第十章模型试验基础 处理水力学问题的一个基本途径是直接应用前面所述的描述液体运动的基本 方程进行求解,但由于液流运动基本方程的非线性和液流边界条件的复杂性,在 求解这些基本方程时,往往在数学上会遇到难以克服的困难。因而不得不寻求其 他分析途径和实验方法来解决工程中所遇到的水力学问题。而量纲分析和液流相 似理论将为解决这一类问题提供十分有效的手段。 本章的重点在于:应用量纲分析方法,在观测水力现象的基础上,建立其影 响因素间的正确关系;以及从液流相似原理出发,在建立各种力的相似条件下, 得到所应遵从的各种相似准则和由此而得出的各种比尺关系,为力学问题的试验 研究,提供理论依据 §10-1量纲、单位和无量纲数 量纲和单位 结论中已经提到,水力学中常见的物理量有长度、时间、速度、质量、力等 等。每一个物理量都具有数量的大小和种类的差别。表征物理量的性质和类别的 符号称为物理量的量纲(或因次)。例如,长度和时间就是不同性质的量。而管径d 和水力半径R都是具有长度性质的同一类的物理量,它们在性质上都具有长度的 量纲 量度各种物理量数值大小的标准,称为单位。如长度的单位用米、厘米、尺 英尺等;时间的单位是秒、分、时等。虽然测量某一类物理量的单位可以有不同 的选择,表示该物理量的数值大小也就不同,但是所有同类物理量均具有相同的 量纲。所以,量纲是物理量“质”的表征,而单位是物理量“量”的表征。 通常表示量纲的符号为物理量加方括号[]。例如长度L的量纲为[L],时 间T的量纲为[门],质量M的量纲为[M门等等。 全部物理量的量纲分为基本量纲和导出量纲两大类。所谓基本量纲指的是这 样一组量纲:用它们的组合可以表示其余物理量的量纲,而它们之间却是彼此独 立不能相互表示的。其余的量纲可由基本量纲导出,故称为导出量纲。在力学问 题中,国际单位制(简称SI)规定[L]、[T]、[M]为基本量纲,对应的基本单位 长度用米(m),质量用公斤kg),时间用秒(s)。力F的量纲[F]可由基本量纲[L [门、[M门直接导出,故[F]为导出量纲。但在工程界,80年代以前习惯用[L]
第十章 模型试验基础 处理水力学问题的一个基本途径是直接应用前面所述的描述液体运动的基本 方程进行求解，但由于液流运动基本方程的非线性和液流边界条件的复杂性，在 求解这些基本方程时，往往在数学上会遇到难以克服的困难。因而不得不寻求其 他分析途径和实验方法来解决工程中所遇到的水力学问题。而量纲分析和液流相 似理论将为解决这一类问题提供十分有效的手段。 本章的重点在于：应用量纲分析方法，在观测水力现象的基础上，建立其影 响因素间的正确关系；以及从液流相似原理出发，在建立各种力的相似条件下， 得到所应遵从的各种相似准则和由此而得出的各种比尺关系，为力学问题的试验 研究，提供理论依据。 §10-1 量纲、单位和无量纲数 1．量纲和单位 结论中已经提到，水力学中常见的物理量有长度、时间、速度、质量、力等 等。每一个物理量都具有数量的大小和种类的差别。表征物理量的性质和类别的 符号称为物理量的量纲(或因次)。例如，长度和时间就是不同性质的量。而管径 d 和水力半径 R 都是具有长度性质的同一类的物理量，它们在性质上都具有长度的 量纲。 量度各种物理量数值大小的标准，称为单位。如长度的单位用米、厘米、尺、 英尺等；时间的单位是秒、分、时等。虽然测量某一类物理量的单位可以有不同 的选择，表示该物理量的数值大小也就不同，但是所有同类物理量均具有相同的 量纲。所以，量纲是物理量“质”的表征，而单位是物理量“量”的表征。 通常表示量纲的符号为物理量加方括号［］。例如长度 L 的量纲为［L］，时 间 T 的量纲为［T］，质量 M 的量纲为［M］等等。 全部物理量的量纲分为基本量纲和导出量纲两大类。所谓基本量纲指的是这 样一组量纲：用它们的组合可以表示其余物理量的量纲，而它们之间却是彼此独 立不能相互表示的。其余的量纲可由基本量纲导出，故称为导出量纲。在力学问 题中，国际单位制(简称 SI)规定［L］、［T］、［M］为基本量纲，对应的基本单位 长度用米(m)，质量用公斤(kg)，时间用秒(s)。力 F 的量纲［F］可由基本量纲［L］、 ［T］、［M］直接导出，故［F］为导出量纲。但在工程界，80 年代以前习惯用［L］
