几乎是均匀分布的(如图4-4-2)。接着,管壁切应力就使得接近管壁部分的质点速 度逐渐减低;为了满足连续性要求,管中心区域的质点必需加快速度。一直到过 水断面(AB)上流速呈抛物面分布,断面流速分布才不再沿程而变,从进口速度接 近均匀到管中心流速到达最大值的距离称管道进口起始段,长度为1′ 可 根据 H L Langhans推导的公式 边界层 建成层流段 图4-4-2 ′/D=0.058Re 进行计算。式中D为管径,Re为液体的雷诺数。 在起始段中各断面的动能改正系数a≠2,阻力系数=4,式中A为无量 纲系数。α及A随入口后的距离而改变,其值可查根据实验资料整理出的表4-1 在计算h时,如管长b>,则不必考虑起始段;否则要加以考虑,分别计 算 表4-1层流起始段的a及A值表 55751012.515|17.520 252875 DR 14051.5521.6421.7161.7791.8201.86619061.9642 12210596668882479.1676.4174.37571569.56 §4-5液体的紊流运动 1.紊流运动要素的脉动及时均化 紊流运动的基本特征是质点不断地互相混掺,使液流各点的流速、压强等运 动要素在空间上和时间上都具脉动性。如图4-5-1所示
几乎是均匀分布的(如图 4-4-2)。接着，管壁切应力就使得接近管壁部分的质点速 度逐渐减低；为了满足连续性要求，管中心区域的质点必需加快速度。一直到过 水断面(AB)上流速呈抛物面分布，断面流速分布才不再沿程而变，从进口速度接 近均匀到管中心流速到达最大值的距离称管道进口起始段，长度为 l′。l′ 可 根据 H.L.Langhaas 推导的公式 图 4-4-2 l′/D=0.058Re 进行计算。式中 D 为管径，Re 为液体的雷诺数。 在起始段中各断面的动能改正系数α≠2，阻力系数 Re A = ，式中 A 为无量 纲系数。α及 A 随入口后的距离而改变，其值可查根据实验资料整理出的表 4-1。 在计算 hf 时，如管长 l>>l′，则不必考虑起始段；否则要加以考虑，分别计 算。 表 4-1 层流起始段的α及 A 值表 D Re l ·103 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 25 28.75 α 1.405 1.552 1.642 1.716 1.779 1.820 1.866 1.906 1.964 2 A 122 105 96.66 88 82.4 79.16 76.41 74.375 71.5 69.56 §4-5 液体的紊流运动 1．紊流运动要素的脉动及时均化 紊流运动的基本特征是质点不断地互相混掺，使液流各点的流速、压强等运 动要素在空间上和时间上都具脉动性。如图 4-5-1 所示
()曲线 0曲线 图4-5-1 在恒定水位下的水平圆管紊流中,采用激光测速仪测得液体质点通过某固定 空间点A的各方向瞬时流速x、l对时间的关系曲线l2(0)、lf(1。可以看出:某 空间点的瞬时速度虽然随时间不断变化,但却始终围绕着某一平均值而不断跳动。 这种跳动叫脉动( Pulsation)。这一平均值称作时间平均流速,用正,、,表示。图 中AB线的纵坐标就是瞬时速度№在T时段内的平均值矿(可用毕托管测得)。其 数学关系式表示为 (odu 式(4-5-1)就是时均流速的定义。由图(45-1)可以看出时均值和所取时段长短有关, 如时段较短(取Ti),则时均值为证。但是因为水流中脉动周期较短,所以只要时 段T取得足够长就可以消除时段对时均值的影响 显然瞬时流速由时均流速和脉动流速两部分组成,即 (45-2a) uy=uy +I (4-5-2b) (45-2c) 式中x、l、l为x、y、z方向的瞬时流速,,、、正为x、y、z方向时均流 速,n、v、为x、y、z方向的脉动流速。将式(4-5-2a代入式(451)展开,可 得 ldt=0 即脉动流速vx的时均值矿=0。同理v=0,=0。 以上这种把速度时均化的方法,也可以用到其它运动要素上。如瞬时压强 p=p+
