证明: E(∑X)=∑Ek=∑= D(∑X)=∑Dxk= 2 2 no n 由切比晓夫不等式得:PH2x-KQ k=1 当m→时,P-∑x-k8
∑ = ∑ = ∑ µ = µ = = = n k n k k n k k n EX n X n E 1 1 1 1 1 ) 1 ( 2 2 2 1 2 1 1 1 1 ) 1 ( σ σ n n n DX n X n D n k k n k ∑ k = ∑ = = = = | } 1 1 {| 1 → ∞ ∑ − < = = µ ε n k X k n 当 n 时， P 。 由切比晓夫不等式得： 2 2 1 | } 1 1 {| ε σ µ ε n X n P n k ∑ k − < ≥ − = 证明：
定理52,2(贝努里大数定律)设是n次独立重复试验 中事件A发生的次数nA,记f1(A=nA/,p是事件A发生 的概率,则有()-→p 即对任意的8>0,有lmP(-p≥E}=0 或 n->00 n->00 n pke= lim P-A 在第k次试验中A不发生 证:令X= k=12 ,在第次试验中A发生 则n=∑X,且x…X相互独立同服从于0-1分布 故EX=p,DXk=p(1-p),k=1,2,…,n,… 由推论有limP ∑x-pk8}=1 n2->00 即imP(-pks}=1。此定理说明了频率的稳定性
证： 令 k n k A k A Xk 1,2, , 1 0 = " = ， ，在第 次试验中 发生 ，在第 次试验中 不发生 故 EX k = p， DX k = p ( 1 − p )， k = 1,2," , n," | } 1 1 lim {| 1 ∑ − < = = − > ∞ X p ε n P n i i n 由推论有 , 即 lim {| − |< } = 1 − > ∞ p ε n n P A n 。此定理说明了频率的稳定性。 则 ∑= = n k n A Xk 1 ，且 X Xn , , 1 " 相互独立同服从于 ( 0 − 1 )分布 定理5.2.2（贝努里大数定律）设是 n次独立重复试验 中事件 A发生的次数 n A，记 f n(A)= n A /n，p是事件 A发生 的概率，则有 () . P nf A p → 即对任意的 ε>0 ，有 或 lim {| − |< } = 1 − > ∞ p ε n n P A n lim {| − |≥ } = 0 − > ∞ p ε n n P A n