[][F]作为基本量纲,简称LTF制,而将质量的量纲[M]作为导出量纲。 LTF制现已被LTM基本量纲所取代 在力学中通常遇到三方面的物理量。 几何学量:如长度L、面积A、体积V等。 动力学量:如速度u、加速度a、角速度ω、流量Q、运动粘性系数v等。 运动学量:如质量m、力F、密度、动力粘性系数、切应力r、压强p 2.有量纲数和无量纲数 力学中的某个物理量U,它的量纲可以用[L]、[7]、[M这一组基本量纲 的组合来表示,即 U=LTTIIMI (10-1-1) 式中基本量纲的指数a、B、y的数值由该物理量的性质来决定。 例如,当U为速度时,a=1,B=-1,y=0;当U为力时a=1,B=2,y=1等等 公式(10-1-1)称为量纲表达式,只要指数a、B、y中至少一个不为零,则说该物 理量U是有量纲的量。 当a≠0,B=0,y=0时,称为几何量:而当a=B=y=0时为无量纲量。 当B≠0,y=0时,称为运动学的量。 当y≠0时,称为动力学量 当α=B=y=0,则称此物理量U为无量纲量,记为 ]=r[M]= (10-2) 此时物理量U的数值与基本单位(L,M7的选择无关,而为一个纯粹的数。它 在所有单位制中保持同样的数值。例如,底坡i是落差对流程长度的比值ΔhL, 其量纲为[LL]=[L0]=[1],即为无量纲数。圆周率π为圆的周长与直径之比 在任何单位制中其数值都不变化;此外,无量纲数还可以是几个物理量综合比较 后的结果。例如前面所介绍过的雷诺数Re=、佛汝德数F=等,都是无 量纲量(数)。无量纲量的值与单位的选择无关(组合成无量纲量的各物理量所选的 单位必须一致),这是无量纲数的重要特点之一。 §10-2量纲齐次性原理和量纲分析法 1.量纲齐次性原理 在各种物理现象中,各物理量存在着一定关系,可表示为物理方程。如果一
［T］［F］作为基本量纲，简称 LTF 制，而将质量的量纲［M］作为导出量纲。 LTF 制现已被 LTM 基本量纲所取代。 在力学中通常遇到三方面的物理量。 几何学量：如长度 L、面积 A、体积 V 等。 动力学量：如速度 u、加速度 a、角速度ω、流量 Q、运动粘性系数ν等。 运动学量：如质量 m、力 F、密度ρ、动力粘性系数μ、切应力τ、压强 p 等。 2．有量纲数和无量纲数 力学中的某个物理量 U，它的量纲可以用［L］、［T］、［M］这一组基本量纲 的组合来表示，即 U = L T M (10-1-1) 式中基本量纲的指数α、β、γ的数值由该物理量的性质来决定。 例如，当 U 为速度时，α=1,β=-1,γ=0；当 U 为力时α=1,β=-2,γ=1 等等。 公式(10-1-1)称为量纲表达式，只要指数α、β、γ中至少一个不为零，则说该物 理量 U 是有量纲的量。 当α≠0,β=0,γ=0 时，称为几何量；而当α=β=γ=0 时为无量纲量。 当β≠0,γ=0 时，称为运动学的量。 当γ≠0 时，称为动力学量。 当α=β=γ=0，则称此物理量 U 为无量纲量，记为 1 0 0 0 U = L T M = (10-2) 此时物理量 U 的数值与基本单位(L,M,T)的选择无关，而为一个纯粹的数。它 在所有单位制中保持同样的数值。例如，底坡 i 是落差对流程长度的比值 i=Δh/L， 其量纲为［L/L］=［L 0］=［1］，即为无量纲数。圆周率π为圆的周长与直径之比， 在任何单位制中其数值都不变化；此外，无量纲数还可以是几个物理量综合比较 后的结果。例如前面所介绍过的雷诺数 Re= v R 、佛汝德数 Fr= gL V 等，都是无 量纲量(数)。无量纲量的值与单位的选择无关(组合成无量纲量的各物理量所选的 单位必须一致)，这是无量纲数的重要特点之一。 §10-2 量纲齐次性原理和量纲分析法 1．量纲齐次性原理 在各种物理现象中，各物理量存在着一定关系，可表示为物理方程。如果一
