R 式中R=2-—称水力半径( hydraulic Redius),是过水断面面积A与湿周wetd Perimeter)x(断面中固体边界与液体相接触部分的周线长)之比,这时临界雷诺数 中的特征长度也应取相应的特征长度来表示,而临界雷诺数应为575 对于明渠水流(无压流动),通常以水力半径R为雷诺数中的特征长度,即临界雷 诺数Rc=2E=575。一般明渠流的雷诺数都相当大,多属于紊流,因而很少进行 流态的判别。 例4-1某段自来水管,其管径d=100mm,管中流速v=1.0m/s,水的温度为10℃,试判 明管中水流型态 解在温度为10℃时,水的粘性运动系数,由式(1-3-6)得 1+00337+002123÷01 0.01775 0013lcm2/s 1.3591 管中水流的雷诺数 d100×10 Re 0.013l 因此管中水流处在紊流型态 例4-2用直径d=25mm的管道输送30℃的空气。问管内保持层流的最大流速是多少? 解30℃时空气运动粘性系数v=16.6×10°m2s,最大流速就是临界流速,由于 2300 2300×16.6×10 得 0.025 从以上两例看出,水和空气的流动绝大多数都是紊流。 §4-3均匀流的沿程水头损失和基本方程式 均匀流的沿程水头损失 在均匀流的情况下只存在沿程水头损失。为了确定均匀流自断面1-1流至断 面2-2的沿程水头损失,可写出断面1-1和断面22的伯诺里方程式(图43-1) PL+21 -g g
vR Re = 式中 A R = ——称水力半径(Hydraulic Redius)，是过水断面面积 A 与湿周(Wetted Perimeter)χ(断面中固体边界与液体相接触部分的周线长)之比，这时临界雷诺数 中的特征长度也应取相应的特征长度来表示，而临界雷诺数应为 575。 对于明渠水流(无压流动)，通常以水力半径 R 为雷诺数中的特征长度，即临界雷 诺数 vcR Rec = =575。一般明渠流的雷诺数都相当大，多属于紊流，因而很少进行 流态的判别。 例 4-1 某段自来水管，其管径 d=100mm，管中流速 v=1.0m/s，水的温度为 10℃，试判 明管中水流型态。 解 在温度为 10℃时，水的粘性运动系数，由式(1-3-6)得 1.3591 0.01775 1 0.0337 0.000221 0.01775 2 = + + = t t =0.0131cm2 /s 管中水流的雷诺数 0.0131 100 10 Re = = vd =7660\= Re＞Rec=2300 因此管中水流处在紊流型态。 例 4-2 用直径 d=25mm 的管道输送 30℃的空气。问管内保持层流的最大流速是多少? 解 30℃时空气运动粘性系数ν=16.6×10-6m2 /s，最大流速就是临界流速，由于 Re = = 2300 vcd c 得 0.025 Re 2300 16.6 10−6 = = d v c c =1.527m/s 从以上两例看出，水和空气的流动绝大多数都是紊流。 §4-3 均匀流的沿程水头损失和基本方程式 1．均匀流的沿程水头损失 在均匀流的情况下只存在沿程水头损失。为了确定均匀流自断面 1-1 流至断 面 2-2 的沿程水头损失，可写出断面 1-1 和断面 2-2 的伯诺里方程式(图 4-3-1)。 h f g p v z g p v z + + = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1
9 图4-3-1 对均匀流,有 因此 P (4-3-1) 式(4-3-1)说明,在均匀情况下,两过水断面间的沿程水头损失等于两过水断面测 压管水头的差值,即克服沿程阻力所消耗的能量全部由势能提供。 由于沿程水头损失是克服沿程阻力(切应力)所做的功,因此有必要讨论并建 立沿程阻力和水头损失的关系一一均匀流基本方程 2.均匀流基本方程 取出自过水断面1-1至2-2的一段圆管均匀流,其长度为l,过水断面面积 A1=A2=A,湿周为x。现分析其作用力的平衡条件。 断面1-1至22间的流段是在断面1-1上的动水压力P1,断面22上的动水 压力P2,流段本身的重量G及流段表面切力(沿程阻力)T共同作用下保持均匀流 动的 写出在水流运动方向上诸力投影的平衡方程式 PI-Pp2+GCOS a-10 因P1=pA,P2=P4,而且cosa 并设液流与固体边壁接触面上的平均切 应力为τ0。代入上式,得 P1A-P2A-4---2 r0x=0 以yA除全式,得 P-P2+ to x 由式(4-3-1)知 PI P2 于是 to.21=0 R
