重积分的应用 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时,所求量U相应 地分成许多部分量,且U等于部分量之和),并且 在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域dσ时, 相应地部分量可近似地表示为f(x,y)d的形式, 其中(x,y)在do内.这个∫(x,y)do称为所求量U 的元素,记为U,所求量的积分表达式为 U=llf(x, y)do
d d f (x, y)d (x, y) f (x, y)d 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应 地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且 在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时， 相应地部分量可近似地表示为 的形式， 其中 在 内．这个 称为所求量U 的元素，记为 ，所求量的积分表达式为 = D U f (x, y)d dU 重积分的应用 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中
对三重积分而言Ⅴbc2,v(x,y,)∈ AU≈∫(x,,z)h→U=f(x,y,z)h U=llf(,, a)di 1。平面图形的面积 由二重积分的性质,当fx,y)=1时 区域D的面积=do 2。空间立体的体积 设曲面的方程为z=f(x,y)≥0,(x,y)∈D
dv ,(x, y,z)dv U f (x, y,z)dv dU = f (x, y,z)dv = U f (x, y,z)dv 1。平面图形的面积 由二重积分的性质，当 f( x, y ) =1 时 区域D的面积 = D A d 2。空间立体的体积 设曲面的方程为 z = f (x, y) 0,(x, y) D 对三重积分而言
则曲顶柱体的体积为=f(x,)da 由三重积分的物理意义知空间闭区域Ω2的体积为 ∫』 例1计算由曲面z=1-4x2-y 与xOy面所围成的立体的体积 解一用二重积分 D:42+y2s1=(-4x2-y) 由对称性得
则曲顶柱体的体积为 = D V f (x, y)d 由三重积分的物理意义知空间闭区域 的体积为 = V dv 计算由曲面 2 2 z = 1− 4x − y 解一 用二重积分 与 xoy 面所围成的立体的体积 : 4 1 2 2 D x + y = − − D V (1 4x y )dxdy 2 2 由对称性得 例1
14 V=41-4x2-y2)dcy=4d(-4x2-y2) 0 0 8 (1-4x)2dx=3. cos tdt 3 32 0 解二用三重积分 0
− = − − = − − 1 2 2 1 0 1 4 0 2 2 2 2 4 (1 4 ) 4 (1 4 ) D x V x y dxdy dx x y dy = − = = 2 0 4 2 1 0 2 3 2 4 cos 2 1 3 8 (1 4 ) 3 8 x dx tdt 解二 用三重积分 = = 1 V dv 4 dv − − − = = 2 1 0 1 4 0 1 4 0 2 2 2 4 4 x x y dx dy dz
例2求z=2-x2-y2z=x2+y2所围成的立体的体积 解一V=V2-V1=(2-x2-y2do (x2+y2)d 2j(-x2-y2)da(用极坐标) =2|40(1-r2)rt= 解二Ω是柱形区域,用柱坐标 v=ll dv= do dr rdz =27|r(2-2r2)d=
求 z = 2 − x 2 − y 2 ,z = x 2 + y 2 所围成的立体的体积 解一 = − = − − − + D D V V V (2 x y )d (x y )d 2 2 2 2 2 1 = − − D 2 (1 x y )d 2 2 （用极坐标） = − = 2 0 1 0 2 2 d (1 r )rdr 解二 是柱形区域，用柱坐标 = V dv − = 2 0 1 0 2 2 2 r r d dr rdz = − = 1 0 2 2 r(2 2r )dr 例2