个物理方程完整地反映了某一个物理现象的客观规律,则方程中的每一项和方程 的两边一定具有相同的量纲,物理方程的这种性质就叫做量纲的齐次性原理。例 如,作为推导力学相似准则基础的牛顿第二定律 f=ma 显然方程量纲是相同的,因为当采用基本量纲为M、L和T时,方程左边力 的量纲是MT2,而方程右边的量纲也是MT2,即方程两边的量纲是相同的。 众所周知,正确的物理规律不应随单位的选择而改变其形式。所以,为了正 确地反映客观规律,物理公式可以由无量纲形式组成:或者说,它们能够化为无 量纲形式。由于量纲的齐次性,任何完整的物理公式都是可以化为无量纲形式的。 例如,理想液体伯诺里能量方程 PI p2 y 2g 可改写为 5-2+PP2=2-1 /2g2/2g 上式各式均为无量纲量 2.量纲分析法 由于实际液流运动的复杂性,有时候通过实验或现场观测可得知液流运动的 若干因素,但是得不出这些因素之间的指数关系式。在这种情况下,就可利用量 纲分析法,快速得出各种因素之间的正确结构形式,这是量纲分析法最显著的特 点和优点 量纲分析通常采用两种方法:一种称为雷利 L. Rayleigh)法,它适用于那些影 响因素较少(≤3)的物理过程。另一种是具有普遍性的方法,称为π定理 ( Buckinghamπ- Theorem)。它们都是以量纲一致性原则作基础的。 (1)雷利法 雷利法的意义是直接应用量纲齐次性原理建立物理量间的指数关系式,其基 本步骤通过下面的实例进行说明。 例10-1一个质量为m的物体从空中自由降落,经实验认为其降落的距离s与重力加速 度g及时间t有关。试用雷利法得出自由落体的公式。 解:假定此自由落体的距离s与重力加速度g,时间t及物体质量m有关,而其关系式 可以写成各变量的某种指数的乘积,即 s=kgtm 式中比例常数k为纯数
个物理方程完整地反映了某一个物理现象的客观规律，则方程中的每一项和方程 的两边一定具有相同的量纲，物理方程的这种性质就叫做量纲的齐次性原理。例 如，作为推导力学相似准则基础的牛顿第二定律 F=ma 显然方程量纲是相同的，因为当采用基本量纲为 M、L 和 T 时，方程左边力 的量纲是 MLT-2，而方程右边的量纲也是 MLT-2，即方程两边的量纲是相同的。 众所周知，正确的物理规律不应随单位的选择而改变其形式。所以，为了正 确地反映客观规律，物理公式可以由无量纲形式组成：或者说，它们能够化为无 量纲形式。由于量纲的齐次性，任何完整的物理公式都是可以化为无量纲形式的。 例如，理想液体伯诺里能量方程 g p u z g p u z 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 + + = + + 可改写为 u g z z 2 2 1 1 − 2 + u g p p 2 2 1 1 − 2 = 1 2 1 2 − u u 上式各式均为无量纲量。 2．量纲分析法 由于实际液流运动的复杂性，有时候通过实验或现场观测可得知液流运动的 若干因素，但是得不出这些因素之间的指数关系式。在这种情况下，就可利用量 纲分析法，快速得出各种因素之间的正确结构形式，这是量纲分析法最显著的特 点和优点。 量纲分析通常采用两种方法：一种称为雷利(L.Rayleigh)法，它适用于那些影 响因素较少(≤3)的物理过程。另一种是具有普遍性的方法，称为π定理 (Buckingham π-Theorem)。它们都是以量纲一致性原则作基础的。 (1)雷利法 雷利法的意义是直接应用量纲齐次性原理建立物理量间的指数关系式，其基 本步骤通过下面的实例进行说明。 例 10-1 一个质量为 m 的物体从空中自由降落，经实验认为其降落的距离 s 与重力加速 度 g 及时间 t 有关。试用雷利法得出自由落体的公式。 解：假定此自由落体的距离 s 与重力加速度 g，时间 t 及物体质量 m 有关，而其关系式 可以写成各变量的某种指数的乘积，即 x y z s = kg t m 式中比例常数 k 为纯数
