⊙)由)，当1，且√第=，时，其解 是圆轨道。 (邓悠平) 1032(Ber,1981) 在￥，y平面内有一留声机转盘，它以恒定的角速度ω绕 原点旋转，在转盘上滑动的物体位置为x(:)=(x(t),y(), 0),这里x,y是在实验室中的坐标值。在实验室系下有两个 力：一个大小是x的弹性力，指向原点，一个摩擦力 -c(-V),这里c是常数，V是转盘在物体所在处的速度。 (a)如果物体呆在中心外某定点（相对转盘静止）， 多大？ (b)假设是(a)中所得之值，在一般初始条件下求 解v(r)=(t). (c)用(b)求x(t),再用文字或草图描述x(t). 解：(a)因mw|x|=x|,得到及=mw2. (b)在实验室系中小物体的运动方程为： m家=-x-c(e-V), =-mwix-c(-xx). 把这个方程投影到与转盘相固连的动坐标系中，利用关系式 (下面的x,!为动坐标系中投影值) 亲=(g-yω)i+(y+xω）j, =(e-2的w-x0)i+(y+2w-yw2)j, -kx =-mw'xi-mw'yj -c(宋-mXx)=-cgi-cyj. 得分盘方程： 35
m(g-2w-w)=-x-c. (1) m(5+2xw-yω)=-y-c. (2) 方程（1)十(2)，并令x+y=2,得2的方程： m2+(2mwi+c)=0. 解得 云=2e1"et10'. (3) 所以 安=(e。co82wt+y,sin2ot)e1 (4) =(-年0sin2wt+9,co82wt)e1-、 (5) 其中云。=。十y。,来。，y。是t=0时的速度分量。则 (t)=(t)i+(t)j. 这里(t)是实验室参考系中的量，产，夕为投影在动坐标系 中的分量。 (c)利用关系式（3)，解得 2=2。- 2。 (品+2o) 得到 =。 Vga…e台ayea +(.品+。-2w)sin2wt, 9594aorr…形.后t2o)wa +(e品-.20）9in2wt] 36
此结果说明，转盘上的物体，即使因初始条件可能开始x,y 增大，但随着时间的增长，速度逐渐减小，直至停在转盘上 某定点（这可由式(4）、(5)看出)，又从，y的解 看出，当t趋于无限大时×→x。,y一y。… (邓悠平) 1033(Pri,178) 给定一非线性振子的势 0()=是c2-子mx,其中入很小. 求运动方程的解。近似到入的一阶。假定t=0时x=0。 篇：m器=-C2=-x+mx dx 零级近似：m器=一低，为诺振动， x。=Asin(wt+p) 由t=0时×=0，有.p=0,于是x,=Asinwt,式中A 为积分常量，如·= m 设一级近似解为x》=x。十入x1,代入方程，略去高阶 小量， 或 2-2c092t. 令x,=20+A,cos2wt. 代入方程，得
-4w2A,co82wt+41 +wA co32wt 2 求出：A= 散故xw=+纸+低cs2w. (王平) 1034(Buf,1982) 真空中有一缺陷的质量950kg的卫星被一飞船牵引着， 两者用一根50m长的均匀绳连接着，单位长度绳的质量是 1kg/m,飞船以5(m/s)的加速度沿直线加速运动. (a)飞船作用在绳上的力多大？ (b)计算沿绳的张力。 (©)飞船上的人精疲力竭睡着了.飞船助推器的控制电 路之一发生短路，使加速度变为1m/s的减速度，详细描 述这个事故的后果。 解：(a)F=(m绳十m显)a =(950+50)×5=5×10'(N). (b)设以绳与飞船的连接点为原点，飞船指向卫星的方 向为x轴，则 F(x)=[m星十m绳(x)]·a =[950+1×(50-x)]×5 =5×10-5x(N). (c)事故发生后，飞船以1m/s的减速度运动，卫星 仍以原来的速度（设为）运动，1时刻后两船将碰在一 38
起。因而有 -(o,t-号×1×t）+,t=50, 即求出t=10s, (王平) 1035(MIT,1982) 一个质量为M的小球，用一根弹簧常数为？，自然长度为 零的无质量弹簧悬挂于天花板（图1.22），如果它被拉 佛超过临界长度1.(，>2，此弹资格故拉断。小球下面 挂一根相同的弹簧。如果慢慢地拉下面弹簧的下端，则上面 的弹簧被拉断，如果过快地拉下面的弹簧，则下面的弹簧被 拉断。本问题的目的就是要确定： 使两根弹簧同时被拉断时，作用在下面弹簧下端的作用 力F(). (a)求关于上面弹簧的长度×，(t)和作用力F(t)的 积分表达式. (b)用你喜欢的任意一种方法，在F(t)具有特定形 式： P(t)=0t<0 =at t>0 时（其中a是常数）求t>0的x,(t)和x,(t). (©)应用求得的解的一个仔细的草图证明：若a太小则 上面的弹簧被拉断，若α太大则下面的弹簧被拉断. ()证明当a为下述方程的解时，两根弹簧同时被拉 断： 39