图 4-3-1 对均匀流，有 g v g v 2 2 2 2 2 2 1 1 = 因此 − + = + 2 2 1 1 p z p h z f (4-3-1) 式(4-3-1)说明，在均匀情况下，两过水断面间的沿程水头损失等于两过水断面测 压管水头的差值，即克服沿程阻力所消耗的能量全部由势能提供。 由于沿程水头损失是克服沿程阻力(切应力)所做的功，因此有必要讨论并建 立沿程阻力和水头损失的关系——均匀流基本方程。 2．均匀流基本方程 取出自过水断面 1-1 至 2-2 的一段圆管均匀流，其长度为 l，过水断面面积 A1=A2=A，湿周为χ。现分析其作用力的平衡条件。 断面 1-1 至 2-2 间的流段是在断面 1-1 上的动水压力 P1，断面 2-2 上的动水 压力 P2，流段本身的重量 G 及流段表面切力(沿程阻力)T 共同作用下保持均匀流 动的。 写出在水流运动方向上诸力投影的平衡方程式 P1-P2+Gcosα-T=0 因 P1=p1A，P2=p2A，而且 cosα= l z z 1 − 2 ，并设液流与固体边壁接触面上的平均切 应力为τ0。代入上式，得 0 0 1 2 1 2 − = − − − l l z z p A p A Al 以γA 除全式，得 l A z z p p 0 1 2 1 2 − + − = 由式(4-3-1)知 h f p z p z = − + + 2 2 1 1 于是 R l l A h f 0 0 = = (4-3-2)
或 式(4-3-2)及(4-3-3)给出了沿程水头损失与切应力的关系,是研究沿程水头损失的 基本公式,称为均匀流基本方程。式中J为单位长流程的水头损失,称为水力坡 度( Hydraulic Slope)。对于无压均匀流,按上述步骤,列出沿流动方向的力平衡方 程式。同样可得与式(4-3-2)、(4-3-3)相同结果,所以该方程对层流、紊流、有压 流和无压流均适用。 3.均匀流过水断面切应力分布 在推导式(4-3-2)时,是考虑了1~2流段内整个液流的力的平衡。如果对于圆 管均匀流,只取流段内一圆柱体液流来分析作用力的平衡(如图4-3-2),圆柱的轴 与管轴重合,圆柱半径为r,作用在圆柱表面上的切应力为r,则仿照前述步骤, 亦可得出 (4-3-4) p2 图4-3-2 由式(4-3-3)得圆管壁上的切应力T0为 比较式(43-4)与式(5-3-5),可得 (4-3-6) ro 式(4-3-6)说明在圆管均匀流的过水断面上,切应力呈直线分布,管壁处切应力为 最大值τo,管轴处切应力为零 §4-4圆管中的层流运动 1.圆管层流的流速分布 为进一步研究切应力τ与平均速度v的关系。而r的大小与水流的流动型态 有关,本节先就圆管中的层流运动进行分析,圆管中的层流运动也称为哈根-泊肃 叶( Hagen Poseuille)流动
或 Rl l h R f = = 0 (4-3-3) 式(4-3-2)及(4-3-3)给出了沿程水头损失与切应力的关系，是研究沿程水头损失的 基本公式，称为均匀流基本方程。式中 J 为单位长流程的水头损失，称为水力坡 度(Hydraulic Slope)。对于无压均匀流，按上述步骤，列出沿流动方向的力平衡方 程式。同样可得与式(4-3-2)、(4-3-3)相同结果，所以该方程对层流、紊流、有压 流和无压流均适用。 3．均匀流过水断面切应力分布 在推导式(4-3-2)时，是考虑了 1～2 流段内整个液流的力的平衡。如果对于圆 管均匀流，只取流段内一圆柱体液流来分析作用力的平衡(如图 4-3-2)，圆柱的轴 与管轴重合，圆柱半径为 r，作用在圆柱表面上的切应力为τ，则仿照前述步骤， 亦可得出 J r 2 = (4-3-4) 图 4-3-2 由式(4-3-3)得圆管壁上的切应力τ0 为 J r 2 0 0 = (4-3-5) 比较式(4-3-4)与式(5-3-5)，可得 0 0 r r = (4-3-6) 式(4-3-6)说明在圆管均匀流的过水断面上，切应力呈直线分布，管壁处切应力为 最大值τ0，管轴处切应力为零。 §4-4 圆管中的层流运动 1．圆管层流的流速分布 为进一步研究切应力τ与平均速度 v 的关系。而τ的大小与水流的流动型态 有关，本节先就圆管中的层流运动进行分析，圆管中的层流运动也称为哈根-泊肃 叶(Hagen_Poseuille)流动
这个问题可以用积分实际液体运动方程式(3-5-3)得到解答。这里,仅用较为 简单且物理意义明显的方法求得。 液体在层流运动时,液层间的切应力可由牛顿内摩擦定律求出,由式(1-3-5) 图4-4-1 圆管中有压均匀流是轴对称流。为了计算方便,现采用圆柱坐标r,x(图 4-4-1)。此时为二元流。 由于r=roy 因此 du du dy dr 圆管均匀流在半径r处的切应力可用均匀流方程式(4-3-4)表示 T=-r 由上面两式得 于是 注意到J对均匀流中各元流来说都是相等的,积分上式得 在管壁上,即r=处,v=0(固体边界无滑动条件) 所以 (4-4-1) 式(4-4-1)说明圆管层流过水断面上流速分布是一个旋转抛物面,这是层流的重要 特征之 流动中的最大速度在管轴上,由(4-4-1)式,有 2.圆管层流的断面平均流速