把上式写成量纲关系式 [_]=[LT-2F[P[M] 由量纲齐次性原理,上式方程左右两边的量纲必须一致,从而得 0=-2x+1 将指数xy,=值代入关系式,得 s= kgt 注意式中质量指数为零,表明距离应与质量无关,常数k由实验确定 例10-2由实验观察得知,矩形量水堰的过堰流量ρ与堰上水头,堰宽b,重力加 速度g等物理量之间存在着以下关系: Q=kb°gH 式中比例系数k为一纯数,试用量纲分式法确定堰流流量公式的结构形式。 解由已知关系式写出其量纲关系式 [T-=[L]LT-[Lr=[F-p+7[7]p 由量纲一致性原理得 [L]:a+B+y=3 [7]:-2B=1 联解以上两式,可得B=1/2a+y=2.5 根据经验,过堰流量Q与堰宽b的一次方成正比,即a=1,从而可得y=3/2。将a、B 的值代入量纲关系式,并令m=K/√2,得 此式为堰流基本公式(8-2-1),从中可看出,量纲分析法开拓了研究此问题的途径 (2)π定理 另一种具有普遍性的量纲分析方法,叫做π定理,是1915年由白金汉 ( E. Buckingham)提出的,故又叫白金汉定理。其基本意义可表述为 任何一个物理过程,如包含有N个物理量,涉及到r个基本量纲,则这个物 理过程可由(N-r)个无量纲量关系式来描述。因这些无量纲量用xA=12,3…)表示, 故简称为x定理 设影响物理过程的N个物理量为xx,…xN,则这个物理过程可用一完整的 函数关系式表示如下 设物理过程中的N个物理量包含有r个基本量纲。根据国际单位制,水力学
把上式写成量纲关系式 x y z L LT T M −2 = 由量纲齐次性原理，上式方程左右两边的量纲必须一致，从而得： ［L］： 1=x x=1 ［T］： 0=-2x+y y=2 ［M］： 0=z z=0 将指数 x,y,z 值代入关系式，得 2 s = kgt 注意式中质量指数为零，表明距离应与质量无关，常数 k 由实验确定。 例 10-2 由实验观察得知，矩形量水堰的过堰流量 Q 与堰上水头 H0，堰宽 b，重力加 速度 g 等物理量之间存在着以下关系： g H0 Q = kb 式中比例系数 k 为一纯数，试用量纲分式法确定堰流流量公式的结构形式。 解 由已知关系式写出其量纲关系式 3 −1 −2 + + −2 L T = L LT L = L T 由量纲一致性原理得 ［L］： α+β+γ=3 ［T］： -2β=-1 联解以上两式，可得 β=1/2 α+γ=2.5 根据经验，过堰流量 Q 与堰宽 b 的一次方成正比，即α=1，从而可得γ=3/2。将α、β、 γ的值代入量纲关系式，并令 m=K/ 2 ， 得 Q=mb 2g 3 2 H0 此式为堰流基本公式(8-2-1)，从中可看出，量纲分析法开拓了研究此问题的途径。 (2)π定理 另一种具有普遍性的量纲分析方法，叫做π定理，是 1915 年由白金汉 (E.Buckinghan)提出的，故又叫白金汉定理。其基本意义可表述为： 任何一个物理过程，如包含有 N 个物理量，涉及到 r 个基本量纲，则这个物 理过程可由(N-r)个无量纲量关系式来描述。因这些无量纲量用πi(i=1,2,3…)表示， 故简称为π定理。 设影响物理过程的 N 个物理量为 x1,x2,…,xN，则这个物理过程可用一完整的 函数关系式表示如下 f (x1 , x2 , xN ) = 0 (10-2-1) 设物理过程中的 N 个物理量包含有 r 个基本量纲。根据国际单位制，水力学
