2t, X 众N=△→ MT=√d)2+(dy)2=1+y2d NT=4y-d→0,故=1+y2x,(弧微分公式 s=s(x)为单调增函数,故d=√1+y"x
单调增函数 s s(x). 设N(x x, y y), 如图， MN MN MT NT 当x 0时, 2 2 MN (x) (y) x x y 2 1 ( ) 1 , 2 y dx MN s ds, 2 2 MT (dx) (dy) 1 , 2 y dx NT y dy 0, 1 . 2 故 ds y dx s s(x)为单调增函数, 1 . 2 故 ds y dx 弧微分公式 N M T A R x0 x x x x y o
、曲率及其计算公式 1曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量。 2 △S M △S M M △S,N 人△ 弧段弯曲程度 转角相同弧段越 越大转角越大 短弯曲程度越大
二、曲率及其计算公式 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。 M1 M3 )2 M2 S2 S1 M M S1 S2 N N ) 弧段弯曲程度 越大转角越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 1.曲率的定义 1 )
设曲线C是光滑的, M是基点.MP=△s, M △S M→M切线转角为△a.MSM +△o 定义 弧段MM的平均曲率为K △a 曲线C在点M处的曲率K=lim △a △s>0△s 在m4a2=a存在的条件下,K=(a △s→>0△sd ds
) S S ) . M . M C M0 y o x . s MM K 弧段 的平均曲率为 （ 设曲线C是光滑的， . M0 是基点 MM s, （ M M 切线转角为 . 定义 s K s 0 曲线C在点M处的曲率 lim lim , 0 在 存在的条件下 ds d s s . ds d K