§1.5素数定理 考核要求：熟练掌握整除概念及性质，掌握带余除法；理解欧几里得除法， 会求最大公因数和最小公倍数：理解素数概念和算术基本定理。 第二章同余 教学要点：同余及基本性质，剩余类及完全剩余系的概念和性质，欧拉函数 和欧拉定理。 教学时数：6学时。 教学内容： §2.1同余概念及其基本性质 §2.2剩余类及完全剩余系 §2.3筒化剩余系与欧拉函数 §2.4欧拉定理与费尔马定理 §2.5模重复平方计算法 考核要求：理解同余概念，掌握其基本性质：理解剩余类及完全剩余系，了 解简化剩余系，熟悉欧拉函数；掌握欧拉定理和费尔马定理：掌握模重复平方计 算法。 第三章同余式 教学要点：一次同余式和二次同余式的解法，中国剩余定理 教学时数：6学时。 教学内容： §3.1基本概念及一次同余式 §3.2中国剩余定理 §3.3高次同余式的解数及解法 §3.4素数模的同余式 考核要求：同余式概念，会熟练求解一次同余式：理解中国剩余定理。 第四章二次同余式与平方剩余 教学要点：平方剩余与平方非剩余，勒让德符号和雅可比符号，合数模。 表学时数：8学时
§1.5 素数定理 考核要求：熟练掌握整除概念及性质，掌握带余除法；理解欧几里得除法， 会求最大公因数和最小公倍数；理解素数概念和算术基本定理。 第二章 同 余 教学要点：同余及基本性质，剩余类及完全剩余系的概念和性质，欧拉函数 和欧拉定理。 教学时数：6 学时。 教学内容： §2.1 同余概念及其基本性质 §2.2 剩余类及完全剩余系 §2.3 简化剩余系与欧拉函数 §2.4 欧拉定理与费尔马定理 §2.5 模重复平方计算法 考核要求：理解同余概念，掌握其基本性质；理解剩余类及完全剩余系，了 解简化剩余系，熟悉欧拉函数 ；掌握欧拉定理和费尔马定理；掌握模重复平方计 算法。 第三章 同 余 式 教学要点：一次同余式和二次同余式的解法，中国剩余定理 教学时数：6 学时。 教学内容： §3.1 基本概念及一次同余式 §3.2 中国剩余定理 §3.3 高次同余式的解数及解法 §3.4 素数模的同余式 考核要求：同余式概念，会熟练求解一次同余式；理解中国剩余定理。 第四章 二次同余式与平方剩余 教学要点：平方剩余与平方非剩余，勒让德符号和雅可比符号，合数模。 教学时数：8 学时
教学内容： §4.1一般二次同余式 §4,2模为奇素数的平方剩余与平方非剩余 §4.3勒让德符号 §4.4二次互反律 §4.5雅可比符号 §4.6模p平方根 §4.7合数模 §4.8素数的平方表示 考核要求：熟悉高次同余式的解法，理解素数模的同余式和一般二次同余式， 理解模为奇素数的平方剩余与平方非剩余，掌握勒让德符号和雅可比符号，掌握 二次互反律，理解合数模的二次同余式及其解法。 第五章原根与指标 教学要点：指数及其基本性质，原根存在的条件以及原根求解 教学时数：6学时。 教学内容： §5.1指数及其基本性质 §5.2原根存在的条件 S5.3指标及n次剩余 考核要求：掌握指数及基本性质，理解原根存在的条件，理解指标和次剩 余概念。 第六章群 教学要点：陪集、正规子群和商群的概念，同态、同构的概念。 散学时数：8学时。 教学内容： §6.1群的基本概念 §6.2循环群 §6.3陪集和Lagrange定理 §6.4正规子群和商群
教学内容： §4.1 一般二次同余式 §4.2 模为奇素数的平方剩余与平方非剩余 §4.3 勒让德符号 §4.4 二次互反律 §4.5 雅可比符号 §4.6 模 p 平方根 §4.7 合数模 §4.8 素数的平方表示 考核要求：熟悉高次同余式的解法，理解素数模的同余式和一般二次同余式， 理解模为奇素数的平方剩余与平方非剩余，掌握勒让德符号和雅可比符号，掌握 二次互反律，理解合数模的二次同余式及其解法。 第五章 原根与指标 教学要点：指数及其基本性质，原根存在的条件以及原根求解。 教学时数：6 学时。 教学内容： §5.1 指数及其基本性质 §5.2 原根存在的条件 §5.3 指标及 n 次剩余 考核要求：掌握指数及基本性质，理解原根存在的条件，理解指标和 n 次剩 余概念。 第六章 群 教学要点：陪集、正规子群和商群的概念，同态、同构的概念。 教学时数：8 学时。 教学内容： §6.1 群的基本概念 §6.2 循环群 §6.3 陪集和 Lagrange 定理 §6.4 正规子群和商群