中的基本量纲一般是[L]、[、[M,即r=3,因此可在N个物理量中选出3个 基本物理量,这三个基本物理量应满足①包含所有物理量的基本量纲:②它们之 间的量纲相互独立。作为基本量纲的代表。这3个基本物理量一般可在几何学量、 运动学量和动力学量中各选一个即可。然后,在剩下的(N-)个物理量中每次轮取 个分别同所选的三个基本物理量一起,组成(N)个无量纲的π项,然后根据量 纲分析原理,分别求出x1,2…(×-)°因此原来的方程式(1021)可写成 F(T 这样,就把一个具有N个物理量的关系式(10-2-1)简化成具有(N)个无量纲 数的表达式,这种表达式一般具有描述物理过程的普遍意义,可作为对问题进一 步分析研究的基础。 例10-3实验表明,液流中的边壁切应力τo与断面平均流速ν,水力半径R,壁面粗糙 度Δ,液体密度p和动力粘度有关,试用x定理导出边壁切应力ro的一般表达式。 解:根据题意,此物理过程可用函数表达式F(0,D,H,p,R,△)=0来表示 选定几何学量中的R,运动学量中的v,动力学量中的p作为基本物理量,本题中物理 量的个数N=6,基本物理量r=3,因此,可组成N-=6-3=3个无量纲数的方程,即 比较上式中每个因子的分子和分母的量纲,它们应满足量纲齐次性原则 第一个因子的量纲关系有: l=小[[时 LMr2]=[M于+[于 由等式两边量纲相等,得到 [M]:x1=1 [L]:-3x1+y1+=1=1 联解得:{y=2求得 第二个因子的量纲关系为 =[[P[时 LM]M于 由等式两边量纲相等,得
中的基本量纲一般是［L］、［T］、［M］，即 r=3，因此可在 N 个物理量中选出 3 个 基本物理量，这三个基本物理量应满足①包含所有物理量的基本量纲；②它们之 间的量纲相互独立。作为基本量纲的代表。这 3 个基本物理量一般可在几何学量、 运动学量和动力学量中各选一个即可。然后，在剩下的(N-r)个物理量中每次轮取 一个分别同所选的三个基本物理量一起，组成(N-r)个无量纲的π项，然后根据量 纲分析原理，分别求出 1 2 (N− ) , 。因此原来的方程式(10-2-1)可写成 F( 1 2 (N− ) , )=0 (10-2-2) 这样，就把一个具有 N 个物理量的关系式(10-2-1)简化成具有(N-r)个无量纲 数的表达式，这种表达式一般具有描述物理过程的普遍意义，可作为对问题进一 步分析研究的基础。 例 10-3 实验表明，液流中的边壁切应力τ0 与断面平均流速 v，水力半径 R，壁面粗糙 度Δ，液体密度ρ和动力粘度μ有关，试用π定理导出边壁切应力τ0 的一般表达式。 解：根据题意，此物理过程可用函数表达式 F( 0 ,,, ,R, )=0 来表示。 选定几何学量中的 R，运动学量中的 v，动力学量中的ρ作为基本物理量，本题中物理 量的个数 N=6，基本物理量 r=3，因此，可组成 N-r=6-3=3 个无量纲数的方程，即 比较上式中每个因子的分子和分母的量纲，它们应满足量纲齐次性原则。 F1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , , 0 x z x z x z v R v R v R =0 第一个因子的量纲关系有： 即 1 1 1 0 x y z = x R 1 1 1 2 3 x1 1 y z ML T ML LT L − − − − = 由等式两边量纲相等，得到 ［M］：x1=1 ［L］：-3x1+y1+z1=-1 ［T］：-y1=-2 联解得: = = = 0 2 1 1 1 1 z y x 求得： π1= 2 0 第二个因子的量纲关系为 2 2 2 x y z = R 即 2 1 1 3 x2 1 y2 z ML T ML LT L − − − = 由等式两边量纲相等，得