定积分的性质 、基本内容 对定积分的补充规定: (1)当a=b时,f(x)x=0; (2)当a>b时,f(x)dx=-f(x)k 说明在下面的性质中,假定定积分都存 在,且不考虑积分上下限的大小
对定积分的补充规定: （1）当a = b时， ( ) = 0 b a f x dx ； （2）当a b时， = − a b b a f (x)dx f (x)dx. 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小． 说明 定积分的性质 一、基本内容
性质1 b 1f(x)±g(x)x=,f(x)t士!,(x)k 证1(x)士g(x)h=lm∑几(5)士g)△ =lim∑f(5)A±limZ8(5)x1 f(x)dc±.g(x)d (此性质可以推广到有限多个函数作和的情况) ∫Σfx)=∑「(x)k i=1
b a [ f (x) g(x)]dx= b a f (x)dx b a g(x)dx . 证 b a [ f (x) g(x)]dx i i i n i = f g x = → lim [ ( ) ( )] 1 0 i i n i = f x = → lim ( ) 1 0 i i n i g x = → lim ( ) 1 0 = b a f (x)dx ( ) . b a g x dx （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1 = = = b a n i b a i n i f i x dx f x dx 1 1 [ ( )] ( )
性质26(xk=k(x)d(k为常数) 证(x)=lm∑的(5△r im∑f(5Ax=klim∑f(5)x kf(xdx 性质1+性质2得:
性质2 = b a b a kf (x)dx k f (x)dx (k为常数). 证 b a kf (x)dx i i n i = kf x = → lim ( ) 1 0 i i n i = k f x = → lim ( ) 1 0 i i n i = k f x = → lim ( ) 1 0 ( ) . = b a k f x dx 性质1+性质2 得：
lnf()+ ug(x)dx af(x)dx+u g(x)dx 推广: ∫∑k,1(x)=∑fx)dx 即线性组合的定积分等于定积分的线性组合 说明定积分也具有线性运算性质
+ b a [f (x) g(x)]dx = + b a b a f (x)dx g(x)dx 推广： = = = b a n i n i b a ki f i x dx ki f i x dx 1 1 [ ( )] ( ) 即线性组合的定积分等于定积分的线性组合 ——说明定积分也具有线性运算性质
性质3假设a<c<b f(x)dx=f()dx+5f(x)dx 补充:不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立 例若a<b<c, ∫∫(x)ds=(x)k+Jf(x)d 则,f(x)ltx=J∫(x)d-(x)d ∫f(x)x+f(x)tx (定积分对于积分区间具有可加性)
假设a c b b a f (x)dx = + b c c a f (x)dx f (x)dx. 补充：不论 a,b,c 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 a b c, c a f (x)dx = + c b b a f (x)dx f (x)dx b a 则 f (x)dx = − c b c a f (x)dx f (x)dx ( ) ( ) . = + b c c a f x dx f x dx （定积分对于积分区间具有可加性） 性质3