考核要求：掌握群理论与同余理论之问的关系，熟练群、循环群、同态、同 构的概念。 第七章环和域 教学要点：环和域的基本概念以及与同态、同构的概念，理想、商环和多项 式环。 教学时数：6学时。 教学内容： §7.1环和域的基本概念 §7.2理想和商环 §7.3多项式环 考核要求：掌握环和城的基本概念以及与同态、同构的概念，理想、商环和 多项式环的概念。 第八章有限域 教学要点：有限域的概念，有限域上的多项式。 教学时数：6学时。 教学内容： §8.1域的有限扩张 §8.2有限域的性质 §8.3有限城的表示 §8.4有限域上的多项式 考核要求：掌握有限域的基本概念及定理，掌握域的扩张的概念，学握有限 域上多项式的性质。 三、参考书目 [1]信息安全数学基础。陈恭亮编，清华大学出版社，2004。 [2]初等数论（第二版）。闵開鹤、严士健编，高等教育出版社，2003。 [3】简明数论。潘承洞、潘承彪著，北京大学出版社，1998 [4数论讲义。柯召、孙琦编著，高等教有出版社，1986
考核要求：掌握群理论与同余理论之间的关系，熟练群、循环群、同态、同 构的概念。 第七章 环和域 教学要点：环和域的基本概念以及与同态、同构的概念，理想、商环和多项 式环。 教学时数：6 学时。 教学内容： §7.1 环和域的基本概念 §7.2 理想和商环 §7.3 多项式环 考核要求：掌握环和域的基本概念以及与同态、同构的概念，理想、商环和 多项式环的概念。 第八章 有限域 教学要点：有限域的概念，有限域上的多项式。 教学时数：6 学时。 教学内容： §8.1 域的有限扩张 §8.2 有限域的性质 §8.3 有限域的表示 §8.4 有限域上的多项式 考核要求：掌握有限域的基本概念及定理，掌握域的扩张的概念，掌握有限 域上多项式的性质。 三、参考书目 [1] 信息安全数学基础。陈恭亮编，清华大学出版社，2004。 [2] 初等数论（第二版）。闵嗣鹤、严士健编，高等教育出版社，2003。 [3] 简明数论。潘承洞、潘承彪著，北京大学出版社，1998。 [4] 数论讲义。柯召、孙琦编著，高等教育出版社，1986
复变函数 一、说明 课程性质：该课程是信息与计算科学专业专业平台任选课程之一，第5学期 开设，周3学时。 复变函数论是现代数学的一个重要分支，主要研究解析函数的微分理论、积 分理论、级数理论、残数理论、保形变换理论：它的思想和方法已经渗透到数学 的许多分支；它的结果已应用到科技的不少方面。这门课是数学与应用数学专业 基础数学和计算数学方向的基本必修课。 教学目的：通过复变函数论的学习，培养学生能运用复分析的理论和方法去 解决现代分析数学中基本问题的能力：学会把这种能力熟练地运用于中等及高等 学校数学课程所涉及的一些最重要的分析问题，深刻领会这些分析问题的本质特 征及它们之间的联系：由此来统帅中学数数教材中的相关部分。 教学内容：复变函数论主要讲述解析函数的微分理论、积分理论、级数理论」 残数理论、保形变换理论、以及相关的应用。 教学时数：54学时。 教学方式：课堂讲授。 二、大纲正文 第一章复数与复变函数 教学要点：复平面、复数、模、辐角、共轭、区域、约当曲线、复函数、极 限、连续的定义：复极限与实极限的关系：实函数与复函数的关系：复球面与无 穷远点的意义。 教学时数：4学时。 教学内容： §1.1复数(1学时)：复数域，复平面，复数的模与辐角，复数的乘幂与 方根，复数的共轭，几何应用等。 §1.2复平面上的点集(1学时)：平面点集的基本概念，区域与约当曲线。 §1.3复变函数(1学时)：复变函数的概念，复交函数的极限与连续。 §1.4复球面与无穷远点(1学时)：复球面，扩充复平面的几个概念
复变函数 一、说明 课程性质：该课程是信息与计算科学专业专业平台任选课程之一，第 5 学期 开设，周 3 学时。 复变函数论是现代数学的一个重要分支，主要研究解析函数的微分理论、积 分理论、级数理论、残数理论、保形变换理论；它的思想和方法已经渗透到数学 的许多分支；它的结果已应用到科技的不少方面。这门课是数学与应用数学专业 基础数学和计算数学方向的基本必修课。 教学目的：通过复变函数论的学习，培养学生能运用复分析的理论和方法去 解决现代分析数学中基本问题的能力；学会把这种能力熟练地运用于中等及高等 学校数学课程所涉及的一些最重要的分析问题，深刻领会这些分析问题的本质特 征及它们之间的联系；由此来统帅中学数数教材中的相关部分。 教学内容：复变函数论主要讲述解析函数的微分理论、积分理论、级数理论、 残数理论、保形变换理论、以及相关的应用。 