这个问题可以用积分实际液体运动方程式(3-5-3)得到解答。这里，仅用较为 简单且物理意义明显的方法求得。 液体在层流运动时，液层间的切应力可由牛顿内摩擦定律求出，由式(1-3-5) dy du = 图 4-4-1 圆管中有压均匀流是轴对称流。为了计算方便，现采用圆柱坐标 r，x (图 4-4-1)。此时为二元流。 由于 r=r0-y 因此 dr du dy du = − dr du = − 圆管均匀流在半径 r 处的切应力可用均匀流方程式(4-3-4)表示 rJ 2 1 = 由上面两式得 r J dr du 2 1 = − = 于是 rdr J du 2 = − 注意到 J 对均匀流中各元流来说都是相等的，积分上式得 r C J u = − + 2 4 在管壁上，即 r=r0 处，u=0(固体边界无滑动条件) 2 0 4 r J C = 所以 ( ) 4 2 2 0 r r J u = − (4-4-1) 式(4-4-1)说明圆管层流过水断面上流速分布是一个旋转抛物面，这是层流的重要 特征之一。 流动中的最大速度在管轴上，由(4-4-1)式，有 2 max 0 4 r J u = (4-4-2) 2．圆管层流的断面平均流速
因为流量O= laudA=vA,选取宽d的环形断面为微元面积dA,可得圆管层 流的断面平均流速 sQ(/m(-r2m=85 比较(44-2)、(4-4-3)得 V=umax 即圆管层流的断面平均流速为最大流速的一半。这是层流的又一重要特征与下节 论及的圆管紊流相比,层流流速在断面上的分布是很不均匀的。 由式(44-1)及式44-3)得无量纲关系式 21 (4-4-5) 3.圆管层流的沿程水头损失 为了实用上计算方便,沿程水头损失通常用平均流速ν的函数表示。对于圆 管层流,由式(4-3)得 m“2 或 (4-4-6) 式(4-4-6)说明,在圆管层流中,沿程水头损失和断面平均流速的一次方成正比 与前述雷诺实验证实的论断一致 般情况下沿程水头损失,可以用速度水头表示,上式可改写成 64 641y2 64 (4-4-7) 则 (4-4-8) 这是常用的沿程水头损失计算公式,称为魏斯巴赫-达西( We ibach- H P.G. Darcy) 公式,适用于层流、紊流、有压流和无压流。式中λ称沿程阻力系数,在圆管层 流中只与雷诺数成反比,与管壁粗糙程度无关。§4-8中将介绍的实验硏究也得 到同样的结论。 4.管道进口的流动 上面所推导出的一些计算公式,只适用于均匀流动情况,在管路进口附近是 无效的。当液体由水箱经光滑圆形进口流入管内,其速度最初在整个过水断面上
因为流量 Q=∫AudA=vA，选取宽 dr 的环形断面为微元面积 dA，可得圆管层 流的断面平均流速 2 0 2 2 0 0 2 0 8 ( )2 4 1 0 r J r r rdr J A r udA A Q v A r = = = − = (4-4-3) 比较(4-4-2)、(4-4-3)得 max 2 1 v = u (4-4-4) 即圆管层流的断面平均流速为最大流速的一半。这是层流的又一重要特征与下节 论及的圆管紊流相比，层流流速在断面上的分布是很不均匀的。 由式(4-4-1)及式(4-4-3)得无量纲关系式 = − 2 0 2 1 r r v u (4-4-5) 3．圆管层流的沿程水头损失 为了实用上计算方便，沿程水头损失通常用平均流速 v 的函数表示。对于圆 管层流，由式(4-4-3)得 2 2 0 8 32 d v r v l h J f = = = 或 2 32 d vl h f = (4-4-6) 式(4-4-6)说明，在圆管层流中，沿程水头损失和断面平均流速的一次方成正比。 与前述雷诺实验证实的论断一致。 一般情况下沿程水头损失，可以用速度水头 g v 2 2 表示，上式可改写成 g v d l g v d l vd h f Re 2 64 2 64 2 2 = = 令 Re 64 = (4-4-7) 则 g v d l h f 2 2 = (4-4-8) 这是常用的沿程水头损失计算公式，称为魏斯巴赫-达西(J.Weisbach-H.P.G.Darcy) 公式，适用于层流、紊流、有压流和无压流。式中λ称沿程阻力系数，在圆管层 流中只与雷诺数成反比，与管壁粗糙程度无关。§4-8 中将介绍的实验研究也得 到同样的结论。 4．管道进口的流动 上面所推导出的一些计算公式，只适用于均匀流动情况，在管路进口附近是 无效的。当液体由水箱经光滑圆形进口流入管内，其速度最初在整个过水断面上