并用R描述所有可能的运动， 解：a部=（号m） =m=…（-ge2X)=0, 即T是运动常数， )j=(mwx+） =mX+m啡X+g+(-）”; -mrxr+fagraorc --gerx(xr)+gerx(axr)-0. 即J为运动常数，其中利用=…7r×(4×)=… r)-r(r·) (@)rJ=rJ1coa=r(mr×+eg）=egr,得 cos=号=常量. 即带电粒子必在张角为的直立圆锥表面上运动。 周R=aExx 克=aex× %
利用r×=L/m,L=J-e0号和m=-9eX”,有 m成=ag3×[(J-0;）×], “1×-器对] 部 再利用R=r,得R的运动方程 m成-黑R 写成分量形式 m(成-R)=-器， m(R节+2p)=0, (mR9)=j=0, m成。-器+最，. 其中J=mR中=常量， e'g2 1R=.+2i2rW-eg） 品-(-) cg近六 2m 31
伴用守恒量 合n成：+.)=2nR+K毫=B(常登， 中=mR· 其中K=eg2tg/2m,消去dt得： 器=生明√层E-K). 积分得： ±[g√层R-1-g√侵-i]-(p-,> =8in5(p-p,). 此方程描述了R一中的关系，即为运动方程. 由于有效势是一个斥力势，所以不管初始状态如何，最 后R都趋向无限远 (王球) 1030(MIT,1979) 巴黎和伦敦用一条直的地下铁道联结。两城市间的火车 在重力作用下运行。计算火事的最大速度以及从伦敦到巴黎 旅行所需时间。两城市间距离为300km,地球半径为6400km, 忽略摩擦.（图1.19） 解：在地球内重力势能为(-3R,共中M为 地球质量，m为火車质量，根据机械能守恒，有关系， 是m+(-3R=-SmM 32
解得 =(R)=R R 图1.19 图1.20 由图1.20知 r=2+(150-x)=(R2-150*)+(150-x) =R1-300x+x2. 所以 2=g￥(300-x) R 当×=150(km)时，速度v=vx,得到： ”m=√g.809-五=185.70m/. R 从伦敦到巴黎所需时间： r-告… dx = dt 区=42.3min· (邓悠平) 1031(MIT,1981) 三个点源等距离地固定在一个半径为，圆心为原点的 33
圆周上。每个点源对质点（质量为）的作用力是吸引力 F=一kR,其中R是从点源指向质点的矢量，质点在t=0 时刻被放入力场，初始条件是：r=r。,·=”。.(初始情况 如图1.11)· (a)选择适当的坐标，并写出在任意时刻作用在质点上 的力的表达式. (b)利用牛頓第二定律，在上述初始条件下解运动方 程，即用r。,。以及其它系统参数表示r(t) (©)在什么条件下（如果存在的話）圆轨道是一种解. 解：(a)以圆心为原点时，可以直接写出矢量表达式。 记r1,r:,T,分别为三个点源的矢径，由题给的条件， 必有 r,+r,+r,=0 质点m所受的力为 F=-(r-r:)-(r-r) -(r-r,)=-3r. (b)运动方程为 m7=-3r, 即 m萨+3r=0. 图1.21 直接得到通解： ()aco(V祭)+bsin(√既） 由初始条件：t=0时，r(0)=r,t(@)=心。可确定出：a= 6=√0，最后得解： r=reo(√既)+√，(V既 34