图 4-5-1 在恒定水位下的水平圆管紊流中，采用激光测速仪测得液体质点通过某固定 空间点 A 的各方向瞬时流速 ux、uy 对时间的关系曲线 ux(t)、uy(t)。可以看出：某 空间点的瞬时速度虽然随时间不断变化，但却始终围绕着某一平均值而不断跳动。 这种跳动叫脉动(Pulsation)。这一平均值称作时间平均流速，用 x u 、 y u 表示。图 中 AB 线的纵坐标就是瞬时速度 ux 在 T 时段内的平均值 x u (可用毕托管测得)。其 数学关系式表示为 u t dt T u x T x ( ) 1 0 = (4-5-1) 式(4-5-1)就是时均流速的定义。由图(4-5-1)可以看出时均值和所取时段长短有关， 如时段较短(取 T1)，则时均值为 1 x u 。但是因为水流中脉动周期较短，所以只要时 段 T 取得足够长就可以消除时段对时均值的影响。 显然瞬时流速由时均流速和脉动流速两部分组成，即 ux ux ux = + (4-5-2a) u y u y u y = + (4-5-2b) uz uz uz = + (4-5-2c) 式中 ux、uy、uz 为 x、y、z 方向的瞬时流速， x u 、 y u 、 z u 为 x、y、z 方向时均流 速， x u 、 y u 、 z u 为 x、y、z 方向的脉动流速。将式(4-5-2a)代入式(4-5-1)展开，可 得 0 1 0 = u dt T x T 即脉动流速 x u 的时均值 x u =0。同理 y u =0， z u =0。 以上这种把速度时均化的方法，也可以用到其它运动要素上。如瞬时压强 p = p + p
其中时均压强p 7mt;p′为脉动压强。 这样,就可以把紊流运动看作时间平均流动和脉动的叠加,而分别加以研究。 严格地说,紊流总是非恒定流;但可根据运动要素时均值是否随时间变化,将紊 流分为恒定流与非恒定流。根据恒定流导出的水动力学基本方程,对于时均恒定 流同样适用。以后本书中所提到的关于在紊流状态下,水流中各点的运动要素都 是指的“时间平均值”而言,例如时间平均流速ⅱ、时间平均强度p等。为了方 便起见,以后就省去字母上的横划,而仅以、P表示。 应当指出,以时均值代替瞬时值固然为研究紊流运动带来了很大方便。但是 时均值只能描述总体运动,不能反映脉动的影响。如图4-5-2所示的两组脉动值, 它们的脉动幅度、频率各不同,但其时均值却可以相等。紊流的固有特征并不因 时均而消失。因此对于与紊流的特征直接有关系的问题,如紊流中的阻力和过水 断面上流速分布问题,必须考虑到紊流具有脉动与混掺的特点,才能得出符合客 观实际的结论 八A 图4-5-2 2.紊流切应力、普朗特混和长度理论 层流运动中,质点成层状相对运动,其切应力仅由粘性引起,可用牛顿内摩 擦定律进行计算。然而,紊流的切应力由两部分组成:其一,从时均紊流的概念 出发,可将运动液体分层。因为液层的时均流速不同,存在相对运动,所以各液 层之间也存在粘性切应力( Viscous Shear Stress),这种粘性切应力也可用牛顿内摩 擦定律表示,即 d 式中为时均流速梯度。其二,由于紊流中质点存在脉动,相邻液层之间就有质 量的交换。低速液层的质点由于横向脉动进入高速液层后,对高速液层起阻滞作 用;相反,高速液层的质点在进入低速液层后,对低速液层却起推动作用。也就 是质量交换带来了动量交换,从而在液层分界面上产生了紊流附加切应力 (Add itional Turbulent Shear Stress)i2
其中时均压强 pdt T p T = 0 1 ；p′为脉动压强。 这样，就可以把紊流运动看作时间平均流动和脉动的叠加，而分别加以研究。 严格地说，紊流总是非恒定流；但可根据运动要素时均值是否随时间变化，将紊 流分为恒定流与非恒定流。根据恒定流导出的水动力学基本方程，对于时均恒定 流同样适用。以后本书中所提到的关于在紊流状态下，水流中各点的运动要素都 是指的“时间平均值”而言，例如时间平均流速 u 、时间平均强度 p 等。为了方 便起见，以后就省去字母上的横划，而仅以 u、p 表示。 应当指出，以时均值代替瞬时值固然为研究紊流运动带来了很大方便。但是 时均值只能描述总体运动，不能反映脉动的影响。