教学时数：54 学时。 教学方式：课堂讲授。 二、大纲正文 第一章 复数与复变函数 教学要点：复平面、复数、模、辐角、共轭、区域、约当曲线、复函数、极 限、连续的定义；复极限与实极限的关系；实函数与复函数的关系；复球面与无 穷远点的意义。 教学时数：4 学时。 教学内容： §1.1 复数（1 学时）：复数域，复平面，复数的模与辐角，复数的乘幂与 方根，复数的共轭，几何应用等。 §1.2 复平面上的点集（1 学时）：平面点集的基本概念，区域与约当曲线。 §1.3 复变函数（1 学时）：复变函数的概念，复变函数的极限与连续。 §1.4 复球面与无穷远点（1 学时）：复球面，扩充复平面的几个概念
考核要求：要让学生识记复平面、复数的模与辐角、复数的乘幂与方根、复 数的共轭、区域与约当曲线：领会复变函数的概念、扩充复平面的几个概念：理 解复变函数的极限与连续。 第二章解析函数 教学要点：解析函数的基本概念；Cauchy--Riemann条件；解析函数的微分特 征：初等解析函数：初等多值函数。 教学时数：10学时。 教学内容： S2.1解析函数的基本概念与Cauchy-Riemann条件(2学时)：复变函数的 导数与微分，用Cauchy-Riemann条件描述的解析函数的微分特征。 §2.2初等解析函数(2学时)：指数函数，三角函数，双曲函数。 §2.3初等多值函数(6学时)：根式函数，对数函数，一般幂函数与一般 指数函数，反三角函数与反双曲函数。 考核要求：学生必须识记解析函数基本概念、Cauchy--Riemann条件；领会用 Cauchy-Riemann条件描述的解析函数的微分特征，指数函数、三角函数、双曲函 数的基本性质；理解根式函数、对数函数产生多值性的原因，具有有限多个支点 的初等多值函数的单值化计算。 第三章复变函数的积分 教学要点：复积分的基本概念与计算；Cauchy积分定理；Cauchy积分公式； 解析函数的无穷可微性；Cauchy不等式与Liouville定理；Morera定理；解析函 数与调和函数的关系。 教学时数：10学时。 教学内容： §3.1定义与基本性质(2学时)：复积分的基本概念；复积分的计算；复 积分的基本性质。 §3.2 Cauchy积分定理(4学时)：Cauchy积分定理；Cauchy积分定理的 Gourat证明：不定积分：Cauchy积分定理的推广：复围线情形的Cauchy积分定 理。 §3.3 Cauchy积分公式及解析函数的无穷可微性(4学时)：Cauchy积分公
考核要求：要让学生识记复平面、复数的模与辐角、复数的乘幂与方根、复 数的共轭、区域与约当曲线；领会复变函数的概念、扩充复平面的几个概念；理 解复变函数的极限与连续。 第二章 解析函数 教学要点：解析函数的基本概念；Cauchy-Riemann 条件；解析函数的微分特 征；初等解析函数；初等多值函数。 教学时数：10 学时。 教学内容： §2.1 解析函数的基本概念与 Cauchy-Riemann 条件（2 学时）：复变函数的 导数与微分，用 Cauchy-Riemann 条件描述的解析函数的微分特征。 §2.2 初等解析函数（2 学时）：指数函数，三角函数，双曲函数。 §2.3 初等多值函数（6 学时）：根式函数，对数函数，一般幂函数与一般 指数函数，反三角函数与反双曲函数。 考核要求：学生必须识记解析函数基本概念、Cauchy-Riemann 条件；领会用 Cauchy-Riemann 条件描述的解析函数的微分特征，指数函数、三角函数、双曲函 数的基本性质；理解根式函数、对数函数产生多值性的原因，具有有限多个支点 的初等多值函数的单值化计算。 第三章 复变函数的积分 教学要点：复积分的基本概念与计算；Cauchy 积分定理；Cauchy 积分公式； 解析函数的无穷可微性；Cauchy 不等式与 Liouville 定理；Morera 定理；解析函 数与调和函数的关系。 教学时数：10 学时。 教学内容： §3.1 定义与基本性质（2 学时）：复积分的基本概念；复积分的计算；复 积分的基本性质。 §3.2 Cauchy 积分定理（4 学时）：Cauchy 积分定理；Cauchy 积分定理的 Gourat 证明；不定积分；Cauchy 积分定理的推广；复围线情形的 Cauchy 积分定 理。 §3.3 Cauchy 积分公式及解析函数的无穷可微性（4 学时）：Cauchy 积分公