隐函数与参量函数微分法 、隐函数的导数 定义:由方程所确定的函数y=y(x)称为隐函数 y=f(x)形式称为显函数 F(x,y)=0y=f(x)隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导
隐函数与参量函数微分法 一、隐函数的导数 定义: 由方程所确定的函数 y = y(x)称为隐函数. y = f (x) 形式称为显函数. F(x, y) = 0 y = f (x) 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导
设F(x,y)=0确定了一元隐函数y=y(x) 将y=y(x)代入F(x,y)=0得u=F|x,y(x)≡0 0 两边对x求导,当遇到y的函数f(y)时 要求的是[f()记z=f(y) z→>y->x
设F(x, y) = 0确定了一元隐函数 y = y(x) 将 y = y(x)代入F(x, y) = 0得 u = F[x, y(x)] 0 = 0 dx du 则 两边对 x 求导，当遇到 y 的函数 f(y)时 [ f ( y)] dx d 要求的是 记 z = f ( y) z → y → x dx dy dy dz dx dz = dx dy = f ( y)
将求出的这些导数代入=0 得到关于的代数方程, dx 解得=g(x,y即为所求 至于隐函数求二阶导数,与上同理 在=g(x,y)两边再对x求导 →d2y=G(x,y,y)再将=g(x,y)代入 dx
将求出的这些导数代入 = 0 dx du 得到关于 dx dy 的代数方程， 解得 g(x, y)即为所求 dx dy = 至于隐函数求二阶导数，与上同理 在 g x y 两边再对 x求导 dx dy = ( , ) ( , , ) 2 2 G x y y dx d y = 再将 g(x, y)代入 dx dy =
例1求由方程x-e+e"=0所确定的隐函数 P的导数的,中 dx dx x=0 解方程两边对x求导, ytx e"+e 0 d x 解得=°-,由原方程知x=0,y=0 dx xtel 小y e 无= 无= rely=o
例1 , . 0 =0 − + = x x y dx dy dx dy y xy e e 的导数 求由方程 所确定的隐函数 解 方程两边对 x求导, + − + = 0 dx dy e e dx dy y x x y 解得 , y x x e e y dx dy + − = 由原方程知 x = 0, y = 0, 0 0 0 = = = + − = y y x x x x e e y dx dy = 1
例2设曲线C的方程为x3+y3=3x,求过C上 点(,)的切线方程,并证明曲线C在该点的法 线通过原点 解方程两边对x求导,3x2+3y2y=3y+3xy y=r 所求切线方程为y274J 3 即x+y-3=0 法线方程为y-Y=x 2 3即y=x,显然通过原点 2
例2 . ) , 2 3 , 2 3 ( 3 , 3 3 线通过原点 点 的切线方程 并证明曲线 在该点的法 设曲线 的方程为 求 过 上 C C x + y = xy C 解 方程两边对 x求导, 3x + 3 y y = 3 y + 3xy 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( y x y x y − − = = −1. 所求切线方程为 ) 2 3 ( 2 3 y − = − x − 即 x + y − 3 = 0. 2 3 2 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x, 显然通过原点