如图 4-5-2 所示的两组脉动值， 它们的脉动幅度、频率各不同，但其时均值却可以相等。紊流的固有特征并不因 时均而消失。因此对于与紊流的特征直接有关系的问题，如紊流中的阻力和过水 断面上流速分布问题，必须考虑到紊流具有脉动与混掺的特点，才能得出符合客 观实际的结论。 图 4-5-2 2．紊流切应力、普朗特混和长度理论 层流运动中，质点成层状相对运动，其切应力仅由粘性引起，可用牛顿内摩 擦定律进行计算。然而，紊流的切应力由两部分组成：其一，从时均紊流的概念 出发，可将运动液体分层。因为液层的时均流速不同，存在相对运动，所以各液 层之间也存在粘性切应力(Viscous Shear Stress)，这种粘性切应力也可用牛顿内摩 擦定律表示，即 dy du 1 = 式中 dy du 为时均流速梯度。其二，由于紊流中质点存在脉动，相邻液层之间就有质 量的交换。低速液层的质点由于横向脉动进入高速液层后，对高速液层起阻滞作 用；相反，高速液层的质点在进入低速液层后，对低速液层却起推动作用。也就 是质量交换带来了动量交换，从而在液层分界面上产生了紊流附加切应力 (Additional Turbulent Shear Stress) 2
现用动量方程来说明上式。如图45-3所示,在空间点A处,具有x和y方 向的脉动流速u和v°在△时段内,通过△A的脉动质量为 △m=p△Ayu’△t △A 图4-5-3 这部分液体质量,在脉动分速的n作用下,在水流方向的动量增量为 此动量增量等于紊流附加切力ΔT的冲量,即 △T·A 因此,附加切应力rx d.? 现取时均值 Tx= pn pxv就是单位时间内通过单位面积的脉动微团进行动量交换的平均值。 取微分体(图4-5-3b),以分析纵向脉动速度v与横向脉动速度u的关系。根 据连续性原理,若△t时段内,A点处微小空间有mx△,N质量自△Ay面流出, 则必有的m△42△质量自△Ax面流入,即 于是 (4-5-5 由式(454)可见,纵向脉动流速u与横向脉动流速u成比例。4与A总为正值 因此n与u符号相反。为使附加切应力2以正值出现,在式(4-54)中加以负号, 得 上式就是用脉动流速表示的紊流附加切应力基本表达式。它表明紊流附加切 应力与粘性切应力不同,它与液体粘性无直接关系,只与液体密度和脉动强弱有 关,是由微团惯性引起,因此又称动2为惯性切应力或雷诺应力( Reynolds Stress) 在紊流流态下,紊流切应力为粘性切应力与附加切应力之和,即 (4-5-7)
uxuy = − 2 (4-5-3) 现用动量方程来说明上式。如图 4-5-3 所示，在空间点 A 处，具有 x 和 y 方 向的脉动流速 x u 和 y u 。在Δt 时段内，通过ΔAy 的脉动质量为 Δm=ρΔAy y u Δt 图 4-5-3 这部分液体质量，在脉动分速的 x u 作用下，在水流方向的动量增量为 m u A u u t x = y x y 此动量增量等于紊流附加切力ΔT 的冲量，即 T t A u u t = y x y 因此，附加切应力 x y y x u u A T = = 现取时均值 x uxuy = (4-5-4) uxuy 就是单位时间内通过单位面积的脉动微团进行动量交换的平均值。 取微分体(图 4-5-3b)，以分析纵向脉动速度 x u 与横向脉动速度 y u 的关系。根 据连续性原理，若Δt 时段内，A 点处微小空间有 u A t y y 质量自ΔAy 面流出， 则必有的 u A t x x 质量自ΔAx 面流入，即 u A t y y + u A t x x =0 于是 uy uy = − (4-5-5) 由式(4-5-4)可见，纵向脉动流速 x u 与横向脉动流速 y u 成比例。Ay 与 Ax 总为正值。 因此 x u 与 y u 符号相反。为使附加切应力 2 以正值出现，在式(4-5-4)中加以负号， 得 uxuy = − 2 (4-5-6) 上式就是用脉动流速表示的紊流附加切应力基本表达式。它表明紊流附加切 应力与粘性切应力不同，它与液体粘性无直接关系，只与液体密度和脉动强弱有 关，是由微团惯性引起，因此又称 2 为惯性切应力或雷诺应力(Reynolds Stress)。 在紊流流态下，紊流切应力为粘性切应力与附加切应力之和，即 ( ) uxu y dy du = + − (4-5-7)
上式两部分切应力的大小随流动情况而有所不同。在雷诺数较小时即脉动较弱时, 前者占主要地位。随着雷诺数增加。脉动程度加剧,后者逐渐加大。到雷诺数很 大,在充分发展的紊流中,粘性切应力与附加切应力相比甚小,前者可以忽略不 图454是由一矩形断面风洞中测量到的切应力数据。风洞断面宽B=1m,高 H=244cm。量测是在中心断面B处进行的,最大流速为10cm6。y为某点至风 洞壁的距离(高度方向)。 y1.0 ,-(cm2) 图4-5-4 以上说明了紊流切应力的组成,并扼要地介绍了紊流附加切应力产生的力学 原因。然而,脉动速度瞬息万变,由于对紊流机理还未彻底了解,式(4-5-6)不便 于直接应用。目前主要采用半经验的办法,即一方面对紊流进行一定的机理分析, 另一方面还得依靠一些具体的实验结果来建立附加切应力和时均流速的关系。这 种半经验理论至今已提出了不少。下面介绍德国学者普朗特( L Prandtl)提出的混合 长度( Mixing length)理论。 普朗特设想液体质点的紊流运动与气体分子运动类似。气体分子运行一个平 均自由路程才与其他分子碰撞,同时发生动量交换。普朗特认为液体质点从某流 速的液层因脉动进入另一流速的液层时,也要运行一段与时均流速垂直的距离 后才和周围质点发生动量交换。在运行P距离之内,微团保持其本来的流动特征 不变。普朗特称此为实际混合长度。如空间点A处(图45-3a)质点A沿x方向 的时均流速为正(y),距A点处质点x方向的时均流速为2(y+1),这两个空间 点上质点沿x方向的时均流速差为 Ai,=i, (y+/2)-u()=i,()+rx-l (v)=rx 普朗特假设脉动速度与时均流速差成比例,(为了简便,时均值以后不再标以横 划),即 c l 从式(4-5-5)可知n与v具有相同数量级,但符号相反,即
上式两部分切应力的大小随流动情况而有所不同。在雷诺数较小时即脉动较弱时， 前者占主要地位。随着雷诺数增加。脉动程度加剧，后者逐渐加大。到雷诺数很 大，在充分发展的紊流中，粘性切应力与附加切应力相比甚小，前者可以忽略不 计。 图 4-5-4 是由一矩形断面风洞中测量到的切应力数据。风洞断面宽 B=1m，高 H=24.4cm。量测是在中心断面 2 B 处进行的，最大流速为 100cm/s。y 为某点至风 洞壁的距离(高度方向)。 图 4-5-4 以上说明了紊流切应力的组成，并扼要地介绍了紊流附加切应力产生的力学 原因。然而，脉动速度瞬息万变，由于对紊流机理还未彻底了解，式(4-5-6)不便 于直接应用。目前主要采用半经验的办法，即一方面对紊流进行一定的机理分析， 另一方面还得依靠一些具体的实验结果来建立附加切应力和时均流速的关系。这 种半经验理论至今已提出了不少。下面介绍德国学者普朗特(L.Prandtl)提出的混合 长度(Mixing Length)理论。 普朗特设想液体质点的紊流运动与气体分子运动类似。气体分子运行一个平 均自由路程才与其他分子碰撞，同时发生动量交换。普朗特认为液体质点从某流 速的液层因脉动进入另一流速的液层时，也要运行一段与时均流速垂直的距离 l 后才和周围质点发生动量交换。在运行 l 距离之内，微团保持其本来的流动特征 不变。普朗特称此 l 为实际混合长度。如空间点 A 处(图 4-5-3a)质点 A 沿 x 方向 的时均流速为 u ( y) x ，距 A 点 l 处质点 x 方向的时均流速为 u ( y l ) x + ，这两个空间 点上质点沿 x 方向的时均流速差为 dy du u y l dy du u u y l u y u y l x x x x x x x = ( + ) − ( ) = ( ) + − ( ) = 普朗特假设脉动速度与时均流速差成比例，(为了简便，时均值以后不再标以横 划)，即 dy du u c l x x = 1 从式(4-5-5)可知 x u 与 y u 具有相同数量级，但符号相反，即